1. (2025·浙江金华义乌期末) 如图, 已知 $BD // CE$,
$AB=BC,BD=CE.$
(1) 求证: $△ ABD ≌ △ BCE$;
(2) 若 $∠ DBE=65°$, 求 $∠ D$ 的度数.

1.(1)
∵BD//CE,
∴∠ABD=∠C.
在△ABD 和△BCE 中,$\begin{cases} AB=BC,\\ ∠ABD=∠C,\\ BD=CE, \end{cases}$
∴△ABD≌△BCE(SAS).
(2)
∵△ABD≌△BCE,
∴∠A=∠EBC,
∴AD//BE,
∴∠D=∠DBE=65°.

2. (2025·苏州一模)已知:如图,$CB ⊥ AD$,$AE ⊥$$DC$,垂足分别为$B$,$E$,$AE$,$BC$相交于点$F$,且$AB=BC$.
(1)求证:$△ ABF ≌ △ CBD$;
(2)已知$AD=7$,$BF=2$,求$CF$的长度.

2.(1)
∵CB⊥AD,AE⊥DC,
∴∠ABF=∠CBD=90°,∠CEF=90°,
∴∠A+∠AFB=90°,∠C+∠CFE=90°.
又∠AFB=∠CFE,
∴∠A=∠C.
在△ABF 和△CBD 中,$\begin{cases} ∠ABF=∠CBD=90°,\\ AB=CB,\\ ∠A=∠C, \end{cases}$
∴△ABF≌△CBD(ASA).
(2)由(1)可知,△ABF≌△CBD,
∴AB=CB,BF=BD,
∴AD=AB+BD=AB+BF,
∴AB=AD-BF.
∵AD=7,BF=2,
∴AB=AD-BF=7-2=5,
∴AB=CB=5,
∴CF=CB-BF=5-2=3.

3. (2025·浙江湖州吴兴区期末)已知:如图,点A,D,B,E 在同一条直线上，$∠ ADF = ∠ EBC$，$∠ C = ∠ F, AD = BE.$
求证:$AC = EF.$

3.
∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,
∴AB=ED.
∵∠ADF=∠EBC,
∴180°-∠ADF=180°-∠EBC,
∴∠EDF=∠ABC.
在△ABC 和△EDF 中,$\begin{cases} ∠C=∠F,\\ ∠ABC=∠EDF,\\ AB=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDF(AAS),
∴AC=EF.

4. (2025·重庆期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$ 为边 $BC$ 上一点, $E$ 为边 $BA$ 上一点, 且 $AE=CD$, 连接 $AD,F$ 为 $AD$ 的中点. 连接 $EF$ 并延长, 交 $AC$ 于点 $G$, 在 $FG$ 上截取点 $H$, 使 $FH=FE$, 连接 $GD$, 若 $HG=CG$.
(1)求证: $△ AEF ≌ △ DHF$;
(2)求证: $∠ B=2∠ GDC$.

4.(1)
∵F 为AD 的中点,
∴AF=DF.
在△AEF 和△DHF 中,$\begin{cases} AF=DF,\\ ∠AFE=∠DFH,\\ FE=FH, \end{cases}$
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF,
∴∠EAF=∠HDF,AE=DH,
∴DH//AB,
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD,
∴DH=CD.
在△DHG 和 DCG 中,$\begin{cases} DH=CD,\\ HG=CG,\\ DG=DG, \end{cases}$
∴△DHG≌△DCG(SSS),
∴∠GDH=∠GDC,
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC.
∴∠B=2∠GDC.

5. (2025·浙江宁波期末) 如图，$AB ⊥ CD$ 于点 $D$，$E$ 为 $CD$ 上一点，连接 $AE$，$BC$，$AE=BC$，$DE=BD$。
(1) 求证: $△ ADE ≌ △ CDB$；
(2) 若 $AD=6$，$BD=2$，求 $CE$ 的长。

5.(1)
∵AB⊥CD,
∴∠ADE=∠BDC=90°,
∴△ADE 和△CDB 都是直角三角形.
在Rt△ADE 和 Rt△CDB 中,$\begin{cases} AE=BC,\\ DE=BD, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDB(HL).
(2)
∵Rt△ADE≌Rt△CDB,
∴AD=CD=6,DE=BD=2,
∴CE=CD-DE=6-2=4.