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7. 在数$-1,0,2$中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数$y=x+2$图象上的概率是（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$
D
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$
答案
7. D
解析
【分析】
这道题是概率与一次函数的综合题，解题思路非常清晰：首先我们需要明确概率的计算公式是「符合要求的事件数÷总的等可能事件数」。第一步要先把从给定的3个数里任取两个数作为点坐标的所有等可能结果不重不漏地列出来，注意点的坐标是有序的，横纵坐标交换后属于不同的点；第二步把所有列出的点依次代入一次函数解析式，验证是否满足等式，统计符合条件的点的数量；最后代入概率公式计算就能得到结果。
【解析】
1. 列举所有等可能的点坐标：从-1、0、2三个数中任取两个不同的数分别作为横、纵坐标，所有的等可能结果共6种，分别是：$(-1,0)$、$(-1,2)$、$(0,-1)$、$(0,2)$、$(2,-1)$、$(2,0)$。
2. 验证点是否在$y=x+2$图象上：将每个点的横坐标代入解析式，计算出对应的函数值，和点的纵坐标对比：
点$(-1,0)$：$x=-1$时，$y=-1+2=1≠0$，不在图象上；
点$(-1,2)$：$x=-1$时，$y=1≠2$，不在图象上；
点$(0,-1)$：$x=0$时，$y=0+2=2≠-1$，不在图象上；
点$(0,2)$：$x=0$时，$y=0+2=2$，和纵坐标相等，在图象上；
点$(2,-1)$：$x=2$时，$y=2+2=4≠-1$，不在图象上；
点$(2,0)$：$x=2$时，$y=4≠0$，不在图象上。
3. 计算概率：符合条件的点只有1个，因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，最常见的易错点是很多同学误把取两个数当成无序的组合，错算总事件数为3种，得到错误结果$\frac{1}{3}$，解题时要明确点的横纵坐标顺序不同代表不同的点，列举所有结果时要做到不重不漏，区分有序和无序的场景。
【难度系数】
0.5
这道题是概率与一次函数的综合题，解题思路非常清晰：首先我们需要明确概率的计算公式是「符合要求的事件数÷总的等可能事件数」。第一步要先把从给定的3个数里任取两个数作为点坐标的所有等可能结果不重不漏地列出来，注意点的坐标是有序的，横纵坐标交换后属于不同的点；第二步把所有列出的点依次代入一次函数解析式，验证是否满足等式，统计符合条件的点的数量；最后代入概率公式计算就能得到结果。
【解析】
1. 列举所有等可能的点坐标：从-1、0、2三个数中任取两个不同的数分别作为横、纵坐标，所有的等可能结果共6种，分别是：$(-1,0)$、$(-1,2)$、$(0,-1)$、$(0,2)$、$(2,-1)$、$(2,0)$。
2. 验证点是否在$y=x+2$图象上：将每个点的横坐标代入解析式，计算出对应的函数值，和点的纵坐标对比：
点$(-1,0)$：$x=-1$时，$y=-1+2=1≠0$，不在图象上；
点$(-1,2)$：$x=-1$时，$y=1≠2$，不在图象上；
点$(0,-1)$：$x=0$时，$y=0+2=2≠-1$，不在图象上；
点$(0,2)$：$x=0$时，$y=0+2=2$，和纵坐标相等，在图象上；
点$(2,-1)$：$x=2$时，$y=2+2=4≠-1$，不在图象上；
点$(2,0)$：$x=2$时，$y=4≠0$，不在图象上。
3. 计算概率：符合条件的点只有1个，因此所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，最常见的易错点是很多同学误把取两个数当成无序的组合，错算总事件数为3种，得到错误结果$\frac{1}{3}$，解题时要明确点的横纵坐标顺序不同代表不同的点，列举所有结果时要做到不重不漏，区分有序和无序的场景。
【难度系数】
0.5
8. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致. 完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
8. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道典型的古典概型概率计算问题，解题思路可以拆分为三步：第一步先明确所有等可能的事件总数，3支不同颜色的笔和对应3个笔帽，随机盖笔帽的所有结果就是3个元素的全排列，很容易算出总共有6种等可能情况；第二步通过枚举法，筛选出所有满足“笔帽和笔芯颜色完全不匹配”的情况，也就是3个元素的错位排列的符合条件的结果，数出这类情况共有2种；最后用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到最终的概率结果。
【解析】
解：我们将三支彩笔分别记为红笔、黄笔、蓝笔，对应笔帽也为红帽、黄帽、蓝帽：
1. 计算总等可能情况数：将3个笔帽随机盖在3支笔上，等价于对3个不同元素做全排列，总情况数为：
$ 3! = 3×2×1 = 6 $ 种，所有具体情况枚举如下：
① 红帽盖红笔，黄帽盖黄笔，蓝帽盖蓝笔（全匹配）
② 红帽盖红笔，黄帽盖蓝笔，蓝帽盖黄笔（仅红笔匹配）
③ 红帽盖黄笔，黄帽盖红笔，蓝帽盖蓝笔（仅蓝笔匹配）
④ 红帽盖黄笔，黄帽盖蓝笔，蓝帽盖红笔（全不匹配）
⑤ 红帽盖蓝笔，黄帽盖红笔，蓝帽盖黄笔（全不匹配）
⑥ 红帽盖蓝笔，黄帽盖黄笔，蓝帽盖红笔（仅黄笔匹配）
2. 统计符合要求的情况：从枚举结果中筛选出所有笔帽和笔芯颜色都不匹配的情况，共2种。
3. 代入古典概型概率公式计算：
$ P = \frac{\mathrm{全不匹配的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型，错位排列，排列计数
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，不需要记忆复杂的错位排列公式，通过枚举法就可以不重不漏统计所有结果，学生解题时容易出现的错误是数错全不匹配的情况数，只要按照顺序枚举所有排列，就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的古典概型概率计算问题，解题思路可以拆分为三步：第一步先明确所有等可能的事件总数，3支不同颜色的笔和对应3个笔帽，随机盖笔帽的所有结果就是3个元素的全排列，很容易算出总共有6种等可能情况；第二步通过枚举法，筛选出所有满足“笔帽和笔芯颜色完全不匹配”的情况，也就是3个元素的错位排列的符合条件的结果，数出这类情况共有2种；最后用符合条件的情况数除以总情况数，就能得到最终的概率结果。
【解析】
解：我们将三支彩笔分别记为红笔、黄笔、蓝笔，对应笔帽也为红帽、黄帽、蓝帽：
1. 计算总等可能情况数：将3个笔帽随机盖在3支笔上，等价于对3个不同元素做全排列，总情况数为：
$ 3! = 3×2×1 = 6 $ 种，所有具体情况枚举如下：
① 红帽盖红笔，黄帽盖黄笔，蓝帽盖蓝笔（全匹配）
② 红帽盖红笔，黄帽盖蓝笔，蓝帽盖黄笔（仅红笔匹配）
③ 红帽盖黄笔，黄帽盖红笔，蓝帽盖蓝笔（仅蓝笔匹配）
④ 红帽盖黄笔，黄帽盖蓝笔，蓝帽盖红笔（全不匹配）
⑤ 红帽盖蓝笔，黄帽盖红笔，蓝帽盖黄笔（全不匹配）
⑥ 红帽盖蓝笔，黄帽盖黄笔，蓝帽盖红笔（仅黄笔匹配）
2. 统计符合要求的情况：从枚举结果中筛选出所有笔帽和笔芯颜色都不匹配的情况，共2种。
3. 代入古典概型概率公式计算：
$ P = \frac{\mathrm{全不匹配的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型，错位排列，排列计数
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，不需要记忆复杂的错位排列公式，通过枚举法就可以不重不漏统计所有结果，学生解题时容易出现的错误是数错全不匹配的情况数，只要按照顺序枚举所有排列，就可以轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
9.(2025·清江浦区月考)从长度分别为1,3,5,7的四条线段中任选三条作边,能构成三角形的概率为
$\frac{1}{4}$
.答案
9. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
这道题求解概率，我们可以按照古典概型的解题逻辑分步思考：第一步先确定所有等可能的基本事件总数，也就是从4条线段里任选3条的所有组合情况；第二步利用三角形三边的约束条件，筛选出其中可以构成三角形的组合数量；最后用“符合要求的事件数÷总事件数”就能算出最终概率。要注意选线段是无顺序的组合问题，不需要重复计数，判断三边关系时只需验证较小两边的和是否大于最大边即可，能简化判断过程。
【解析】
1. 列举所有基本事件：从长度为1,3,5,7的四条线段中任选三条，所有不重复的组合共4种，分别为：(1,3,5)、(1,3,7)、(1,5,7)、(3,5,7)。
2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，可简化为较小两边之和大于最大边）逐一验证：
组合(1,3,5)：1+3=4＜5，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(1,3,7)：1+3=4＜7，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(1,5,7)：1+5=6＜7，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(3,5,7)：3+5=8＞7，满足三边关系，可以构成三角形。
因此能构成三角形的组合仅有1种。
3. 代入古典概型概率公式计算：
$P(\mathrm{能构成三角形}) = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系，古典概型计算
【点评】
本题属于概率与三角形性质结合的基础题型，易错点一是列举组合时出现重复或遗漏，二是判断三边关系时忽略“两边之和大于第三边”的要求误判结果，解题时利用“较小两边之和大于最大边”的技巧可以大幅简化验证步骤。
【难度系数】
0.7
这道题求解概率，我们可以按照古典概型的解题逻辑分步思考：第一步先确定所有等可能的基本事件总数，也就是从4条线段里任选3条的所有组合情况；第二步利用三角形三边的约束条件，筛选出其中可以构成三角形的组合数量；最后用“符合要求的事件数÷总事件数”就能算出最终概率。要注意选线段是无顺序的组合问题，不需要重复计数，判断三边关系时只需验证较小两边的和是否大于最大边即可，能简化判断过程。
【解析】
1. 列举所有基本事件：从长度为1,3,5,7的四条线段中任选三条，所有不重复的组合共4种，分别为：(1,3,5)、(1,3,7)、(1,5,7)、(3,5,7)。
2. 根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，可简化为较小两边之和大于最大边）逐一验证：
组合(1,3,5)：1+3=4＜5，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(1,3,7)：1+3=4＜7，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(1,5,7)：1+5=6＜7，不满足三边关系，无法构成三角形；
组合(3,5,7)：3+5=8＞7，满足三边关系，可以构成三角形。
因此能构成三角形的组合仅有1种。
3. 代入古典概型概率公式计算：
$P(\mathrm{能构成三角形}) = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
三角形三边关系，古典概型计算
【点评】
本题属于概率与三角形性质结合的基础题型，易错点一是列举组合时出现重复或遗漏，二是判断三边关系时忽略“两边之和大于第三边”的要求误判结果，解题时利用“较小两边之和大于最大边”的技巧可以大幅简化验证步骤。
【难度系数】
0.7
10. 将如图所示的 A 型,B 型,C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这 3 个盒子装入一个不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子,则摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为
(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个,用列表法或画树状图法求 2 次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子,则摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为
$\frac{1}{3}$
;(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个,用列表法或画树状图法求 2 次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
答案
10. (1) $\frac{1}{3}$
(2) 解:画树状图如答图.
由树状图知共有6种等可能的结果,其中2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的结果有4种,
所以2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确总共有3个完全相同的盒子，分别对应A、B、C三类纸片，随机摸取1个时所有等可能的结果共3种，其中摸出A型纸片的结果仅1种，直接用古典概型概率公式即可计算对应概率。
(2) 按照不放回抽取的规则，先通过画树状图或者列表的方式枚举所有两次摸取的等可能结果，再判断哪两类纸片可以无缝不重叠拼接成新矩形：A和B、B和C都可以拼接为新矩形，A和C无法拼接，统计符合条件的结果数量，最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知共有3个盒子，搅匀后随机摸出1个盒子，共有3种等可能的结果，其中摸出装有A型矩形纸片的盒子的结果只有1种，因此摸出A型的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图枚举所有结果：
第一次摸取的可能结果为A、B、C，在不放回的前提下，第二次摸取的结果对应剩余的2个选项，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，总计6种。
其中可拼接为新矩形的组合：A与B将长度为2的边对齐，可得到长为4、宽为2的矩形；B与C将长度为1的边对齐，可得到长为3、宽为1的矩形；A与C无法拼接为新矩形。因此符合要求的结果共4种。
因此两次摸出的纸片能拼成新矩形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 解:画树状图如答图.
由树状图知共有6种等可能的结果,其中2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的结果有4种,
所以2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
古典概型概率，树状图法求概率，矩形拼接
【点评】
本题属于概率模块的基础综合题，第一问直接考察基础概率公式的应用，难度较低；第二问结合了简单的图形拼接判断，要求学生能正确用树状图枚举不放回抽取的所有等可能结果，再筛选符合条件的情况计算概率，既考察概率核心知识点，也锻炼了学生的空间图形判断能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确总共有3个完全相同的盒子，分别对应A、B、C三类纸片，随机摸取1个时所有等可能的结果共3种，其中摸出A型纸片的结果仅1种，直接用古典概型概率公式即可计算对应概率。
(2) 按照不放回抽取的规则，先通过画树状图或者列表的方式枚举所有两次摸取的等可能结果，再判断哪两类纸片可以无缝不重叠拼接成新矩形：A和B、B和C都可以拼接为新矩形，A和C无法拼接，统计符合条件的结果数量，最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知共有3个盒子，搅匀后随机摸出1个盒子，共有3种等可能的结果，其中摸出装有A型矩形纸片的盒子的结果只有1种，因此摸出A型的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图枚举所有结果：
第一次摸取的可能结果为A、B、C，在不放回的前提下，第二次摸取的结果对应剩余的2个选项，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，总计6种。
其中可拼接为新矩形的组合：A与B将长度为2的边对齐，可得到长为4、宽为2的矩形；B与C将长度为1的边对齐，可得到长为3、宽为1的矩形；A与C无法拼接为新矩形。因此符合要求的结果共4种。
因此两次摸出的纸片能拼成新矩形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 解:画树状图如答图.
由树状图知共有6种等可能的结果,其中2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的结果有4种,
所以2次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
古典概型概率，树状图法求概率，矩形拼接
【点评】
本题属于概率模块的基础综合题，第一问直接考察基础概率公式的应用，难度较低；第二问结合了简单的图形拼接判断，要求学生能正确用树状图枚举不放回抽取的所有等可能结果，再筛选符合条件的情况计算概率，既考察概率核心知识点，也锻炼了学生的空间图形判断能力。
【难度系数】
0.7
11. 为了切实帮助家长解决在学生教育上的困惑,学校举办了一场家庭教育沙龙并邀请了部分家长参加活动. 在场地安排了9把椅子(每个方格代表一把椅子,横为排,竖为列)按如图所示方式摆放,其中圆点表示已经有家长入座的椅子.
(1)如图①,已经有两位家长入座,又有一位家长随机入座,则这三位家长刚好在同一条直线上的概率为
(2)如图②,已经有四位家长入座,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第一排,乙坐第二排,用画树状图或列表的方法求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率.
(1)如图①,已经有两位家长入座,又有一位家长随机入座,则这三位家长刚好在同一条直线上的概率为
$\frac{1}{7}$
；(2)如图②,已经有四位家长入座,又有甲、乙两位家长随机入座,已知甲坐第一排,乙坐第二排,用画树状图或列表的方法求甲、乙两人刚好坐在同一列上的概率.
答案
11. (1) $\frac{1}{7}$
(2) 解:将第$m$排,第$n$列记为$(m,n)$,
由题图②,知第1排可入座的位置有$(1,1)$,$(1,2)$,$(1,3)$,
第2排可入座的位置有$(2,2)$,$(2,3)$.
画树状图如答图.
由树状图可知,一共有6种等可能的结果,其中甲、乙刚好坐在同一列的结果有2种,
$\therefore P$(甲、乙两人刚好坐在同一列)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
第(1)问的解题思路：首先明确总共有9个座位，图①已经坐了2位家长，因此剩余可供第三位家长随机入座的等可能位置总数为9-2=7。接下来我们只需要找出这7个空位中，能和已有的两位家长三点共线的空位数量，发现仅存在1个空位满足三点共线的要求，代入概率公式即可算出结果。
第(2)问的解题思路：题目限定甲只能在第一排空位选择，乙只能在第二排空位选择，先分别找出第一排、第二排所有未被占用的空位，再通过画树状图的方式不重不漏地枚举甲乙入座的所有组合，统计全部等可能的结果数，再从中筛选出甲乙座位处于同一列的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到对应概率。
【解析】
(1) 图①共有9个座位，已有2个座位被家长占用，剩余可随机入座的座位共9-2=7个，所有入座情况等可能。
要使三位家长刚好在同一条直线上，仅存在1个空位满足三点共线的条件，因此所求概率为$\frac{1}{7}$。
(2) 将第$m$排，第$n$列的座位记为$(m,n)$，由图②可知：
第1排可入座的空位有$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$共3个，第2排可入座的空位有$(2,2)$、$(2,3)$共2个。
通过树状图枚举所有入座组合后可得，一共有6种等可能的结果，其中甲、乙刚好坐在同一列的结果有2种，代入概率公式计算即可得到对应概率。
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$
(2) 解：将第$m$排，第$n$列记为$(m,n)$，
由题图②，知第1排可入座的位置有$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，
第2排可入座的位置有$(2,2)$，$(2,3)$。
画树状图如答图。
由树状图可知，一共有6种等可能的结果，其中甲、乙刚好坐在同一列的结果有2种，
$\therefore P$(甲、乙两人刚好坐在同一列)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题是结合网格座位场景的概率应用题，第(1)问结合三点共线的几何特征考察基础概率计算，第(2)问限定了两人的可选座位范围，重点考察学生用树状图不重不漏枚举所有等可能结果的能力，解题时注意不要漏数、错数空位数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问的解题思路：首先明确总共有9个座位，图①已经坐了2位家长，因此剩余可供第三位家长随机入座的等可能位置总数为9-2=7。接下来我们只需要找出这7个空位中，能和已有的两位家长三点共线的空位数量，发现仅存在1个空位满足三点共线的要求，代入概率公式即可算出结果。
第(2)问的解题思路：题目限定甲只能在第一排空位选择，乙只能在第二排空位选择，先分别找出第一排、第二排所有未被占用的空位，再通过画树状图的方式不重不漏地枚举甲乙入座的所有组合，统计全部等可能的结果数，再从中筛选出甲乙座位处于同一列的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到对应概率。
【解析】
(1) 图①共有9个座位，已有2个座位被家长占用，剩余可随机入座的座位共9-2=7个，所有入座情况等可能。
要使三位家长刚好在同一条直线上，仅存在1个空位满足三点共线的条件，因此所求概率为$\frac{1}{7}$。
(2) 将第$m$排，第$n$列的座位记为$(m,n)$，由图②可知：
第1排可入座的空位有$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$共3个，第2排可入座的空位有$(2,2)$、$(2,3)$共2个。
通过树状图枚举所有入座组合后可得，一共有6种等可能的结果，其中甲、乙刚好坐在同一列的结果有2种，代入概率公式计算即可得到对应概率。
【答案】
(1) $\frac{1}{7}$
(2) 解：将第$m$排，第$n$列记为$(m,n)$，
由题图②，知第1排可入座的位置有$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，
第2排可入座的位置有$(2,2)$，$(2,3)$。
画树状图如答图。
由树状图可知，一共有6种等可能的结果，其中甲、乙刚好坐在同一列的结果有2种，
$\therefore P$(甲、乙两人刚好坐在同一列)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题是结合网格座位场景的概率应用题，第(1)问结合三点共线的几何特征考察基础概率计算，第(2)问限定了两人的可选座位范围，重点考察学生用树状图不重不漏枚举所有等可能结果的能力，解题时注意不要漏数、错数空位数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
