登录
8. 如图,在$3×3$的方格中,已有两个小正方形被涂灰,若在其余空白小正方形中任选一个涂灰,则所得图案是一个轴对称图形的概率是（
A.$\dfrac{1}{7}$
B.$\dfrac{2}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{4}{7}$
C
）A.$\dfrac{1}{7}$
B.$\dfrac{2}{7}$
C.$\dfrac{3}{7}$
D.$\dfrac{4}{7}$
答案
8.C
解析
【分析】
我们按照概率问题的常规思路分步思考：第一步先确定所有等可能的总情况数，3×3的方格总共有9个小正方形，已经有2个被涂灰，因此剩余空白小正方形的总数为9-2=7，也就是任选一个空白涂灰，一共有7种等可能的结果。第二步我们需要逐一判断这7个空白位置，将其涂灰后整个图案是否为轴对称图形，统计出符合要求的位置数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求的概率。
【解析】
1. 计算总情况数：3×3方格共有9个小正方形，已知2个已涂灰，因此空白小正方形的数量为 $9-2=7$，即从空白中任选一个涂灰，共有7种等可能的选法。
2. 统计符合条件的结果数：逐一验证所有空白位置，可发现共有3个位置，将其涂灰后得到的图案是轴对称图形。
3. 代入概率公式计算：所求概率 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{7}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，轴对称图形判定
【点评】
本题属于数形结合的基础概率题型，将轴对称图形的识别和古典概型结合起来，解题的核心是准确找出所有能让最终图案成为轴对称图形的位置，注意不要漏数、错数符合条件的位置，这类题目难度不高，是考试中的常见基础题。
【难度系数】
0.7
我们按照概率问题的常规思路分步思考：第一步先确定所有等可能的总情况数，3×3的方格总共有9个小正方形，已经有2个被涂灰，因此剩余空白小正方形的总数为9-2=7，也就是任选一个空白涂灰，一共有7种等可能的结果。第二步我们需要逐一判断这7个空白位置，将其涂灰后整个图案是否为轴对称图形，统计出符合要求的位置数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到所求的概率。
【解析】
1. 计算总情况数：3×3方格共有9个小正方形，已知2个已涂灰，因此空白小正方形的数量为 $9-2=7$，即从空白中任选一个涂灰，共有7种等可能的选法。
2. 统计符合条件的结果数：逐一验证所有空白位置，可发现共有3个位置，将其涂灰后得到的图案是轴对称图形。
3. 代入概率公式计算：所求概率 $P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{3}{7}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，轴对称图形判定
【点评】
本题属于数形结合的基础概率题型，将轴对称图形的识别和古典概型结合起来，解题的核心是准确找出所有能让最终图案成为轴对称图形的位置，注意不要漏数、错数符合条件的位置，这类题目难度不高，是考试中的常见基础题。
【难度系数】
0.7
9. 某校组织多项活动加强科学教育，八年级(1)班分两批次确定项目组成员，参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生，2名女生. 现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为$\dfrac{3}{5}$，则第一批次确定的人员中，男生有
5
人.答案
9.5
解析
【分析】
我们可以通过设未知数结合概率公式求解：首先设第一批次的男生人数为待求的未知数，先计算出项目组的总人数，再表示出项目组内男生的总人数，利用“随机抽1人抽中男生的概率=男生总人数÷项目组总人数”的关系，代入题目给出的概率值列出一元一次方程，解方程即可得到结果，最后验证人数符合实际意义即可。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$人。
1. 计算项目组总人数：第一批次7人，第二批次共$1+2=3$人，因此项目组总人数为$7+3=10$人。
2. 表示项目组男生总数：第二批次有1名男生，因此全组男生总人数为$x+1$人。
3. 根据概率定义列方程：
$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$
4. 解方程：两边同时乘以10得$x+1=6$，解得$x=5$。
经检验，$x=5$为正整数，符合实际人数要求，是方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查概率的基础应用，解题核心是准确对应概率公式的分子分母，也就是男生总数和全体成员总数，通过方程求解思路清晰不易出错，属于基础的概率应用题。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数结合概率公式求解：首先设第一批次的男生人数为待求的未知数，先计算出项目组的总人数，再表示出项目组内男生的总人数，利用“随机抽1人抽中男生的概率=男生总人数÷项目组总人数”的关系，代入题目给出的概率值列出一元一次方程，解方程即可得到结果，最后验证人数符合实际意义即可。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$人。
1. 计算项目组总人数：第一批次7人，第二批次共$1+2=3$人，因此项目组总人数为$7+3=10$人。
2. 表示项目组男生总数：第二批次有1名男生，因此全组男生总人数为$x+1$人。
3. 根据概率定义列方程：
$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$
4. 解方程：两边同时乘以10得$x+1=6$，解得$x=5$。
经检验，$x=5$为正整数，符合实际人数要求，是方程的解。
【答案】
5
【知识点】
概率公式，一元一次方程应用
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查概率的基础应用，解题核心是准确对应概率公式的分子分母，也就是男生总数和全体成员总数，通过方程求解思路清晰不易出错，属于基础的概率应用题。
【难度系数】
0.7
10. 从 2,-1,0,1,3,4 六个数中任选一个数记为 m,则使关于 x 的一次函数 $y=(m-2)x+2$ 不经过第三象限的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
10.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
我们可以分三步完成解题：第一步先确定从6个数中任选一个数的总等可能结果数；第二步根据一次函数的定义和图像性质，推导出使y=(m-2)x+2不经过第三象限的m需要满足的条件；第三步统计符合条件的m的个数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。首先回忆一次函数y=kx+b的图像规律：当k＜0且b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不会经过第三象限，本题中b=2＞0，因此只需要额外满足斜率k=m-2＜0，同时题目明确是一次函数，要求k≠0，即可筛选出符合要求的m。
【解析】
1. 计算总情况数：从2,-1,0,1,3,4共6个数中任选一个数作为m，总共有6种等可能的结果。
2. 推导符合条件的m的取值：
已知该函数是关于x的一次函数，因此自变量系数不为0，即：
$m-2 ≠ 0 \implies m≠2$
一次函数$y=(m-2)x+2$的常数项为2＞0，若图像不经过第三象限，需要斜率小于0，即：
$m-2 ＜ 0 \implies m ＜ 2$
结合给定的6个数，满足$m＜2$且$m≠2$的数为：-1、0、1，共3个。
3. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数图像性质，古典概型计算
【点评】
本题将一次函数的参数性质和概率计算结合，易错点在于容易忽略题目中“一次函数”的限定条件，或是搞错一次函数不经过第三象限的参数要求，解题时先明确函数类型的限制再推导取值范围，就能避免掉入陷阱。
【难度系数】
0.6
我们可以分三步完成解题：第一步先确定从6个数中任选一个数的总等可能结果数；第二步根据一次函数的定义和图像性质，推导出使y=(m-2)x+2不经过第三象限的m需要满足的条件；第三步统计符合条件的m的个数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。首先回忆一次函数y=kx+b的图像规律：当k＜0且b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不会经过第三象限，本题中b=2＞0，因此只需要额外满足斜率k=m-2＜0，同时题目明确是一次函数，要求k≠0，即可筛选出符合要求的m。
【解析】
1. 计算总情况数：从2,-1,0,1,3,4共6个数中任选一个数作为m，总共有6种等可能的结果。
2. 推导符合条件的m的取值：
已知该函数是关于x的一次函数，因此自变量系数不为0，即：
$m-2 ≠ 0 \implies m≠2$
一次函数$y=(m-2)x+2$的常数项为2＞0，若图像不经过第三象限，需要斜率小于0，即：
$m-2 ＜ 0 \implies m ＜ 2$
结合给定的6个数，满足$m＜2$且$m≠2$的数为：-1、0、1，共3个。
3. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数图像性质，古典概型计算
【点评】
本题将一次函数的参数性质和概率计算结合，易错点在于容易忽略题目中“一次函数”的限定条件，或是搞错一次函数不经过第三象限的参数要求，解题时先明确函数类型的限制再推导取值范围，就能避免掉入陷阱。
【难度系数】
0.6
11.(2025·苏州模拟)在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球 3 个,白球 5 个,黑球若干个,若从中任意摸出一个球是白球的概率是$\dfrac{1}{3}$.
(1)求盒子中黑球的个数.
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率.
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量,使得任意摸出一个球是红球的概率为$\dfrac{1}{4}$,若能,请写出如何调整白球数量;若不能,请说明理由.
(1)求盒子中黑球的个数.
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率.
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量,使得任意摸出一个球是红球的概率为$\dfrac{1}{4}$,若能,请写出如何调整白球数量;若不能,请说明理由.
答案
11.解:(1)$\because$红球3个,白球5个,黑球若干个,从中任意摸出一个球是白球的概率是$\frac{1}{3}$,$\therefore 5÷\frac{1}{3}=15$,
故盒子中黑球的个数为$15-3-5=7$.
(2)任意摸出一个球是黑球的概率为$\frac{7}{15}$.
(3)能.$\because$任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,
$\therefore$可以将盒子中的白球拿出3个(方法不唯一).
故盒子中黑球的个数为$15-3-5=7$.
(2)任意摸出一个球是黑球的概率为$\frac{7}{15}$.
(3)能.$\because$任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{4}$,
$\therefore$可以将盒子中的白球拿出3个(方法不唯一).
解析
【分析】
这道题是等可能事件概率的常规应用题，我们可以围绕概率的核心公式“某事件发生的概率=该事件对应的个体数量÷总个体数量”逐步思考：
1. 第(1)问已知白球数量和摸出白球的概率，先逆向算出盒子里球的总数量，再减去已知的红球、白球数量，就能得到黑球的个数。
2. 第(2)问直接套用概率公式，用算出的黑球个数除以总球数，就能得到摸出黑球的概率。
3. 第(3)问限定只调整白球数量，说明红球、黑球的数量保持不变，已知红球数量是3个，目标红球概率是1/4，先反推出满足该概率时的总球数，再用总球数减去固定的红球、黑球数量，得到调整后需要的白球数量，和原白球数对比就能得出调整方案，判断是否可行。
【解析】
(1) 已知白球共5个，摸出白球的概率为$\dfrac{1}{3}$，根据概率公式可得盒子里球的总数量为：
$5 ÷ \dfrac{1}{3} = 15$
已知红球有3个，白球有5个，因此黑球的个数为：
$15 - 3 - 5 =7$
(2) 已知黑球共7个，总球数为15，因此任意摸出一个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{摸出黑球})=\dfrac{7}{15}$
(3) 能实现。已知红球数量始终为3个，要让摸出红球的概率为$\dfrac{1}{4}$，此时总球数需要为：
$3 ÷ \dfrac{1}{4} =12$
因为黑球数量固定为7个，红球数量固定为3个，因此调整后白球的数量应为：
$12 - 3 -7 =2$
原有白球5个，因此只需要从盒子中拿出$5-2=3$个白球即可，调整方法不唯一。
【答案】
(1) 盒子中黑球的个数为7；
(2) 任意摸出一个球是黑球的概率为$\dfrac{7}{15}$；
(3) 能，将盒子中的白球拿出3个（方法不唯一）。
【知识点】
等可能事件概率计算，概率逆向推导
【点评】
本题属于概率模块的基础综合题，由浅入深依次考察了概率公式的正向、逆向运用，第三问设置了限定条件，引导学生灵活运用概率公式推导调整方案，整体难度较低，需要注意调整白球数量时红球和黑球的数量保持不变，避免出错。
【难度系数】
0.8
这道题是等可能事件概率的常规应用题，我们可以围绕概率的核心公式“某事件发生的概率=该事件对应的个体数量÷总个体数量”逐步思考：
1. 第(1)问已知白球数量和摸出白球的概率，先逆向算出盒子里球的总数量，再减去已知的红球、白球数量，就能得到黑球的个数。
2. 第(2)问直接套用概率公式，用算出的黑球个数除以总球数，就能得到摸出黑球的概率。
3. 第(3)问限定只调整白球数量，说明红球、黑球的数量保持不变，已知红球数量是3个，目标红球概率是1/4，先反推出满足该概率时的总球数，再用总球数减去固定的红球、黑球数量，得到调整后需要的白球数量，和原白球数对比就能得出调整方案，判断是否可行。
【解析】
(1) 已知白球共5个，摸出白球的概率为$\dfrac{1}{3}$，根据概率公式可得盒子里球的总数量为：
$5 ÷ \dfrac{1}{3} = 15$
已知红球有3个，白球有5个，因此黑球的个数为：
$15 - 3 - 5 =7$
(2) 已知黑球共7个，总球数为15，因此任意摸出一个球是黑球的概率为：
$P(\mathrm{摸出黑球})=\dfrac{7}{15}$
(3) 能实现。已知红球数量始终为3个，要让摸出红球的概率为$\dfrac{1}{4}$，此时总球数需要为：
$3 ÷ \dfrac{1}{4} =12$
因为黑球数量固定为7个，红球数量固定为3个，因此调整后白球的数量应为：
$12 - 3 -7 =2$
原有白球5个，因此只需要从盒子中拿出$5-2=3$个白球即可，调整方法不唯一。
【答案】
(1) 盒子中黑球的个数为7；
(2) 任意摸出一个球是黑球的概率为$\dfrac{7}{15}$；
(3) 能，将盒子中的白球拿出3个（方法不唯一）。
【知识点】
等可能事件概率计算，概率逆向推导
【点评】
本题属于概率模块的基础综合题，由浅入深依次考察了概率公式的正向、逆向运用，第三问设置了限定条件，引导学生灵活运用概率公式推导调整方案，整体难度较低，需要注意调整白球数量时红球和黑球的数量保持不变，避免出错。
【难度系数】
0.8
12. 在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与.
(1)若小明获得1次抽奖机会，则小明中奖是
(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量.
(3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加2个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由.继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案；若不能，请说明理由.
(1)若小明获得1次抽奖机会，则小明中奖是
随机
事件.(填“随机”“必然”或“不可能”)(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量.
(3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加2个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由.继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案；若不能，请说明理由.
答案
12.(1)随机
(2)解:由题意,得获得三等奖的概率为$\frac{8-1-2-3}{8}=$
$\frac{1}{4}$,$24×\frac{1}{4}=6$(个).
答:估计袋中白球有6个.
(3)解:抽中一等奖的概率降低了.理由如下:
(2)中的24个球中有红球3个,黄球6个,白球6个,黑球9个.
再加入2个黄球,球的总数为26,而红球还是3个,因此摸出红球的概率为$\frac{3}{26}$,所以抽中一等奖的概率降低了.
抽中一等奖的概率可以还原为$\frac{1}{8}$,
设加入$x$个红球,$y$个其他颜色的球,因为要使摸出红球的概率为$\frac{1}{8}$,所以$\frac{x+3}{26+x+y}=\frac{1}{8}$,即$7x-y=2$.
因为$x,y$均为整数,
所以当$x=1$时,$y=5$.(答案不唯一)
所以设计方案为:继续添加1个红球,5个其他颜色的球,能使抽中一等奖的概率还原为$\frac{1}{8}$.
(2)解:由题意,得获得三等奖的概率为$\frac{8-1-2-3}{8}=$
$\frac{1}{4}$,$24×\frac{1}{4}=6$(个).
答:估计袋中白球有6个.
(3)解:抽中一等奖的概率降低了.理由如下:
(2)中的24个球中有红球3个,黄球6个,白球6个,黑球9个.
再加入2个黄球,球的总数为26,而红球还是3个,因此摸出红球的概率为$\frac{3}{26}$,所以抽中一等奖的概率降低了.
抽中一等奖的概率可以还原为$\frac{1}{8}$,
设加入$x$个红球,$y$个其他颜色的球,因为要使摸出红球的概率为$\frac{1}{8}$,所以$\frac{x+3}{26+x+y}=\frac{1}{8}$,即$7x-y=2$.
因为$x,y$均为整数,
所以当$x=1$时,$y=5$.(答案不唯一)
所以设计方案为:继续添加1个红球,5个其他颜色的球,能使抽中一等奖的概率还原为$\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问判断事件类型：抽奖的结果存在中奖、不中奖两种可能，既不是必然发生也不是不可能发生，直接对应事件分类里的随机事件即可。
2. 第二问估算白球数量：先根据给出的每8人的中奖分布，用总人数减去中一、二等奖和未获奖的人数，得到中三等奖的人数，算出抽中白球的频率（用来估计概率），再用袋中总球数乘该概率，就能估算出白球的数量。
3. 第三问先判断概率变化：先根据分布算出原袋中红球的数量，加入2个黄球后总球数增加、红球数量不变，计算新的抽中红球的概率，和原概率对比就能得出变化情况。要还原抽中一等奖的概率，可设新增红球和其他球的数量为未知数，根据概率公式列方程，找到符合实际的正整数解，就能设计出可行的添加方案。
【解析】
(1) 抽奖时小明有可能抽到中奖的彩球，也有可能抽到代表未中奖的黑球，中奖事件可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
(2) 由题意，每8人中抽中三等奖的人数为$8-1-2-3=2$，因此抽中三等奖（摸到白球）的概率估算为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，袋中总共有24个球，因此白球的估算数量为$24×\frac{1}{4}=6$个。
(3) 首先计算原袋中各颜色球的数量：抽中一等奖的概率为$\frac{1}{8}$，红球数量为$24×\frac{1}{8}=3$个；抽中二等奖的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，黄球数量为$24×\frac{1}{4}=6$个；未获奖的概率为$\frac{3}{8}$，黑球数量为$24×\frac{3}{8}=9$个。
加入2个黄球后，总球数变为$24+2=26$个，红球仍为3个，此时抽中一等奖的概率为$\frac{3}{26}$，对比原概率$\frac{1}{8}$，可得$\frac{3}{26}＜\frac{1}{8}$，因此抽中一等奖的概率降低了。
抽中一等奖的概率可以还原为$\frac{1}{8}$：设后续添加$x$个红球，$y$个其他颜色的球，根据概率公式可得$\frac{3+x}{26+x+y}=\frac{1}{8}$，整理得$7x-y=2$，由于$x、y$均为非负整数，取$x=1$时，解得$y=5$，符合实际要求。
【答案】
(1) 随机
(2) 估计袋中白球有6个
(3) 抽中一等奖的概率降低了；能使抽中一等奖的概率还原，例如添加1个红球、5个其他颜色的球即可（方案不唯一）
【知识点】
随机事件，频率估计概率，概率公式
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景设置问题，由浅入深考察概率相关基础知识点，第一问直接考察事件分类的基础概念，第二问训练用频率估算总体数量的方法，第三问引导学生理解概率随样本总量的变化规律，开放设计方案的部分锻炼学生的代数应用能力，整体难度适中，贴合课标要求。
【难度系数】
0.7
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第一问判断事件类型：抽奖的结果存在中奖、不中奖两种可能，既不是必然发生也不是不可能发生，直接对应事件分类里的随机事件即可。
2. 第二问估算白球数量：先根据给出的每8人的中奖分布，用总人数减去中一、二等奖和未获奖的人数，得到中三等奖的人数，算出抽中白球的频率（用来估计概率），再用袋中总球数乘该概率，就能估算出白球的数量。
3. 第三问先判断概率变化：先根据分布算出原袋中红球的数量，加入2个黄球后总球数增加、红球数量不变，计算新的抽中红球的概率，和原概率对比就能得出变化情况。要还原抽中一等奖的概率，可设新增红球和其他球的数量为未知数，根据概率公式列方程，找到符合实际的正整数解，就能设计出可行的添加方案。
【解析】
(1) 抽奖时小明有可能抽到中奖的彩球，也有可能抽到代表未中奖的黑球，中奖事件可能发生也可能不发生，因此属于随机事件。
(2) 由题意，每8人中抽中三等奖的人数为$8-1-2-3=2$，因此抽中三等奖（摸到白球）的概率估算为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，袋中总共有24个球，因此白球的估算数量为$24×\frac{1}{4}=6$个。
(3) 首先计算原袋中各颜色球的数量：抽中一等奖的概率为$\frac{1}{8}$，红球数量为$24×\frac{1}{8}=3$个；抽中二等奖的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，黄球数量为$24×\frac{1}{4}=6$个；未获奖的概率为$\frac{3}{8}$，黑球数量为$24×\frac{3}{8}=9$个。
加入2个黄球后，总球数变为$24+2=26$个，红球仍为3个，此时抽中一等奖的概率为$\frac{3}{26}$，对比原概率$\frac{1}{8}$，可得$\frac{3}{26}＜\frac{1}{8}$，因此抽中一等奖的概率降低了。
抽中一等奖的概率可以还原为$\frac{1}{8}$：设后续添加$x$个红球，$y$个其他颜色的球，根据概率公式可得$\frac{3+x}{26+x+y}=\frac{1}{8}$，整理得$7x-y=2$，由于$x、y$均为非负整数，取$x=1$时，解得$y=5$，符合实际要求。
【答案】
(1) 随机
(2) 估计袋中白球有6个
(3) 抽中一等奖的概率降低了；能使抽中一等奖的概率还原，例如添加1个红球、5个其他颜色的球即可（方案不唯一）
【知识点】
随机事件，频率估计概率，概率公式
【点评】
本题结合生活中的抽奖场景设置问题，由浅入深考察概率相关基础知识点，第一问直接考察事件分类的基础概念，第二问训练用频率估算总体数量的方法，第三问引导学生理解概率随样本总量的变化规律，开放设计方案的部分锻炼学生的代数应用能力，整体难度适中，贴合课标要求。
【难度系数】
0.7
