1. 如图，在$△ ABC$中，$BE$是角平分线，$AD ⊥$$BE$，垂足为$D$，求证：$∠ 2 = ∠ 1 + ∠ C$.

证明：延长 AD 交 BC 于点 F.
∵AD⊥BE,
∴∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE 是角平分线,
∴∠ABD=∠FBD.
在△ABD 和△FBD 中,
$\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠FBD,\\ BD=BD,\\ ∠ADB=∠FDB,\end{array} $
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠AFB.
又∠AFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.

变式 1.1 如图, 在 $△ A B C$ 中, $B E$ 平分 $∠ A B C$,
$∠ 2=∠ 1+∠ C$.
(1)求证: $A D ⊥ B E$;
(2) 若 $∠ A B C=2 ∠ 1$, 求证: $∠ B A C=90°$.

(1)证明：延长 AD 交 BC 于点 F，
则∠AFB=∠C+∠1.
∵∠2=∠1+∠C,
∴∠2=∠AFB.
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
又 BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴∠ADB=∠FDB=90°,
∴AD⊥BE.
(2)证明：
∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC=2∠1,
∴∠ABE=∠1.
由(1)可知∠2+∠ABD=90°,即∠2+∠1=90°,
∴∠BAC=90°.

2. 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,
$CD$平分$∠ ACB$,$BE ⊥ CD$, 垂足$E$在$CD$的
延长线上, 试探究线段$BE$和$CD$的数量关
系, 并证明你的结论.

CD=2BE.理由如下：
如图,延长 BE 交 CA 的延长线于点 F.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠FCE=∠BCE.
∵BE⊥CD,
∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△CEF 和△CEB 中,
$\{\begin{array}{l} ∠FCE=∠BCE,\\ CE=CE,\\ ∠CEF=∠CEB=90^{\circ },\end{array} $
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE.
∵∠DAC=∠CEF=90°,
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°.
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD 和△ABF 中,$\{\begin{array}{l} ∠ACD=∠ABF,\\ AC=AB,\\ ∠CAD=∠BAF=90^{\circ },\end{array} $
∴△ACD≌△ABF(ASA),
∴CD=BF,
∴CD=2BE.

变式 2.1 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=A C, ∠ B A C=$ $90°$, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上, $∠ E D B=\dfrac{1}{2} ∠ C, B E ⊥$ $D E$, 垂足为 $E, D E$ 与 $A B$ 相交于点 $F$, 试探究线段 $B E$ 与 $F D$ 的数量关系, 并证明你的结论.

DF=2BE.证明如下:如图,过点 D 作 DG//AC交AB 于点 H,交 BE 的延长线于点 G,
∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠A=90°.
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠EDB=∠EDG.
又 DE=DE,∠GED=∠BED=90°,
∴△DEG≌△DEB(ASA),
∴BE=GE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
∴∠HBD=∠HDB=45°,
易证 HB=HD,
又∠HFD=∠EFB,∠FHD=∠FEB=90°,
∴∠HDF=∠HBG,
∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,
∴FD=2BE.