1.下列说法中正确的是（）

A.垂直于直径的直线是圆的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.若圆心到直线上一点的距离等于半径，则该直线是圆的切线
D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

1.D

【分析】
这道题考查圆的切线判定的核心概念，解题的核心思路是紧扣切线判定的两个必备条件：①直线经过半径的外端点（即过圆上某一点）；②直线与这条半径互相垂直，两个条件必须同时满足，缺一不可。我们只需要逐个核对每个选项是否同时满足对应要求，就能找出描述完全正确的选项。
【解析】
我们逐一分析每个选项的正误：
选项A：垂直于直径的直线，没有说明垂足是直径的端点，若直线垂直于直径但垂足在直径内部，该直线会和圆有两个交点，属于圆的割线，不是切线，A错误。
选项B：经过半径外端的直线，没有说明该直线和这条半径垂直，过圆上一点、但不垂直于对应半径的直线是圆的割线，不是切线，B错误。
选项C：圆心到直线上一点的距离等于半径，不代表圆心到这条直线的垂线段长度等于半径，若该点不是圆心向直线作垂线的垂足，那么圆心到直线的实际距离小于半径，直线会和圆相交，不是切线，C错误。
选项D：该描述完全符合圆的切线判定定理，同时满足“经过半径外端”、“垂直于这条半径”两个必要条件，对应的直线是圆的切线，D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的切线判定
【点评】
本题属于几何基础概念辨析题，易错点是学生容易遗漏切线判定的两个必要条件中的任意一个，误选A、B选项，学习时要牢记切线判定的两个要素必须同时成立，缺一不可。
【难度系数】
0.8

2. (2025·玄武区月考)四个半径为5的等圆与直线$l$的位置关系如图所示,若某个圆上的点到直线$l$的最大距离为8,则这个圆可能是 （）

A.$\odot O_1$
B.$\odot O_2$
C.$\odot O_3$
D.$\odot O_4$

2.C

【分析】
我们首先明确核心解题逻辑：对于半径为r的圆，设圆心到直线l的距离为d，圆上任意一点到直线l的最大距离等于d+r。题目给出圆的半径为5，要求圆上点到直线l的最大距离为8，我们可以先反推出符合条件的圆的圆心到直线l的距离d=8-5=3，再逐个验证四个圆的圆心到直线l的距离是否等于3，即可选出正确答案。
【解析】
解：已知四个圆都是半径r=5的等圆，设任意圆的圆心到直线l的距离为d，根据圆上点到直线的最大距离的性质，可得圆上点到直线l的最大距离 = d + r。
由题意，目标圆上点到直线l的最大距离为8，代入公式得：
d + 5 = 8，解得d=3，即符合条件的圆的圆心到直线l的距离为3。
逐个判断四个圆：
1. ⊙O₁：圆与直线l相切，圆心O₁到l的距离d₁=5≠3，不符合要求；
2. ⊙O₂：圆心O₂在直线l上，圆心O₂到l的距离d₂=0≠3，不符合要求；
3. ⊙O₃：圆心O₃在直线l下方，圆心O₃到l的距离d₃=3，满足d₃+r=8，符合要求；
4. ⊙O₄：圆心O₄在直线l上方，圆心O₄到l的距离d₄＞5，因此最大距离d₄+5＞10≠8，不符合要求。
因此这个圆是⊙O₃。
【答案】C
【知识点】直线与圆位置关系，点到直线距离
【点评】本题考查圆与直线位置关系的基础应用，核心是理解圆上点到定直线最大距离的推导逻辑，先通过已知条件反推圆心到直线的距离，再逐一验证选项即可快速得到结果，难度较低。
【难度系数】0.7

第2题图
3. 已知$\odot O$的半径为8 cm,点$ O $到直线$ l $的距离为$ d $ cm.
(1) 如果$d=5$,那么直线$ l $与$\odot O$;(填“相交”“相切”或“相离”)
(2) 如果直线$ l $与$\odot O$只有一个公共点,那么$d=$;
(3) 如果直线$ l $与$\odot O$相离,那么$ d $的取值范围是;
(4) 如果直线$ l $与$\odot O$有公共点,那么$ d $的取值范围是.

3.(1)相交 (2)8 (3)$d＞8$ (4)$0 ≤ d ≤ 8$

【分析】
这道题考查直线与圆位置关系的判定，解题的核心思路是牢记圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小对应规则：首先明确本题中⊙O的半径r=8cm，三种位置关系的对应逻辑为：①d＜r时，直线与圆有2个公共点，属于相交；②d=r时，直线与圆仅有1个公共点，属于相切；③d＞r时，直线与圆没有公共点，属于相离。接下来对照每一小问的条件，代入r=8的数值直接匹配对应结论即可，同时注意“有公共点”包含相交、相切两种情况，且点到直线的距离d是非负数。
【解析】
已知⊙O的半径r=8cm，根据直线与圆的位置关系判定规则逐一求解：
(1) 当d=5时，因为5＜8，即d＜r，满足直线与圆相交的判定条件，因此直线l与⊙O相交；
(2) 若直线l与⊙O只有一个公共点，说明直线与圆相切，此时d=r=8 cm；
(3) 若直线l与⊙O相离，需满足d＞r，因此d的取值范围是d＞8；
(4) 若直线l与⊙O有公共点，说明直线和圆是相交或者相切的关系，此时d≤r，同时点到直线的距离d不可能为负数，因此d的取值范围是0 ≤ d ≤ 8。
【答案】
(1)相交 (2)8 (3)$d＞8$ (4)$0 ≤ d ≤ 8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题是直线和圆位置关系的基础练习题，核心是掌握圆心到直线的距离d和圆半径r的大小对应位置关系的规则，易错点是第(4)问容易遗漏相切的情况，忘记取等号，同时要注意距离的非负性，不要忽略d≥0的隐含条件。
【难度系数】
0.9

4. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°, BC=5\ \mathrm{cm}, AC=12\ \mathrm{cm}$, 以点 $C$ 为圆心, 作半径为 $R$ 的圆.
(1) 当 $R$ 为何值时, $\odot C$ 和直线 $AB$ 相离?
(2) 当 $R$ 为何值时, $\odot C$ 和直线 $AB$ 相切?
(3) 当 $R$ 为何值时, $\odot C$ 和直线 $AB$ 相交?

4.解:如答图,过点C作$CD ⊥ AB$于点D.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13(\mathrm{cm})$.
又$\because \frac{1}{2}CD · AB=\frac{1}{2}AC · BC$,
$\therefore CD=\frac{BC · AC}{AB}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$.
(1)当$0\ \mathrm{cm}＜R＜\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$和直线AB相离.
(2)当$R=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$和直线AB相切.
(3)当$R＞\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$和直线AB相交.

【分析】
要判断圆C和直线AB的位置关系，核心是先得到圆心C到直线AB的距离d，再通过d和半径R的大小关系对应判定：当d＞R时直线和圆相离，d=R时相切，d＜R时相交。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长度，再利用直角三角形的两种面积计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出点C到AB的垂线段长度，也就是d的值，之后代入三类位置关系的判定规则就能得到对应R的取值范围。
【解析】
过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
1. 计算斜边AB的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{cm}$
2. 用等面积法求CD的长度：
直角三角形的面积可表示为$\frac{1}{2}· AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}· AB· CD$，因此：
$\frac{1}{2}· CD· AB=\frac{1}{2}· AC· BC$
代入数值解得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$
结合直线与圆的位置关系判定规则求解三问：
(1) 若$\odot C$和直线AB相离，需满足圆心到直线的距离$d＞R$，同时圆的半径R为正数，因此$0\ \mathrm{cm}＜R＜\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$；
(2) 若$\odot C$和直线AB相切，需满足$d=R$，因此$R=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$；
(3) 若$\odot C$和直线AB相交，需满足$d＜R$，因此$R＞\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 当$0\ \mathrm{cm}＜R＜\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时，$\odot C$和直线AB相离；
(2) 当$R=\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时，$\odot C$和直线AB相切；
(3) 当$R＞\frac{60}{13}\ \mathrm{cm}$时，$\odot C$和直线AB相交。
【知识点】
勾股定理，直线与圆位置关系，等面积法
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是先求出圆心到目标直线的距离，再通过距离和半径的大小对应三类位置关系，其中利用等面积法求直角三角形斜边上的高是几何计算的常用技巧，需要熟练掌握，注意不要忽略半径R的取值为正的隐含条件。
【难度系数】
0.8

5. (2025·梁溪区月考)已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的一个根,圆心$O$到直线$l$的距离$d=2$,则直线$l$与$\odot O$的位置关系是（）

A.相切
B.相交
C.相离
D.平行

5.B

【分析】
解题时我们可以分两步走：第一步先求解给出的一元二次方程，得到方程的两个根，由于圆的半径一定是正数，我们筛选出正根作为⊙O的半径r；第二步回忆直线与圆的位置关系判定规则：比较圆心到直线的距离d和半径r的大小，若d＜r则直线与圆相交，d=r则相切，d＞r则相离，将已知的d=2和求出的r对比大小，就能得到最终的位置关系。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2-2x-3=0$：
对等式左边因式分解可得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=3$，$x_2=-1$。
2. 确定圆的半径：
因为圆的半径是正数，所以舍去负根-1，得到⊙O的半径$r=3$。
3. 判断位置关系：
已知圆心O到直线l的距离$d=2$，显然满足$d=2 ＜ r=3$，根据直线与圆的位置关系判定规则，可知直线l与⊙O相交。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础综合题型，将一元二次方程求解和直线与圆位置关系的知识点结合考察，难度较低。解题的易错点是忽略圆的半径必须为正，误将方程的负根作为半径计算导致判断错误，解题时要注意隐含条件的使用。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$的半径为1,则直线$y = - 2x + \sqrt{5}$与$\odot O$的位置关系是（）

A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定

6.C

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心思路是比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中圆的圆心为坐标原点，半径已知为1，我们只需要先将给定直线整理为一般式，代入点到直线的距离公式计算原点到该直线的距离，再将距离和半径1对比，即可得出位置关系。
【解析】
1. 先将直线方程整理为一般式：
将$y = - 2x + \sqrt{5}$移项得$2x + y - \sqrt{5} = 0$。
2. 确定已知条件：
$\odot O$的圆心为原点$O(0,0)$，半径$r=1$。
3. 计算圆心到直线的距离：
根据点到直线的距离公式，点$(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$的距离为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入原点坐标和直线参数：
$d=\frac{|2×0 + 1×0 - \sqrt{5}|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1$。
4. 对比距离和半径：
可得$d=r=1$，因此直线与$\odot O$相切。
【答案】
C
【知识点】
点到直线距离公式，直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础题型，解题逻辑清晰，只需要牢记位置关系的判定规则，正确使用点到直线的距离公式即可快速求解，是解析几何部分的常规考察内容。
【难度系数】
0.8