3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,$AD$是$∠ BAC$的平分线. 求证:$AC=AB+BD$.

证明：如图,在 AC 上截取 AE=AB,连接 DE.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAD=∠BAD.
在△AED 和△ABD 中,$\{\begin{array}{l} AE=AB,\\ ∠EAD=∠BAD,\\ AD=AD,\end{array} $
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴ED=BD,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C.
又∠AED 为△CED 的外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC.
∴∠C=∠EDC.
易证 EC=ED,
→在△ECD 中,过点 E 作 EH⊥CD,证△ECH≌△EDH,即可得证
∴EC=BD,
∴AC=AE+EC=AB+BD.

变式 3.1 半角模型 (2024·河南开封十四中期中改编)(1)如图(1),在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$ , $∠ B=∠ D=90°$ , $E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 上的点,且$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$. 请直接写出线段 $EF,BE$,$FD$ 之间的数量关系:.
(2) 如图(2),在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$,$∠ B+∠ D=180°$ , $E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 上的点,且 $∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$ ,(1)中的结论是否仍然成立? 请写出证明过程.
(3)在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$ , $∠ B+∠ D=180°$ , $E,F$ 分别是边 $BC,CD$ 所在直线上的点,且 $∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$. 请直接写出线段 $EF$,$BE,FD$ 之间的数量关系.

(1)
解析 如图(1),延长 EB 到点 G,使 BG=DF,连接 AG.
在△ABG 与△ADF 中,AB=AD,∠ABG=∠ADF=90°,BG=DF,
∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴AG=AF,∠1=∠2.又∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,
∴∠GAE=∠EAF.
又 AE=AE,
∴△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+FD.
(2)结论仍然成立.证明如下:
如图(2),延长 EB 到点 G,使得 BG=DF,连接 AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG 和△ADF 中,$\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠ABG=∠D,\\ BG=DF,\end{array} $
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠1=∠2.
又∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,
∴∠GAE=∠EAF.
又 AE=AE,
∴△AEG≌△AEF,
∴GE=EF.
∵GE=BE+BG,
∴EF=BE+FD.
(3)当点 E,F 分别在 BC,CD 的延长线上时,如图(3),在 BE 上截取 BG,使得 BG=DF,连接 AG.
∵∠B+∠ADC=180°,
∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
在△ABG 和△ADF 中,
$\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠ABG=∠ADF,\\ BG=DF,\end{array} $
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=BE-BG,
∴EF=BE-FD.
当点 E,F 分别在 CB,DC 的延长线上时,同理可得 EG=EF.
∵EG=BG-BE,
∴EF=FD-BE.
当点 E,F 分别在线段 BC,DC 上时,由(2)可知 EF=BE+FD.

母题学方法 4 倍长中线
在$△ ABC$中,点$D$是$BC$中点,延长$AD$至点$E$,使得$DE=AD$,结论:$△ BDE ≌ △ CDA$.

证明：
∵ 点D是BC的中点，
∴ BD = CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠BDE = ∠CDA \\DE = AD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDA（SAS）

4. (2025·北京朝阳区陈经纶中学期中) 如图，AD 为$△ ABC$的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，$AE=EF$，求证：$AC=BF$。

证明：延长 AD 到点 G,使 GD=AD,连接 GB,
∵AD 为△ABC 中线,
∴BD=CD.
在△GBD 和△ACD 中,$\{\begin{array}{l} GD=AD,\\ ∠GDB=∠ADC,\\ BD=CD,\end{array} $
∴△GBD≌△ACD(SAS),
∴GB=AC,∠G=∠CAF.
∵AE=EF,
∴∠CAF=∠EFA,
∴∠G=∠EFA.
∵∠EFA=∠BFG,
∴∠G=∠BFG,
∴GB=BF,
→在未学等腰三角形时,可由三角形全等证得
∴AC=BF.