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1. (2025·海门区期中)将分别标有“最”“美”“东”“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中,这些小球除汉字以外其他完全相同,每次摸球前先搅匀,随机摸出一球,不放回,再随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“东国”的概率是 （
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{5}{16}$
A
）A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{8}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{5}{16}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是典型的不放回摸球类古典概型问题，解题思路如下：首先明确两步试验求概率的常规解法，可通过画树状图或者列表法枚举所有等可能的结果；接着从全部结果中筛选出满足“两次摸出汉字组成‘东国’”的结果数量；最后代入古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可得到答案，注意不放回抽样的特点，第一次摸出的球不会出现在第二次的可选范围内，避免重复计数。
【解析】
我们通过树状图法枚举所有等可能结果：
1. 第一次摸球，共有4种等可能的结果：摸到“最”、摸到“美”、摸到“东”、摸到“国”。
2. 由于是不放回摸球，第一次摸走1个球后口袋剩余3个球，对应每一种第一次的摸球结果，第二次摸球都有3种等可能的结果。
因此总等可能结果数为：$4×3=12$种。
其中满足“两次摸出汉字组成‘东国’”的结果共2种：第一次摸到“东”第二次摸到“国”、第一次摸到“国”第二次摸到“东”。
代入概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{组成“东国”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
树状图求概率，概率公式，不放回抽样
【点评】
本题属于概率模块的基础题，核心考查两步不放回抽样的概率计算，易错点是误将不放回当成有放回抽样，把总结果数错算为16种，枚举结果时注意区分放回和不放回的差异，做到不重不漏即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
这是典型的不放回摸球类古典概型问题，解题思路如下：首先明确两步试验求概率的常规解法，可通过画树状图或者列表法枚举所有等可能的结果；接着从全部结果中筛选出满足“两次摸出汉字组成‘东国’”的结果数量；最后代入古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可得到答案，注意不放回抽样的特点，第一次摸出的球不会出现在第二次的可选范围内，避免重复计数。
【解析】
我们通过树状图法枚举所有等可能结果：
1. 第一次摸球，共有4种等可能的结果：摸到“最”、摸到“美”、摸到“东”、摸到“国”。
2. 由于是不放回摸球，第一次摸走1个球后口袋剩余3个球，对应每一种第一次的摸球结果，第二次摸球都有3种等可能的结果。
因此总等可能结果数为：$4×3=12$种。
其中满足“两次摸出汉字组成‘东国’”的结果共2种：第一次摸到“东”第二次摸到“国”、第一次摸到“国”第二次摸到“东”。
代入概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{组成“东国”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
树状图求概率，概率公式，不放回抽样
【点评】
本题属于概率模块的基础题，核心考查两步不放回抽样的概率计算，易错点是误将不放回当成有放回抽样，把总结果数错算为16种，枚举结果时注意区分放回和不放回的差异，做到不重不漏即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 3月14日是国际数学节.某校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动,如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,那么她们恰好选到同一个活动的概率是（
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道古典概型的基础计算题目，我们可以按清晰的步骤推导：第一步先确定所有等可能的选择结果，小红有3种活动可选，小丽同样也有3种活动可选，两人选择相互独立，我们可以用枚举法或者画树状图的方式把所有组合不重不漏列出来；第二步统计出满足“两人恰好选到同一个活动”的结果数量；第三步代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出对应概率，解题时要注意不要错算总情况数，避免漏算重复的选择组合。
【解析】
我们先将三个活动分别记为A（竞速华容道）、B（玩转幻方）、C（巧解鲁班锁），枚举两人所有的选择组合：
1. 小红选A时，小丽可选A、B、C，对应结果为(A,A)、(A,B)、(A,C)；
2. 小红选B时，小丽可选A、B、C，对应结果为(B,A)、(B,B)、(B,C)；
3. 小红选C时，小丽可选A、B、C，对应结果为(C,A)、(C,B)、(C,C)。
总共有9种等可能的结果，其中两人选择同一个活动的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据古典概型概率公式计算：
$P(\mathrm{两人选到同一个活动})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】列举法求概率，古典概型
【点评】本题是概率模块的基础常考题，难度较低，核心要求是掌握枚举法不重不漏统计所有结果，避免出现总情况数计算错误的问题，属于初中数学概率部分的典型送分题型。
【难度系数】0.8
这是一道古典概型的基础计算题目，我们可以按清晰的步骤推导：第一步先确定所有等可能的选择结果，小红有3种活动可选，小丽同样也有3种活动可选，两人选择相互独立，我们可以用枚举法或者画树状图的方式把所有组合不重不漏列出来；第二步统计出满足“两人恰好选到同一个活动”的结果数量；第三步代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出对应概率，解题时要注意不要错算总情况数，避免漏算重复的选择组合。
【解析】
我们先将三个活动分别记为A（竞速华容道）、B（玩转幻方）、C（巧解鲁班锁），枚举两人所有的选择组合：
1. 小红选A时，小丽可选A、B、C，对应结果为(A,A)、(A,B)、(A,C)；
2. 小红选B时，小丽可选A、B、C，对应结果为(B,A)、(B,B)、(B,C)；
3. 小红选C时，小丽可选A、B、C，对应结果为(C,A)、(C,B)、(C,C)。
总共有9种等可能的结果，其中两人选择同一个活动的结果为(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据古典概型概率公式计算：
$P(\mathrm{两人选到同一个活动})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】列举法求概率，古典概型
【点评】本题是概率模块的基础常考题，难度较低，核心要求是掌握枚举法不重不漏统计所有结果，避免出现总情况数计算错误的问题，属于初中数学概率部分的典型送分题型。
【难度系数】0.8
3. 用数字 0,1,2,3 组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为
$\frac{5}{9}$
。答案
3. $\frac{5}{9}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的基础概率题，解题思路分三步推进：第一步先确定所有符合要求的两位数的总数量，要特别注意两位数的十位不能为0，避免把十位是0的无效数计入总样本；第二步从所有有效两位数中筛选出偶数，偶数的判定规则是个位数字为偶数；第三步用符合要求的偶数的个数除以总两位数的个数，即可得到所求概率，用逐一列举的方法可以清晰避免计数错误。
【解析】
1. 计算所有满足条件的两位数总数：
两位数的十位不能取0，因此十位可选数字为1、2、3：
十位为1时，个位可选0、2、3，得到10、12、13，共3个数；
十位为2时，个位可选0、1、3，得到20、21、23，共3个数；
十位为3时，个位可选0、1、2，得到30、31、32，共3个数；
总共有3+3+3=9个个位与十位不同的有效两位数。
2. 筛选其中的偶数：
偶数要求个位数字为偶数，本题中可选的偶数字是0、2，逐一筛选得到符合要求的偶数为10、12、20、30、32，共5个。
3. 代入古典概型概率公式计算：
所求概率$P=\frac{符合条件的偶数个数}{总两位数个数}=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
古典概型，偶数判定，两位数组成规则
【点评】
本题的核心易错点是忽略两位数的十位不能为0，误将总样本数算为12导致结果出错，用有序列举的方法枚举所有样本可以有效规避计数错误，重点考察学生对基础古典概型的理解和有序计数的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道古典概型的基础概率题，解题思路分三步推进：第一步先确定所有符合要求的两位数的总数量，要特别注意两位数的十位不能为0，避免把十位是0的无效数计入总样本；第二步从所有有效两位数中筛选出偶数，偶数的判定规则是个位数字为偶数；第三步用符合要求的偶数的个数除以总两位数的个数，即可得到所求概率，用逐一列举的方法可以清晰避免计数错误。
【解析】
1. 计算所有满足条件的两位数总数：
两位数的十位不能取0，因此十位可选数字为1、2、3：
十位为1时，个位可选0、2、3，得到10、12、13，共3个数；
十位为2时，个位可选0、1、3，得到20、21、23，共3个数；
十位为3时，个位可选0、1、2，得到30、31、32，共3个数；
总共有3+3+3=9个个位与十位不同的有效两位数。
2. 筛选其中的偶数：
偶数要求个位数字为偶数，本题中可选的偶数字是0、2，逐一筛选得到符合要求的偶数为10、12、20、30、32，共5个。
3. 代入古典概型概率公式计算：
所求概率$P=\frac{符合条件的偶数个数}{总两位数个数}=\frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
古典概型，偶数判定，两位数组成规则
【点评】
本题的核心易错点是忽略两位数的十位不能为0，误将总样本数算为12导致结果出错，用有序列举的方法枚举所有样本可以有效规避计数错误，重点考察学生对基础古典概型的理解和有序计数的能力。
【难度系数】
0.6
4.(2025·清江浦区模拟)某社团中有三名男生和一名女生,该社团将随机选派两名同学作为代表参加市级比赛,恰好选中一男一女的概率是
$\frac{1}{2}$
.答案
4. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道典型的古典概型概率计算题，解题思路非常清晰：首先我们需要先求出从4名同学中任选2名的所有等可能的总情况数，再从中统计出恰好选中1名男生1名女生的符合条件的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到所求概率。因为总人数很少，我们可以直接用列举法把所有选法都列出来，避免计数出错，也可以用组合公式直接计算两类情况的数量。
【解析】
我们可以通过列举法求解：
1. 标记三名男生为男₁、男₂、男₃，女生为女₁，从4人中随机选2人的所有等可能基本事件为：(男₁,男₂)、(男₁,男₃)、(男₁,女₁)、(男₂,男₃)、(男₂,女₁)、(男₃,女₁)，总共有6种不同的选法。
2. 其中恰好选中一男一女的事件为：(男₁,女₁)、(男₂,女₁)、(男₃,女₁)，共3种符合要求的选法。
3. 根据古典概型概率公式：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，代入得$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
也可以用组合计数验证：总选法数为$C_4^2=6$，选1男1女的选法数为$C_3^1 × C_1^1=3$，计算得到的概率结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，题干场景贴近日常，总样本数很小，用最基础的枚举法就可以完成求解，解题时注意不要重复统计组合情况，是初中概率部分非常典型的基础考题，能帮助学生巩固古典概型的核心计算逻辑。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的古典概型概率计算题，解题思路非常清晰：首先我们需要先求出从4名同学中任选2名的所有等可能的总情况数，再从中统计出恰好选中1名男生1名女生的符合条件的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到所求概率。因为总人数很少，我们可以直接用列举法把所有选法都列出来，避免计数出错，也可以用组合公式直接计算两类情况的数量。
【解析】
我们可以通过列举法求解：
1. 标记三名男生为男₁、男₂、男₃，女生为女₁，从4人中随机选2人的所有等可能基本事件为：(男₁,男₂)、(男₁,男₃)、(男₁,女₁)、(男₂,男₃)、(男₂,女₁)、(男₃,女₁)，总共有6种不同的选法。
2. 其中恰好选中一男一女的事件为：(男₁,女₁)、(男₂,女₁)、(男₃,女₁)，共3种符合要求的选法。
3. 根据古典概型概率公式：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}$，代入得$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
也可以用组合计数验证：总选法数为$C_4^2=6$，选1男1女的选法数为$C_3^1 × C_1^1=3$，计算得到的概率结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，题干场景贴近日常，总样本数很小，用最基础的枚举法就可以完成求解，解题时注意不要重复统计组合情况，是初中概率部分非常典型的基础考题，能帮助学生巩固古典概型的核心计算逻辑。
【难度系数】
0.8
5.(2025·南通)为继承和弘扬中华优秀传统文化,某校将八年级学生随机安排到如图所示的四个场所参加社会实践活动.
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生,求下列事件的概率:
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动;
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动.
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生,求下列事件的概率:
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动;
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动.
答案
5. 解:(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为$\frac{1}{4}$.
(2)图中社会实践活动分别用①,②,③,④表示,
列表如下:
| 小华\小丽 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | ①① | ①② | ①③ | ①④ |
| ② | ②① | ②② | ②③ | ②④ |
| ③ | ③① | ③② | ③③ | ③④ |
| ④ | ④① | ④② | ④③ | ④④ |
共有16种等可能的结果,其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果有1种,
所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为$\frac{1}{16}$.
(2)图中社会实践活动分别用①,②,③,④表示,
列表如下:
| 小华\小丽 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | ①① | ①② | ①③ | ①④ |
| ② | ②① | ②② | ②③ | ②④ |
| ③ | ③① | ③② | ③③ | ③④ |
| ④ | ④① | ④② | ④③ | ④④ |
共有16种等可能的结果,其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果有1种,
所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为$\frac{1}{16}$.
解析
【分析】
我们可以按照古典概型的思路逐步解题：
1. 解决第(1)问时，首先明确小明的可选场所一共4个，且每个场所被随机选中的可能性完全相等，总共有4种等可能的结果，其中符合“到南通博物苑”的结果仅1种，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
2. 解决第(2)问时，小华和小丽的选择是相互独立的，我们可以先给4个场所编号，通过列表法不重不漏地枚举两人选择的所有组合，统计出全部等可能的总结果数，再数出“两人都到南通美术馆”的符合条件的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知共有4个不同的社会实践场所，小明随机选择参与，每个场所被选中的概率相等，全部等可能的结果共4种，其中小明到南通博物苑的结果仅有1种，
因此小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 我们将南通博物苑、南通城市博物馆、南通大剧院、南通美术馆依次记为①、②、③、④，列出小华和小丽选择场所的所有组合如下：
| 小华\小丽 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | ①① | ①② | ①③ | ①④ |
| ② | ②① | ②② | ②③ | ②④ |
| ③ | ③① | ③② | ③③ | ③④ |
| ④ | ④① | ④② | ④③ | ④④ |
由表格可知，总共有16种等可能的结果，其中小华和小丽都到南通美术馆的结果仅有1种，
因此小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为 $\frac{1}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{16}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，第(1)问直接考察古典概型的基本定义，难度很低；第(2)问考察学生用列表法完整枚举两个独立事件所有等可能结果的能力，只要枚举过程不重复、不遗漏就可以轻松得到正确结果，适合巩固概率计算的基础方法。
【难度系数】
0.85
我们可以按照古典概型的思路逐步解题：
1. 解决第(1)问时，首先明确小明的可选场所一共4个，且每个场所被随机选中的可能性完全相等，总共有4种等可能的结果，其中符合“到南通博物苑”的结果仅1种，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
2. 解决第(2)问时，小华和小丽的选择是相互独立的，我们可以先给4个场所编号，通过列表法不重不漏地枚举两人选择的所有组合，统计出全部等可能的总结果数，再数出“两人都到南通美术馆”的符合条件的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知共有4个不同的社会实践场所，小明随机选择参与，每个场所被选中的概率相等，全部等可能的结果共4种，其中小明到南通博物苑的结果仅有1种，
因此小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 我们将南通博物苑、南通城市博物馆、南通大剧院、南通美术馆依次记为①、②、③、④，列出小华和小丽选择场所的所有组合如下：
| 小华\小丽 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | ①① | ①② | ①③ | ①④ |
| ② | ②① | ②② | ②③ | ②④ |
| ③ | ③① | ③② | ③③ | ③④ |
| ④ | ④① | ④② | ④③ | ④④ |
由表格可知，总共有16种等可能的结果，其中小华和小丽都到南通美术馆的结果仅有1种，
因此小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为 $\frac{1}{16}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{16}$
【知识点】
古典概型，列表法求概率，等可能事件
【点评】
本题是概率模块的基础常考题，第(1)问直接考察古典概型的基本定义，难度很低；第(2)问考察学生用列表法完整枚举两个独立事件所有等可能结果的能力，只要枚举过程不重复、不遗漏就可以轻松得到正确结果，适合巩固概率计算的基础方法。
【难度系数】
0.85
6. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”. 用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为 （
A.$\dfrac{5}{9}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
C
）A.$\dfrac{5}{9}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步，明确古典概型的计算逻辑，概率等于符合条件的事件数除以总基本事件数；第二步，先枚举所有用1、2、3组成的无重复数字的三位数，得到总样本数；第三步，紧扣“平稳数”的定义，即任意两个相邻数字差的绝对值不超过1，逐一筛选出符合要求的三位数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
1. 计算总样本数：用1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，是3个元素的全排列，总共有$A_3^3=3×2×1=6$个，分别为：123、132、213、231、312、321。
2. 筛选平稳数：根据定义逐一判断：
123：相邻差$|1-2|=1$，$|2-3|=1$，均不超过1，属于平稳数；
132：相邻差$|1-3|=2＞1$，不属于平稳数；
213：相邻差$|1-3|=2＞1$，不属于平稳数；
231：相邻差$|3-1|=2＞1$，不属于平稳数；
312：相邻差$|3-1|=2＞1$，不属于平稳数；
321：相邻差$|3-2|=1$，$|2-1|=1$，均不超过1，属于平稳数。
最终符合要求的平稳数共2个。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，全排列，绝对值运算
【点评】
本题是新定义结合古典概型的基础题，解题关键是准确理解“平稳数”的规则，同时注意题干明确要求三位数无重复数字，避免误算总样本数为9导致错选，通过逐一枚举筛选样本即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步推进：第一步，明确古典概型的计算逻辑，概率等于符合条件的事件数除以总基本事件数；第二步，先枚举所有用1、2、3组成的无重复数字的三位数，得到总样本数；第三步，紧扣“平稳数”的定义，即任意两个相邻数字差的绝对值不超过1，逐一筛选出符合要求的三位数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
1. 计算总样本数：用1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数，是3个元素的全排列，总共有$A_3^3=3×2×1=6$个，分别为：123、132、213、231、312、321。
2. 筛选平稳数：根据定义逐一判断：
123：相邻差$|1-2|=1$，$|2-3|=1$，均不超过1，属于平稳数；
132：相邻差$|1-3|=2＞1$，不属于平稳数；
213：相邻差$|1-3|=2＞1$，不属于平稳数；
231：相邻差$|3-1|=2＞1$，不属于平稳数；
312：相邻差$|3-1|=2＞1$，不属于平稳数；
321：相邻差$|3-2|=1$，$|2-1|=1$，均不超过1，属于平稳数。
最终符合要求的平稳数共2个。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，全排列，绝对值运算
【点评】
本题是新定义结合古典概型的基础题，解题关键是准确理解“平稳数”的规则，同时注意题干明确要求三位数无重复数字，避免误算总样本数为9导致错选，通过逐一枚举筛选样本即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
