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1. 已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$ax+y=1$的一个解，那么$a$的值为( )
A.3
B.1
C.$-1$
D.$-3$
A.3
B.1
C.$-1$
D.$-3$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程解的定义求解：二元一次方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们只需把已知的x、y的值代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是方程$ax+y=1$的解，将其代入方程可得：
$a×(-1) + 2 = 1$
整理得：$-a + 2 = 1$
移项计算：$-a = 1 - 2$
即$-a = -1$
两边同时乘$-1$得：$a = 1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，只要熟练掌握代入法，就能快速计算出结果，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
本题可根据二元一次方程解的定义求解：二元一次方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们只需把已知的x、y的值代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是方程$ax+y=1$的解，将其代入方程可得：
$a×(-1) + 2 = 1$
整理得：$-a + 2 = 1$
移项计算：$-a = 1 - 2$
即$-a = -1$
两边同时乘$-1$得：$a = 1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，只要熟练掌握代入法，就能快速计算出结果，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
2.已知方程$x-y=7$,则用含$y$的代数式表示$x$为 （
A.$y=7-x$
B.$y=x-7$
C.$x=7-y$
D.$x=7+y$
D
）A.$y=7-x$
B.$y=x-7$
C.$x=7-y$
D.$x=7+y$
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求将二元一次方程变形，用含y的代数式表示x。解题时把y当作已知常数，解关于x的方程即可，核心是运用移项规则，注意移项要改变符号。
【解析】
已知方程$x-y=7$，要将x单独放在等号一侧，需把等号左侧的$-y$移到等号右侧，根据移项变号的规则，$-y$移到右侧后变为$+y$，因此可得$x=7+y$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程变形；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二元一次方程的基本变形，熟练掌握移项时符号的变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题要求将二元一次方程变形，用含y的代数式表示x。解题时把y当作已知常数，解关于x的方程即可，核心是运用移项规则，注意移项要改变符号。
【解析】
已知方程$x-y=7$，要将x单独放在等号一侧，需把等号左侧的$-y$移到等号右侧，根据移项变号的规则，$-y$移到右侧后变为$+y$，因此可得$x=7+y$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程变形；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二元一次方程的基本变形，熟练掌握移项时符号的变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 用加减法解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 4, ① \\3x + 2y = 1, ②\end{cases}$ 下列解法正确的是 （ ）
A.①×3+②×2，消去 y
B.①×2−②×3，消去 y
C.①×(-3)+②×2，消去 x
D.①×2−②×3，消去 x
A.①×3+②×2，消去 y
B.①×2−②×3，消去 y
C.①×(-3)+②×2，消去 x
D.①×2−②×3，消去 x
答案
3.C
解析
【分析】
要判断加减法消元的解法是否正确，需明确加减消元法的核心思路：若要消去某个未知数，需通过等式的性质将两个方程中该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去这个未知数。本题可先分别分析消x、消y的正确操作，再逐一比对选项即可。
消x时：方程①x的系数为2，方程②x的系数为3，最小公倍数是6，可将①乘-3、②乘2，让x系数分别为-6和6，相加即可消x；消y时：方程①y的系数为-3，方程②y的系数为2，最小公倍数是6，可将①乘2、②乘3，让y系数分别为-6和6，相加即可消y。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：①×3得$6x-9y=12$，②×2得$6x+4y=2$，两式相加得$12x-5y=14$，没有消去y，解法错误。
B选项：①×2得$4x-6y=8$，②×3得$9x+6y=3$，①×2−②×3得$(4x-6y)-(9x+6y)=8-3$，即$-5x-12y=5$，没有消去y，解法错误。
C选项：①×(-3)得$-6x+9y=-12$，②×2得$6x+4y=2$，两式相加得$13y=-10$，成功消去x，解法正确。
D选项：①×2得$4x-6y=8$，②×3得$9x+6y=3$，①×2−②×3得$-5x-12y=5$，没有消去x，解法错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题重点考查加减消元法的基本规则，解题关键是掌握消元时需先将目标未知数的系数转化为相等或互为相反数，再进行加减运算，熟悉规则即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断加减法消元的解法是否正确，需明确加减消元法的核心思路：若要消去某个未知数，需通过等式的性质将两个方程中该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过相加或相减消去这个未知数。本题可先分别分析消x、消y的正确操作，再逐一比对选项即可。
消x时：方程①x的系数为2，方程②x的系数为3，最小公倍数是6，可将①乘-3、②乘2，让x系数分别为-6和6，相加即可消x；消y时：方程①y的系数为-3，方程②y的系数为2，最小公倍数是6，可将①乘2、②乘3，让y系数分别为-6和6，相加即可消y。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：①×3得$6x-9y=12$，②×2得$6x+4y=2$，两式相加得$12x-5y=14$，没有消去y，解法错误。
B选项：①×2得$4x-6y=8$，②×3得$9x+6y=3$，①×2−②×3得$(4x-6y)-(9x+6y)=8-3$，即$-5x-12y=5$，没有消去y，解法错误。
C选项：①×(-3)得$-6x+9y=-12$，②×2得$6x+4y=2$，两式相加得$13y=-10$，成功消去x，解法正确。
D选项：①×2得$4x-6y=8$，②×3得$9x+6y=3$，①×2−②×3得$-5x-12y=5$，没有消去x，解法错误。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组求解
【点评】
本题重点考查加减消元法的基本规则，解题关键是掌握消元时需先将目标未知数的系数转化为相等或互为相反数，再进行加减运算，熟悉规则即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
4. 解方程组$\begin{cases}y=3x-2,① \\4x-2y=11,②\end{cases}$时，把①代入②，得（ ）
A.$4(3x-2)-2y=11$
B.$4x-(3x-2)=11$
C.$4x-2×3x-2=11$
D.$4x-2(3x-2)=11$
A.$4(3x-2)-2y=11$
B.$4x-(3x-2)=11$
C.$4x-2×3x-2=11$
D.$4x-2(3x-2)=11$
答案
4.D
解析
【分析】
这道题考查代入消元法解二元一次方程组的基础代入步骤，解题思路为：首先明确代入消元的核心是用一个未知数的表达式替换另一个方程中对应的未知数，替换时要把待代入的代数式看作一个整体，如果整体前有系数，需要给整体加上括号，避免出现运算顺序或符号错误，再对照选项判断即可。
【解析】
已知方程①为$y=3x-2$，将其代入方程②$4x-2y=11$时，需要把②中的$y$全部替换为$3x-2$，把$3x-2$作为整体加括号，代入后可得$4x - 2(3x-2) = 11$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题型，核心易错点是代入时忘记给替换的代数式加括号，掌握代入的基本规则，注意整体运算的要求就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
这道题考查代入消元法解二元一次方程组的基础代入步骤，解题思路为：首先明确代入消元的核心是用一个未知数的表达式替换另一个方程中对应的未知数，替换时要把待代入的代数式看作一个整体，如果整体前有系数，需要给整体加上括号，避免出现运算顺序或符号错误，再对照选项判断即可。
【解析】
已知方程①为$y=3x-2$，将其代入方程②$4x-2y=11$时，需要把②中的$y$全部替换为$3x-2$，把$3x-2$作为整体加括号，代入后可得$4x - 2(3x-2) = 11$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题型，核心易错点是代入时忘记给替换的代数式加括号，掌握代入的基本规则，注意整体运算的要求就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
5.若关于$x,y$的方程$mx+ny=6$的两个解是$\begin{cases}x=-1, \\ y=-1,\end{cases}$$\begin{cases}x=-2, \\ y=1,\end{cases}$则$m-n$的值是 （ ）
A.－2
B.2
C.－4
D.4
A.－2
B.2
C.－4
D.4
答案
5.A
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程解的定义求解：首先明确能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将题目给出的两个解分别代入原方程，可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值后，代入m-n计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=6$，得：
$-m -n =6$ ①
将$\begin{cases}x=-2, \\ y=1\end{cases}$代入$mx+ny=6$，得：
$-2m +n =6$ ②
①+②，得：$-3m=12$，解得$m=-4$。
把$m=-4$代入①，得：$-(-4)-n=6$，即$4-n=6$，解得$n=-2$。
所以$m-n=-4 - (-2) = -2$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用方程的解的意义构造关于未知参数的方程组，熟练掌握加减消元法或代入消元法解二元一次方程组是得分的关键。
【难度系数】
0.8
本题可根据二元一次方程解的定义求解：首先明确能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，因此将题目给出的两个解分别代入原方程，可得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值后，代入m-n计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=-1\end{cases}$代入$mx+ny=6$，得：
$-m -n =6$ ①
将$\begin{cases}x=-2, \\ y=1\end{cases}$代入$mx+ny=6$，得：
$-2m +n =6$ ②
①+②，得：$-3m=12$，解得$m=-4$。
把$m=-4$代入①，得：$-(-4)-n=6$，即$4-n=6$，解得$n=-2$。
所以$m-n=-4 - (-2) = -2$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用方程的解的意义构造关于未知参数的方程组，熟练掌握加减消元法或代入消元法解二元一次方程组是得分的关键。
【难度系数】
0.8
6. 已知$\begin{cases}a+2b=4, \\ 2a+b=5\end{cases}$是关于$a,b$的二元一次方程组，则$a+b$的值是（ ）
A.1
B.3
C.9
D.12
A.1
B.3
C.9
D.12
答案
6.B
解析
【分析】
本题要求a+b的值，有两种常见解题思路：思路一是先通过消元法解二元一次方程组，分别求出a、b的值，再相加得到结果；思路二是观察两个方程的系数特点，a的系数分别为1、2，b的系数分别为2、1，两个方程相加后a和b的系数相等，可直接整体求出a+b的值，无需单独求解未知数，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}a+2b=4&①\\2a+b=5&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$a+2b+2a+b=3a+3b$，右边相加得：$4+5=9$
即$3(a+b)=9$，等式两边同时除以3，得$a+b=3$。
方法二（常规消元法）：
记$\begin{cases}a+2b=4&①\\2a+b=5&②\end{cases}$
①×2得：$2a+4b=8$ ③
用③-②消去a，得：$(2a+4b)-(2a+b)=8-5$，即$3b=3$，解得$b=1$
把$b=1$代入①，得$a+2×1=4$，解得$a=2$
所以$a+b=2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
解二元一次方程组，代数式求值，整体思想
【点评】
本题属于基础题，既可以用常规的加减消元法求解未知数再计算，也可以通过观察方程系数特征用整体法快速得出结果，平时解题时可多观察题干特点，选择更简便的方法提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
本题要求a+b的值，有两种常见解题思路：思路一是先通过消元法解二元一次方程组，分别求出a、b的值，再相加得到结果；思路二是观察两个方程的系数特点，a的系数分别为1、2，b的系数分别为2、1，两个方程相加后a和b的系数相等，可直接整体求出a+b的值，无需单独求解未知数，计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}a+2b=4&①\\2a+b=5&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$a+2b+2a+b=3a+3b$，右边相加得：$4+5=9$
即$3(a+b)=9$，等式两边同时除以3，得$a+b=3$。
方法二（常规消元法）：
记$\begin{cases}a+2b=4&①\\2a+b=5&②\end{cases}$
①×2得：$2a+4b=8$ ③
用③-②消去a，得：$(2a+4b)-(2a+b)=8-5$，即$3b=3$，解得$b=1$
把$b=1$代入①，得$a+2×1=4$，解得$a=2$
所以$a+b=2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
解二元一次方程组，代数式求值，整体思想
【点评】
本题属于基础题，既可以用常规的加减消元法求解未知数再计算，也可以通过观察方程系数特征用整体法快速得出结果，平时解题时可多观察题干特点，选择更简便的方法提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
7. 在解关于 $ x,y $ 的方程组 $\begin{cases} ax+8y=7,① \\ 3x-by=4,② \end{cases}$ 时，甲看错①中的 $ a $，解得 $ x=4,y=2 $；乙看错②中的 $ b $，解得 $ x=-3,y=-1 $，则原方程组的正确解是 $\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$
A.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=15, \\ y=\dfrac{41}{4} \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=15, \\ y=11 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=15, \\ y=\dfrac{41}{4} \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=15, \\ y=11 \end{cases}$
答案
7.B
解析
【分析】
解题的核心是理解“看错某个方程的系数，得到的解仍然满足另一个未看错的方程”。首先将甲的解代入未看错的方程②求出正确的b值，再将乙的解代入未看错的方程①求出正确的a值，最后把a、b代入原方程组，求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求正确的b值：
甲看错了①中的a，所以他的解$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$满足方程②，代入②得：
$3×4 - b×2 = 4$
化简得$12-2b=4$，解得$b=4$。
2. 求正确的a值：
乙看错了②中的b，所以他的解$\begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$满足方程①，代入①得：
$a×(-3) + 8×(-1) =7$
化简得$-3a-8=7$，解得$a=-5$。
3. 解原方程组：
把$a=-5$，$b=4$代入原方程组得：
$\begin{cases} -5x+8y=7,③ \\ 3x-4y=4,④ \end{cases}$
用加减消元法，将④×2得：$6x-8y=8$⑤
③+⑤得：$(-5x+8y)+(6x-8y)=7+8$，解得$x=15$。
把$x=15$代入④得：$3×15 -4y=4$，化简得$45-4y=4$，解得$y=\frac{41}{4}$。
即原方程组正确解为$\begin{cases} x=15 \\ y=\frac{41}{4} \end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，解二元一次方程组
【点评】
本题的关键是找准解对应的有效方程，避免混淆代入对象，只要正确求出未知系数，再按照常规方法解方程组即可，主要考查对二元一次方程组解的概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是理解“看错某个方程的系数，得到的解仍然满足另一个未看错的方程”。首先将甲的解代入未看错的方程②求出正确的b值，再将乙的解代入未看错的方程①求出正确的a值，最后把a、b代入原方程组，求解即可得到正确解。
【解析】
1. 求正确的b值：
甲看错了①中的a，所以他的解$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$满足方程②，代入②得：
$3×4 - b×2 = 4$
化简得$12-2b=4$，解得$b=4$。
2. 求正确的a值：
乙看错了②中的b，所以他的解$\begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$满足方程①，代入①得：
$a×(-3) + 8×(-1) =7$
化简得$-3a-8=7$，解得$a=-5$。
3. 解原方程组：
把$a=-5$，$b=4$代入原方程组得：
$\begin{cases} -5x+8y=7,③ \\ 3x-4y=4,④ \end{cases}$
用加减消元法，将④×2得：$6x-8y=8$⑤
③+⑤得：$(-5x+8y)+(6x-8y)=7+8$，解得$x=15$。
把$x=15$代入④得：$3×15 -4y=4$，化简得$45-4y=4$，解得$y=\frac{41}{4}$。
即原方程组正确解为$\begin{cases} x=15 \\ y=\frac{41}{4} \end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，解二元一次方程组
【点评】
本题的关键是找准解对应的有效方程，避免混淆代入对象，只要正确求出未知系数，再按照常规方法解方程组即可，主要考查对二元一次方程组解的概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
