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1. 在1、2、4、11、15、19中，(
2、11、19
)是质数，(4、15
)是合数。答案
1. 质数：2、11、19；合数：4、15
解析
【分析】
解题时首先要明确质数、合数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数；合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数，且1既不是质数也不是合数。接下来我们逐个分析给出的6个数，根据定义分类即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 质数：大于1的自然数，除了1和自身外没有其他因数；
2. 合数：除了1和自身外还有其他因数的自然数；
3. 特殊规定：1既不是质数，也不是合数。
逐个判断给定的数：
1：只有1个因数，既不属于质数也不属于合数；
2：因数只有1和2，属于质数；
4：因数有1、2、4，属于合数；
11：因数只有1和11，属于质数；
15：因数有1、3、5、15，属于合数；
19：因数只有1和19，属于质数。
【答案】
质数：2、11、19；合数：4、15
【知识点】
质数的定义，合数的定义，质数与合数的判断
【点评】
本题考查质数与合数相关基础概念的应用，解题核心是牢记1既不是质数也不是合数，结合定义逐一判断即可，需要熟练掌握相关概念才能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确质数、合数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数；合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数，且1既不是质数也不是合数。接下来我们逐个分析给出的6个数，根据定义分类即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 质数：大于1的自然数，除了1和自身外没有其他因数；
2. 合数：除了1和自身外还有其他因数的自然数；
3. 特殊规定：1既不是质数，也不是合数。
逐个判断给定的数：
1：只有1个因数，既不属于质数也不属于合数；
2：因数只有1和2，属于质数；
4：因数有1、2、4，属于合数；
11：因数只有1和11，属于质数；
15：因数有1、3、5、15，属于合数；
19：因数只有1和19，属于质数。
【答案】
质数：2、11、19；合数：4、15
【知识点】
质数的定义，合数的定义，质数与合数的判断
【点评】
本题考查质数与合数相关基础概念的应用，解题核心是牢记1既不是质数也不是合数，结合定义逐一判断即可，需要熟练掌握相关概念才能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2.李强出生年份的第一个数是最小的质数，第二个数是最小的自然数，第三个数既不是质数也不是合数，第四个数是最小的合数。他的出生年份是(
2014
)年。答案
2. 2014
解析
【分析】
这道题需要我们根据数的相关概念，分别确定出生年份四个数位上的数字，再组合得到最终年份。解题时先逐一回忆每个描述对应的数字：先找到最小的质数确定第一位，再找最小的自然数确定第二位，接着找既不是质数也不是合数的数确定第三位，最后找最小的合数确定第四位，把四个数字按顺序组合即可。
【解析】
1. 确定第一位数字：最小的质数是2，因此年份第一个数是2；
2. 确定第二位数字：最小的自然数是0，因此年份第二个数是0；
3. 确定第三位数字：1的因数只有1个，既不是质数也不是合数，因此年份第三个数是1；
4. 确定第四位数字：最小的合数是4，因此年份第四个数是4；
将四个数字按顺序组合，得到出生年份为2014年。
【答案】
2014
【知识点】
质数的认识，合数的认识，自然数的认识
【点评】
本题侧重考查基础数论概念的识记，只要熟练掌握质数、合数、自然数的相关定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这道题需要我们根据数的相关概念，分别确定出生年份四个数位上的数字，再组合得到最终年份。解题时先逐一回忆每个描述对应的数字：先找到最小的质数确定第一位，再找最小的自然数确定第二位，接着找既不是质数也不是合数的数确定第三位，最后找最小的合数确定第四位，把四个数字按顺序组合即可。
【解析】
1. 确定第一位数字：最小的质数是2，因此年份第一个数是2；
2. 确定第二位数字：最小的自然数是0，因此年份第二个数是0；
3. 确定第三位数字：1的因数只有1个，既不是质数也不是合数，因此年份第三个数是1；
4. 确定第四位数字：最小的合数是4，因此年份第四个数是4；
将四个数字按顺序组合，得到出生年份为2014年。
【答案】
2014
【知识点】
质数的认识，合数的认识，自然数的认识
【点评】
本题侧重考查基础数论概念的识记，只要熟练掌握质数、合数、自然数的相关定义就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.要使三位数45□的因数有3，□里最小应填(
0
)；要使它同时是2和3的倍数，□里最大应填(6
)。答案
3. 最小填0，最大填6
解析
【分析】
解题时先回忆相关倍数特征：1. 一个数有因数3，说明它是3的倍数，3的倍数特征是各数位上数字之和是3的倍数；2. 同时是2和3的倍数，需要同时满足2的倍数特征（个位为0、2、4、6、8）和3的倍数特征。第一步先计算4和5的和，发现和为9本身是3的倍数，所以个位填的数只要是3的倍数就满足是3的倍数，最小的非负个位数是0；第二步找同时满足2和3倍数的数，先列出2的倍数的个位可能取值，再从中选满足3的倍数的最大数即可。
【解析】
1. 求有因数3时□里最小填的数：
有因数3即该数是3的倍数，3的倍数特征为各数位数字之和是3的倍数。
先计算已知数位的和：$4+5=9$，9是3的倍数，因此□内的数与9相加的和需为3的倍数。
□可填的一位数有0、3、6、9，其中最小的是0。
2. 求同时是2和3的倍数时□里最大填的数：
同时是2和3的倍数，需先满足2的倍数特征：个位只能是0、2、4、6、8；
再满足3的倍数特征：个位数字加9是3的倍数。
在0、2、4、6、8中，符合要求的数有0、6，其中最大的是6。
【答案】
最小填0，最大填6
【知识点】
3的倍数特征，2的倍数特征，因数的含义
【点评】
本题重点考查2、3倍数特征的灵活应用，解题时要注意先明确题干的所有要求，若需要同时满足多个倍数特征，可先根据其中一个特征确定取值范围，再结合其他特征筛选，避免遗漏符合要求的数字。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相关倍数特征：1. 一个数有因数3，说明它是3的倍数，3的倍数特征是各数位上数字之和是3的倍数；2. 同时是2和3的倍数，需要同时满足2的倍数特征（个位为0、2、4、6、8）和3的倍数特征。第一步先计算4和5的和，发现和为9本身是3的倍数，所以个位填的数只要是3的倍数就满足是3的倍数，最小的非负个位数是0；第二步找同时满足2和3倍数的数，先列出2的倍数的个位可能取值，再从中选满足3的倍数的最大数即可。
【解析】
1. 求有因数3时□里最小填的数：
有因数3即该数是3的倍数，3的倍数特征为各数位数字之和是3的倍数。
先计算已知数位的和：$4+5=9$，9是3的倍数，因此□内的数与9相加的和需为3的倍数。
□可填的一位数有0、3、6、9，其中最小的是0。
2. 求同时是2和3的倍数时□里最大填的数：
同时是2和3的倍数，需先满足2的倍数特征：个位只能是0、2、4、6、8；
再满足3的倍数特征：个位数字加9是3的倍数。
在0、2、4、6、8中，符合要求的数有0、6，其中最大的是6。
【答案】
最小填0，最大填6
【知识点】
3的倍数特征，2的倍数特征，因数的含义
【点评】
本题重点考查2、3倍数特征的灵活应用，解题时要注意先明确题干的所有要求，若需要同时满足多个倍数特征，可先根据其中一个特征确定取值范围，再结合其他特征筛选，避免遗漏符合要求的数字。
【难度系数】
0.8
4.《西游记》是中国古典四大名著之一，唐僧师徒历经81难才取得真经。81的最大因数是（
81
）；比81小且同时是2、3、5的倍数有（30、60
）。答案
4. 81；30、60
解析
【分析】
解决这道题我们分两步思考：1. 求最大因数：回忆因数的性质，一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以直接可以得出81的最大因数。2. 找同时是2、3、5的倍数且小于81的数：首先明确同时是2和5的倍数的数个位必须是0，先列出所有小于81且个位是0的数，再根据3的倍数的特征（各位数字之和是3的倍数）从中筛选符合要求的数即可。
【解析】
1. 求81的最大因数：根据因数的性质，一个数的最大因数是它本身，因此81的最大因数是81。
2. 找比81小且同时是2、3、5的倍数的数：
① 同时是2和5的倍数的数，个位一定是0，符合这个条件且小于81的数有：10、20、30、40、50、60、70、80；
② 3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，对上述数逐一判断：
10各位和为1，不是3的倍数；20各位和为2，不是3的倍数；30各位和为3，是3的倍数；40各位和为4，不是3的倍数；50各位和为5，不是3的倍数；60各位和为6，是3的倍数；70各位和为7，不是3的倍数；80各位和为8，不是3的倍数。
因此符合要求的数是30、60。
【答案】
81；30、60
【知识点】
因数的性质；2、3、5的倍数特征
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对因数相关性质和常见数字倍数特征的掌握，牢记相关知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们分两步思考：1. 求最大因数：回忆因数的性质，一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以直接可以得出81的最大因数。2. 找同时是2、3、5的倍数且小于81的数：首先明确同时是2和5的倍数的数个位必须是0，先列出所有小于81且个位是0的数，再根据3的倍数的特征（各位数字之和是3的倍数）从中筛选符合要求的数即可。
【解析】
1. 求81的最大因数：根据因数的性质，一个数的最大因数是它本身，因此81的最大因数是81。
2. 找比81小且同时是2、3、5的倍数的数：
① 同时是2和5的倍数的数，个位一定是0，符合这个条件且小于81的数有：10、20、30、40、50、60、70、80；
② 3的倍数的特征是各位上的数字之和是3的倍数，对上述数逐一判断：
10各位和为1，不是3的倍数；20各位和为2，不是3的倍数；30各位和为3，是3的倍数；40各位和为4，不是3的倍数；50各位和为5，不是3的倍数；60各位和为6，是3的倍数；70各位和为7，不是3的倍数；80各位和为8，不是3的倍数。
因此符合要求的数是30、60。
【答案】
81；30、60
【知识点】
因数的性质；2、3、5的倍数特征
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对因数相关性质和常见数字倍数特征的掌握，牢记相关知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.317 至少加上(
1
)就是2的倍数，至少减去(2
)就是5的倍数。答案
5. 1；2
解析
【分析】
解题前先回忆2和5的倍数的特征：2的倍数的个位数字是0、2、4、6、8；5的倍数的个位数字是0或5。首先解决第一个空：观察317的个位是7，要得到最小的比317大的2的倍数，只要让个位变成比7大的最小偶数即可，计算差值就是要加的数。再解决第二个空：要得到最大的比317小的5的倍数，只要让个位变成比7小的最接近的5的倍数的个位数字，计算差值就是要减的数。
【解析】
1. 求至少加多少是2的倍数：
2的倍数的个位为0、2、4、6、8，317的个位是7，比7大的最小偶数是8，需要加的数为：$8-7=1$。
2. 求至少减多少是5的倍数：
5的倍数的个位为0或5，317的个位是7，比7小的最接近的符合要求的个位是5，需要减的数为：$7-5=2$。
【答案】
1；2
【知识点】
2的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题考查2、5的倍数特征的实际应用，熟记特征即可快速计算出结果，是数的整除部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆2和5的倍数的特征：2的倍数的个位数字是0、2、4、6、8；5的倍数的个位数字是0或5。首先解决第一个空：观察317的个位是7，要得到最小的比317大的2的倍数，只要让个位变成比7大的最小偶数即可，计算差值就是要加的数。再解决第二个空：要得到最大的比317小的5的倍数，只要让个位变成比7小的最接近的5的倍数的个位数字，计算差值就是要减的数。
【解析】
1. 求至少加多少是2的倍数：
2的倍数的个位为0、2、4、6、8，317的个位是7，比7大的最小偶数是8，需要加的数为：$8-7=1$。
2. 求至少减多少是5的倍数：
5的倍数的个位为0或5，317的个位是7，比7小的最接近的符合要求的个位是5，需要减的数为：$7-5=2$。
【答案】
1；2
【知识点】
2的倍数特征；5的倍数特征
【点评】
本题考查2、5的倍数特征的实际应用，熟记特征即可快速计算出结果，是数的整除部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
6.用0、2、7三个数字组成三位数,分别满足以下的条件。
(1)同时是2、3的倍数的最大的三位数:(
(2)同时是5、3的倍数的最小的三位数:(
(3)同时是2、3和5的倍数的最大的三位数:(
(1)同时是2、3的倍数的最大的三位数:(
720
)。(2)同时是5、3的倍数的最小的三位数:(
270
)。(3)同时是2、3和5的倍数的最大的三位数:(
720
)。答案
6.(1)720 (2)270 (3)720
解析
【分析】
解题前先明确2、3、5的倍数特征：①2的倍数：个位是0、2、4、6、8；②5的倍数：个位是0或5；③3的倍数：各数位上的数字之和是3的倍数。首先计算0、2、7三个数字的和：0+2+7=9，9是3的倍数，因此用这三个数组成的所有三位数（首位不为0）都是3的倍数，解题时只需额外满足2或5的倍数要求，再结合“最大/最小”的规则筛选即可：找最大数时尽量把大数字放高位，找最小数时尽量把小数字放高位（注意三位数首位不能为0）。
【解析】
用0、2、7能组成的三位数有207、270、702、720，均满足3的倍数要求。
(1) 同时是2、3的倍数：个位需为0或2，要得到最大三位数，优先把最大数字7放百位，剩余数字里较大的2放十位，个位为0，得到720，是符合要求的最大数。
(2) 同时是5、3的倍数：个位只能是0（三个数字中无5），要得到最小三位数，优先把最小非0数字2放百位，剩余的7放十位，个位为0，得到270，是符合要求的最小数。
(3) 同时是2、3、5的倍数：个位必须是0（同时满足2、5的倍数要求），要得到最大三位数，把最大数字7放百位，2放十位，个位为0，得到720。
【答案】
(1)720 (2)270 (3)720
【知识点】
2、3、5的倍数特征；数的组成
【点评】
本题重点考察2、3、5倍数特征的灵活运用，需要结合数的大小比较规则筛选结果，解题时要注意三位数首位不能为0，避免出现不符合要求的数。
【难度系数】
0.8
解题前先明确2、3、5的倍数特征：①2的倍数：个位是0、2、4、6、8；②5的倍数：个位是0或5；③3的倍数：各数位上的数字之和是3的倍数。首先计算0、2、7三个数字的和：0+2+7=9，9是3的倍数，因此用这三个数组成的所有三位数（首位不为0）都是3的倍数，解题时只需额外满足2或5的倍数要求，再结合“最大/最小”的规则筛选即可：找最大数时尽量把大数字放高位，找最小数时尽量把小数字放高位（注意三位数首位不能为0）。
【解析】
用0、2、7能组成的三位数有207、270、702、720，均满足3的倍数要求。
(1) 同时是2、3的倍数：个位需为0或2，要得到最大三位数，优先把最大数字7放百位，剩余数字里较大的2放十位，个位为0，得到720，是符合要求的最大数。
(2) 同时是5、3的倍数：个位只能是0（三个数字中无5），要得到最小三位数，优先把最小非0数字2放百位，剩余的7放十位，个位为0，得到270，是符合要求的最小数。
(3) 同时是2、3、5的倍数：个位必须是0（同时满足2、5的倍数要求），要得到最大三位数，把最大数字7放百位，2放十位，个位为0，得到720。
【答案】
(1)720 (2)270 (3)720
【知识点】
2、3、5的倍数特征；数的组成
【点评】
本题重点考察2、3、5倍数特征的灵活运用，需要结合数的大小比较规则筛选结果，解题时要注意三位数首位不能为0，避免出现不符合要求的数。
【难度系数】
0.8
7.一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个数最大是(
90
)。答案
7. 90
解析
【分析】
解题时我们可以分步推导：首先，要找同时是2和5的倍数的数，先回忆2和5的倍数特征，两者的共同特征是个位数字为0，所以先确定这个两位数的个位一定是0；接下来这个数还要是3的倍数，3的倍数的特征是各数位上的数字之和是3的倍数，现在个位已经是0，所以十位上的数字必须是3的倍数；最后要找最大的两位数，所以十位要选最大的符合要求的一位数，就能得出结果。
【解析】
1. 确定个位数字：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位只能是0，因此这个两位数的个位为0；
2. 确定十位数字要求：这个数还是3的倍数，根据3的倍数特征，十位数字+个位数字的和是3的倍数，已知个位是0，因此十位数字必须是3的倍数；
3. 求最大的两位数：一位数中3的倍数有3、6、9，其中最大的是9，因此这个两位数是9×10 + 0 = 90；
验证：90÷2=45，90÷5=18，90÷3=30，均符合要求。
【答案】
90
【知识点】
2、5的倍数特征；3的倍数特征
【点评】
本题考查2、3、5倍数特征的综合应用，解题的突破口是先通过2和5的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征和“最大两位数”的限定条件确定十位数字，熟记数的倍数特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分步推导：首先，要找同时是2和5的倍数的数，先回忆2和5的倍数特征，两者的共同特征是个位数字为0，所以先确定这个两位数的个位一定是0；接下来这个数还要是3的倍数，3的倍数的特征是各数位上的数字之和是3的倍数，现在个位已经是0，所以十位上的数字必须是3的倍数；最后要找最大的两位数，所以十位要选最大的符合要求的一位数，就能得出结果。
【解析】
1. 确定个位数字：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位只能是0，因此这个两位数的个位为0；
2. 确定十位数字要求：这个数还是3的倍数，根据3的倍数特征，十位数字+个位数字的和是3的倍数，已知个位是0，因此十位数字必须是3的倍数；
3. 求最大的两位数：一位数中3的倍数有3、6、9，其中最大的是9，因此这个两位数是9×10 + 0 = 90；
验证：90÷2=45，90÷5=18，90÷3=30，均符合要求。
【答案】
90
【知识点】
2、5的倍数特征；3的倍数特征
【点评】
本题考查2、3、5倍数特征的综合应用，解题的突破口是先通过2和5的倍数特征锁定个位数字，再结合3的倍数特征和“最大两位数”的限定条件确定十位数字，熟记数的倍数特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8.在$18÷3=6$中，(
3
)和(6
)是(18
)的因数。在$3×9=27$中，(27
)是(3
)和(9
)的倍数。答案
8. 3、6是18的因数；27是3和9的倍数
解析
【分析】
解题前先回忆因数和倍数的相关概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商就是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数；在整数乘法中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。首先看第一个除法算式$18÷3=6$，商是整数且没有余数，对应概念就能找出谁是谁的因数；再看第二个乘法算式$3×9=27$，对应乘法里的倍数概念，就能确定谁是谁的倍数。
【解析】
首先明确因数和倍数的定义：
1. 对于除法算式$18÷3=6$，计算得到的商为6，是整数且没有余数，根据定义，除数3和商6都是被除数18的因数，因此3和6是18的因数。
2. 对于乘法算式$3×9=27$，等号左侧的3和9是乘数，右侧的27是积，根据定义，积是两个乘数的倍数，因此27是3和9的倍数。
【答案】
3、6是18的因数；27是3和9的倍数
【知识点】
因数的认识，倍数的认识
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，属于对定义的直接应用，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆因数和倍数的相关概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么除数和商就是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数；在整数乘法中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。首先看第一个除法算式$18÷3=6$，商是整数且没有余数，对应概念就能找出谁是谁的因数；再看第二个乘法算式$3×9=27$，对应乘法里的倍数概念，就能确定谁是谁的倍数。
【解析】
首先明确因数和倍数的定义：
1. 对于除法算式$18÷3=6$，计算得到的商为6，是整数且没有余数，根据定义，除数3和商6都是被除数18的因数，因此3和6是18的因数。
2. 对于乘法算式$3×9=27$，等号左侧的3和9是乘数，右侧的27是积，根据定义，积是两个乘数的倍数，因此27是3和9的倍数。
【答案】
3、6是18的因数；27是3和9的倍数
【知识点】
因数的认识，倍数的认识
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，属于对定义的直接应用，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9.用一些大小一样的小正方形(大于1个)只能摆成一种长方形,这些小正方形的个数一定是(
质
)数。(填“质”或“合”)答案
9. 质
解析
【分析】
解题时首先要建立小正方形总个数与拼成长方形长、宽的联系：拼成长方形的长×宽=小正方形的总个数，所以长和宽都是总个数的正因数。如果只能摆成一种长方形，说明总个数的因数对只有1组，也就是总个数只有1和它本身两个因数。接下来结合质数、合数的定义判断即可：只有1和本身两个因数的数是质数，除了1和本身还有其他因数的数是合数，合数能拼出多种长方形，因此符合要求的是质数。
【解析】
我们可以结合因数和质数的定义分析：
1. 用小正方形拼长方形时，小正方形总个数 = 长方形的长 × 长方形的宽，因此长和宽都是总个数的正因数。
2. 若只能摆成一种长方形，说明总个数的正因数只有2个：1和它本身，没有其他整数相乘能得到这个数。
3. 根据质数的定义：大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数；合数除了1和本身还有其他因数，能拼出不止一种长方形。
因此这些小正方形的个数一定是质数。
【答案】
质
【知识点】
1. 质数与合数的认识
2. 因数的意义
【点评】
本题结合图形拼接考查数的分类知识，需要同学们理解长方形长宽与总个数的对应关系，核心是熟练掌握质数和合数的因数特征。
【难度系数】
0.7
解题时首先要建立小正方形总个数与拼成长方形长、宽的联系：拼成长方形的长×宽=小正方形的总个数，所以长和宽都是总个数的正因数。如果只能摆成一种长方形，说明总个数的因数对只有1组，也就是总个数只有1和它本身两个因数。接下来结合质数、合数的定义判断即可：只有1和本身两个因数的数是质数，除了1和本身还有其他因数的数是合数，合数能拼出多种长方形，因此符合要求的是质数。
【解析】
我们可以结合因数和质数的定义分析：
1. 用小正方形拼长方形时，小正方形总个数 = 长方形的长 × 长方形的宽，因此长和宽都是总个数的正因数。
2. 若只能摆成一种长方形，说明总个数的正因数只有2个：1和它本身，没有其他整数相乘能得到这个数。
3. 根据质数的定义：大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数；合数除了1和本身还有其他因数，能拼出不止一种长方形。
因此这些小正方形的个数一定是质数。
【答案】
质
【知识点】
1. 质数与合数的认识
2. 因数的意义
【点评】
本题结合图形拼接考查数的分类知识，需要同学们理解长方形长宽与总个数的对应关系，核心是熟练掌握质数和合数的因数特征。
【难度系数】
0.7
10. 质数是自然数的“数根”，在密码学中至关重要。它有“正向易，逆向难”的数学特性，例如：将几个质数相乘很容易，但将乘积分解回原质数却不容易。请写出78可以等于哪三个质数的乘积：78 = (
2
) × (3
) × (13
)。答案
10. 2 × 3 × 13
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确质数的定义，再用分解质因数的方法，从最小的质数开始依次试除78，直到最后得到的商也是质数为止，就能得到相乘等于78的三个质数。第一步先回忆质数的概念：只有1和它本身两个因数的大于1的自然数是质数；第二步用最小的质数2试除78，因为78是偶数，能被2整除；第三步对得到的商继续用更小的质数试除，直到商也是质数，最终得到所有的质因数。
【解析】
首先明确质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数的数叫做质数。
我们对78进行分解质因数：
1. 78是偶数，能被最小的质数2整除：$78÷2=39$，2是质数，保留；
2. 观察39，各位数字之和为$3+9=12$，12是3的倍数，所以39能被质数3整除：$39÷3=13$，3是质数，保留；
3. 最后得到的商是13，13除了1和13外没有其他因数，也是质数。
因此78分解为三个质数相乘的结果就是2、3、13相乘。
【答案】
2 × 3 × 13
【知识点】
1. 质数的认识
2. 分解质因数
【点评】
本题结合密码学的应用场景考查质因数分解的基础能力，既可以巩固质数相关的基础概念，也能让学生体会数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确质数的定义，再用分解质因数的方法，从最小的质数开始依次试除78，直到最后得到的商也是质数为止，就能得到相乘等于78的三个质数。第一步先回忆质数的概念：只有1和它本身两个因数的大于1的自然数是质数；第二步用最小的质数2试除78，因为78是偶数，能被2整除；第三步对得到的商继续用更小的质数试除，直到商也是质数，最终得到所有的质因数。
【解析】
首先明确质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数的数叫做质数。
我们对78进行分解质因数：
1. 78是偶数，能被最小的质数2整除：$78÷2=39$，2是质数，保留；
2. 观察39，各位数字之和为$3+9=12$，12是3的倍数，所以39能被质数3整除：$39÷3=13$，3是质数，保留；
3. 最后得到的商是13，13除了1和13外没有其他因数，也是质数。
因此78分解为三个质数相乘的结果就是2、3、13相乘。
【答案】
2 × 3 × 13
【知识点】
1. 质数的认识
2. 分解质因数
【点评】
本题结合密码学的应用场景考查质因数分解的基础能力，既可以巩固质数相关的基础概念，也能让学生体会数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
11. 两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是(
8
)和(9
)。答案
11. 8、9
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的三个核心条件：①两个数是相邻自然数，相差为1；②两个数都是合数；③两个数的乘积是72。我们可以先找出所有乘积为72的正整数数对，再从中筛选出相差为1的数对，最后验证这组数是否都符合合数的定义即可得到答案。
【解析】
1. 首先列出乘积为72的正整数数对：
$1×72=72$，$2×36=72$，$3×24=72$，$4×18=72$，$6×12=72$，$8×9=72$
2. 从上述数对中找相邻的自然数（差为1的数对），只有8和9符合。
3. 验证合数定义：合数是指除了1和自身外还有其他正因数的大于1的正整数。
8的因数有1、2、4、8，是合数；9的因数有1、3、9，是合数，两个数都符合条件。
【答案】
8、9
【知识点】
合数的概念，因数的应用，相邻自然数的特征
【点评】
本题重点考察基础数论知识的运用，解题时可以先从乘积条件入手缩小可选范围，再结合其余条件逐一验证，解题逻辑清晰，只要牢记合数的定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目给出的三个核心条件：①两个数是相邻自然数，相差为1；②两个数都是合数；③两个数的乘积是72。我们可以先找出所有乘积为72的正整数数对，再从中筛选出相差为1的数对，最后验证这组数是否都符合合数的定义即可得到答案。
【解析】
1. 首先列出乘积为72的正整数数对：
$1×72=72$，$2×36=72$，$3×24=72$，$4×18=72$，$6×12=72$，$8×9=72$
2. 从上述数对中找相邻的自然数（差为1的数对），只有8和9符合。
3. 验证合数定义：合数是指除了1和自身外还有其他正因数的大于1的正整数。
8的因数有1、2、4、8，是合数；9的因数有1、3、9，是合数，两个数都符合条件。
【答案】
8、9
【知识点】
合数的概念，因数的应用，相邻自然数的特征
【点评】
本题重点考察基础数论知识的运用，解题时可以先从乘积条件入手缩小可选范围，再结合其余条件逐一验证，解题逻辑清晰，只要牢记合数的定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
12.“5、10、15、20、25……”这样数数，数出来的数都是(
5
)的倍数，第18个数是(90
)。答案
12. 5；90
解析
【分析】
首先观察给出的数列：5、10、15、20、25……，先判断这些数的共同特征：所有数都能被5整除，因此可以确定这些数都是5的倍数。接下来找数列的排列规律，第1个数是5×1，第2个数是5×2，第3个数是5×3，可总结出第n个数就是5乘n，求第18个数时直接用5乘18计算即可。
【解析】
1. 判断数的倍数特征：
分别计算数列中各数除以5的结果：
$5÷5=1$，$10÷5=2$，$15÷5=3$，$20÷5=4$……所有数除以5都没有余数，因此数出来的数都是5的倍数。
2. 计算第18个数：
观察数列规律可得：第1个数$=5×1=5$，第2个数$=5×2=10$，第3个数$=5×3=15$，即第k个数的表达式为$5× k$。
因此第18个数为：$5×18=90$。
【答案】
5；90
【知识点】
5的倍数特征，数列规律探索
【点评】
本题结合数数的情境考察倍数相关知识和简单数列规律的应用，属于基础题型，熟练掌握倍数的概念、找到数列的排列规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
首先观察给出的数列：5、10、15、20、25……，先判断这些数的共同特征：所有数都能被5整除，因此可以确定这些数都是5的倍数。接下来找数列的排列规律，第1个数是5×1，第2个数是5×2，第3个数是5×3，可总结出第n个数就是5乘n，求第18个数时直接用5乘18计算即可。
【解析】
1. 判断数的倍数特征：
分别计算数列中各数除以5的结果：
$5÷5=1$，$10÷5=2$，$15÷5=3$，$20÷5=4$……所有数除以5都没有余数，因此数出来的数都是5的倍数。
2. 计算第18个数：
观察数列规律可得：第1个数$=5×1=5$，第2个数$=5×2=10$，第3个数$=5×3=15$，即第k个数的表达式为$5× k$。
因此第18个数为：$5×18=90$。
【答案】
5；90
【知识点】
5的倍数特征，数列规律探索
【点评】
本题结合数数的情境考察倍数相关知识和简单数列规律的应用，属于基础题型，熟练掌握倍数的概念、找到数列的排列规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
13. 在括号里填上不同的质数。
(1)$9=(\quad)+(\quad)$
(2)$15=(\quad)×(\quad)=(\quad)+(\quad)$
(3)$21=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(4)$30=(\quad)×(\quad)×(\quad)$
(5)$39=(\quad)+(\quad)$
(6)$40=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)$
(1)$9=(\quad)+(\quad)$
(2)$15=(\quad)×(\quad)=(\quad)+(\quad)$
(3)$21=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
(4)$30=(\quad)×(\quad)×(\quad)$
(5)$39=(\quad)+(\quad)$
(6)$40=(\quad)+(\quad)=(\quad)+(\quad)$
答案
13.(1)2 7 (2)3 5 2 13 (3)3 5 13 (4)2 3 5 (5)2 37 (6)11 29 17 23(有些答案不唯一)
解析
【分析】
解题前先明确质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数的数是质数，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数，要熟记2、3、5、7、11、13等常见质数。解题思路：1.如果是两个质数相加得到奇数，那么其中一个质数一定是2（因为奇数=偶数+奇数，质数里只有2是偶数），用和减去2就能得到另一个质数；2.分解质因数类的题目，从最小的质数开始除，直到所有因数都是质数即可；3.多个质数相加的题目，从最小的质数开始尝试搭配，确保所有数都是不同的质数即可。
【解析】
先整理常用的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37，再逐题计算：
(1)9是奇数，其中一个加数为偶质数2，另一个数为$9-2=7$，7是质数，符合要求。
(2)分解15的质因数：$15÷3=5$，3和5都是质数，可得$15=3×5$；15是奇数，相加时其中一个加数是2，$15-2=13$，13是质数，符合要求。
(3)21拆成三个不同质数相加，先选最小的质数3，剩余$21-3=18$，再选质数5，剩余$18-5=13$，13是质数，3、5、13都是不同的质数，符合要求。
(4)分解30的质因数：$30÷2=15$，$15÷3=5$，2、3、5都是不同的质数，可得$30=2×3×5$。
(5)39是奇数，其中一个加数为2，$39-2=37$，37是质数，符合要求。
(6)40是偶数，两个加数均为奇质数，从较小质数尝试：$40-11=29$，11和29都是质数；$40-17=23$，17和23都是质数，两组均符合要求，部分答案不唯一。
【答案】
(1)2，7
(2)3，5；2，13
(3)3，5，13（答案不唯一）
(4)2，3，5
(5)2，37
(6)11，29；17，23（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识；分解质因数；整数拆分
【点评】
本题核心考察对质数概念的理解和运用，熟记常见质数、掌握2是唯一偶质数的特征可以大幅提升解题速度，部分拆分类题目答案不唯一，只要满足所有数是不同的质数即可。
【难度系数】
0.7
解题前先明确质数的定义：大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数的数是质数，最小的质数是2，且2是唯一的偶质数，要熟记2、3、5、7、11、13等常见质数。解题思路：1.如果是两个质数相加得到奇数，那么其中一个质数一定是2（因为奇数=偶数+奇数，质数里只有2是偶数），用和减去2就能得到另一个质数；2.分解质因数类的题目，从最小的质数开始除，直到所有因数都是质数即可；3.多个质数相加的题目，从最小的质数开始尝试搭配，确保所有数都是不同的质数即可。
【解析】
先整理常用的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37，再逐题计算：
(1)9是奇数，其中一个加数为偶质数2，另一个数为$9-2=7$，7是质数，符合要求。
(2)分解15的质因数：$15÷3=5$，3和5都是质数，可得$15=3×5$；15是奇数，相加时其中一个加数是2，$15-2=13$，13是质数，符合要求。
(3)21拆成三个不同质数相加，先选最小的质数3，剩余$21-3=18$，再选质数5，剩余$18-5=13$，13是质数，3、5、13都是不同的质数，符合要求。
(4)分解30的质因数：$30÷2=15$，$15÷3=5$，2、3、5都是不同的质数，可得$30=2×3×5$。
(5)39是奇数，其中一个加数为2，$39-2=37$，37是质数，符合要求。
(6)40是偶数，两个加数均为奇质数，从较小质数尝试：$40-11=29$，11和29都是质数；$40-17=23$，17和23都是质数，两组均符合要求，部分答案不唯一。
【答案】
(1)2，7
(2)3，5；2，13
(3)3，5，13（答案不唯一）
(4)2，3，5
(5)2，37
(6)11，29；17，23（答案不唯一）
【知识点】
质数的认识；分解质因数；整数拆分
【点评】
本题核心考察对质数概念的理解和运用，熟记常见质数、掌握2是唯一偶质数的特征可以大幅提升解题速度，部分拆分类题目答案不唯一，只要满足所有数是不同的质数即可。
【难度系数】
0.7
