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1. 若$y=(a+1)x^{a^2-2}$是反比例函数，则$a$的值为（
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.任意实数
A
）A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.任意实数
答案
1. A
解析
【分析】
要确定a的取值，首先回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，也可写成$y=kx^{-1}$的形式，因此需要同时满足两个核心条件：①自变量x的次数必须为-1；②自变量x的系数k不能为0。我们先根据次数的要求列出方程求解a的所有可能值，再代入系数的限制条件排除不符合的取值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义，本题需要同时满足以下两个条件：
1. 自变量的指数满足：$a^2 - 2 = -1$
解该方程：
$a^2 = -1 + 2 = 1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 函数的系数不能为0：$a + 1 ≠ 0$
解得$a ≠ -1$
综合两个条件，舍去不符合要求的$a=-1$，最终得到$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义，参数取值限制
【点评】
本题属于反比例函数的基础概念易错题，很多同学解题时只会关注自变量指数等于-1的要求，忽略了反比例函数的系数不能为0的隐藏限制条件，容易误选C选项，解题时要牢记反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$的核心要求。
【难度系数】
0.6
要确定a的取值，首先回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，也可写成$y=kx^{-1}$的形式，因此需要同时满足两个核心条件：①自变量x的次数必须为-1；②自变量x的系数k不能为0。我们先根据次数的要求列出方程求解a的所有可能值，再代入系数的限制条件排除不符合的取值，最后匹配选项得到答案。
【解析】
根据反比例函数的定义，本题需要同时满足以下两个条件：
1. 自变量的指数满足：$a^2 - 2 = -1$
解该方程：
$a^2 = -1 + 2 = 1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 函数的系数不能为0：$a + 1 ≠ 0$
解得$a ≠ -1$
综合两个条件，舍去不符合要求的$a=-1$，最终得到$a=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数定义，参数取值限制
【点评】
本题属于反比例函数的基础概念易错题，很多同学解题时只会关注自变量指数等于-1的要求，忽略了反比例函数的系数不能为0的隐藏限制条件，容易误选C选项，解题时要牢记反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k≠0$的核心要求。
【难度系数】
0.6
2. (2025·海州区期中)若点$A(x_{1},-2),B(x_{2},1),C(x_{3},2)$都在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上,则$x_{1},x_{2},x_{3}$的大小关系是（
A.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
B.$x_{2}＜x_{3}＜x_{1}$
C.$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
D.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
C
）A.$x_{3}＜x_{2}＜x_{1}$
B.$x_{2}＜x_{3}＜x_{1}$
C.$x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
D.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$
答案
2. C
解析
【分析】
这道题考查k＞0时反比例函数的图像性质，我们可以按两步思路推导：首先先根据三个点的纵坐标的正负，判断每个点所在的象限，就能先区分出横坐标的正负范围，直接得到第三象限点的x是最小的；之后对于同在第一象限的两个点，利用反比例函数在每个象限内y随x增大而减小的性质，比较两个点纵坐标的大小，就能反推出对应横坐标的大小关系，最后整合三个横坐标的大小即可选出答案，不需要额外代入计算也能快速得到结果。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，且$k＞0$：
1. 确定函数图像性质：该反比例函数的图像分布在第一、第三象限，且在每个象限内，$y$的值随$x$的值增大而减小。
2. 判断各点所在象限：
点$A$的纵坐标为$-2＜0$，因此点$A$位于第三象限，可得$x_1＜0$；
点$B$的纵坐标为$1＞0$，点$C$的纵坐标为$2＞0$，因此点$B$、$C$都位于第一象限，可得$x_2＞0$，$x_3＞0$。
3. 比较第一象限内两点的横坐标：
在第一象限内函数满足$y$随$x$增大而减小，因为$1＜2$即$y_2＜y_3$，因此可得$0＜x_3＜x_2$。
4. 整合大小关系：
结合$x_1＜0$、$0＜x_3＜x_2$，最终得到$x_1＜x_3＜x_2$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图像分布，反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，易错点是忽略不同象限内点的横坐标的正负差异，直接跨象限套用增减性得出错误结论，解题时先按纵坐标正负划分点所在的象限，再在同象限内用增减性比较，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查k＞0时反比例函数的图像性质，我们可以按两步思路推导：首先先根据三个点的纵坐标的正负，判断每个点所在的象限，就能先区分出横坐标的正负范围，直接得到第三象限点的x是最小的；之后对于同在第一象限的两个点，利用反比例函数在每个象限内y随x增大而减小的性质，比较两个点纵坐标的大小，就能反推出对应横坐标的大小关系，最后整合三个横坐标的大小即可选出答案，不需要额外代入计算也能快速得到结果。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，且$k＞0$：
1. 确定函数图像性质：该反比例函数的图像分布在第一、第三象限，且在每个象限内，$y$的值随$x$的值增大而减小。
2. 判断各点所在象限：
点$A$的纵坐标为$-2＜0$，因此点$A$位于第三象限，可得$x_1＜0$；
点$B$的纵坐标为$1＞0$，点$C$的纵坐标为$2＞0$，因此点$B$、$C$都位于第一象限，可得$x_2＞0$，$x_3＞0$。
3. 比较第一象限内两点的横坐标：
在第一象限内函数满足$y$随$x$增大而减小，因为$1＜2$即$y_2＜y_3$，因此可得$0＜x_3＜x_2$。
4. 整合大小关系：
结合$x_1＜0$、$0＜x_3＜x_2$，最终得到$x_1＜x_3＜x_2$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图像分布，反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，易错点是忽略不同象限内点的横坐标的正负差异，直接跨象限套用增减性得出错误结论，解题时先按纵坐标正负划分点所在的象限，再在同象限内用增减性比较，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $y=kx+k$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象可能是 （
A
）答案
3. A
解析
【分析】
我们可以通过分类讨论参数k的正负性，结合一次函数、反比例函数的图像特征逐一验证选项。首先注意两个函数的参数是同一个k，因此k的符号需要同时满足两个函数的图像性质：先分析k＞0时两个函数的图像位置，再分析k＜0时两个函数的图像位置，将推导结果和选项对比，排除矛盾的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当k＞0时：
对于一次函数$y=kx+k$：斜率$k＞0$，图像从左下向右上倾斜；y轴截距为$k＞0$，图像与y轴交于正半轴；令$y=0$解得$x=-1$，图像与x轴交于负半轴，因此一次函数经过第一、二、三象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限。
该特征与选项A的图像完全吻合。
2. 当k＜0时：
对于一次函数$y=kx+k$：斜率$k＜0$，图像从左上向右下倾斜；y轴截距为$k＜0$，图像与y轴交于负半轴，因此一次函数经过第二、三、四象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＜0$时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限。
逐一验证剩余选项：
选项B：反比例函数分支在第一、三象限，说明$k＞0$，但一次函数经过第二、三、四象限对应$k＜0$，前后矛盾，排除；
选项C：反比例函数分支在第二、四象限，说明$k＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴，对应截距$k＞0$，前后矛盾，排除；
选项D：反比例函数分支在第二、四象限，说明$k＜0$，但一次函数斜率为正对应$k＞0$，前后矛盾，排除。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图像性质，反比例函数图像性质，数形结合
【点评】
本题属于函数图像辨析的基础题型，核心考点是两个函数共享同一个参数k，因此k的符号必须同时满足两个函数的图像特征，解题时通过分类讨论k的正负，逐一排除矛盾选项即可快速得到结果，要注意不要孤立判断单个函数的图像，避免出现参数符号前后不一致的错误。
【难度系数】
0.7
我们可以通过分类讨论参数k的正负性，结合一次函数、反比例函数的图像特征逐一验证选项。首先注意两个函数的参数是同一个k，因此k的符号需要同时满足两个函数的图像性质：先分析k＞0时两个函数的图像位置，再分析k＜0时两个函数的图像位置，将推导结果和选项对比，排除矛盾的错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当k＞0时：
对于一次函数$y=kx+k$：斜率$k＞0$，图像从左下向右上倾斜；y轴截距为$k＞0$，图像与y轴交于正半轴；令$y=0$解得$x=-1$，图像与x轴交于负半轴，因此一次函数经过第一、二、三象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限。
该特征与选项A的图像完全吻合。
2. 当k＜0时：
对于一次函数$y=kx+k$：斜率$k＜0$，图像从左上向右下倾斜；y轴截距为$k＜0$，图像与y轴交于负半轴，因此一次函数经过第二、三、四象限。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$：$k＜0$时，双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限。
逐一验证剩余选项：
选项B：反比例函数分支在第一、三象限，说明$k＞0$，但一次函数经过第二、三、四象限对应$k＜0$，前后矛盾，排除；
选项C：反比例函数分支在第二、四象限，说明$k＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴，对应截距$k＞0$，前后矛盾，排除；
选项D：反比例函数分支在第二、四象限，说明$k＜0$，但一次函数斜率为正对应$k＞0$，前后矛盾，排除。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图像性质，反比例函数图像性质，数形结合
【点评】
本题属于函数图像辨析的基础题型，核心考点是两个函数共享同一个参数k，因此k的符号必须同时满足两个函数的图像特征，解题时通过分类讨论k的正负，逐一排除矛盾选项即可快速得到结果，要注意不要孤立判断单个函数的图像，避免出现参数符号前后不一致的错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于点$A(2,3),B(m,-2)$,则不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的解集是（
A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
A
）A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
答案
4. A
解析
【分析】
要解不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$，本质是找出一次函数图像位于反比例函数图像上方时对应的x的取值范围。首先我们先利用已知交点A的坐标求出反比例函数的k值，进而求出点B的横坐标，得到两个交点的完整坐标；之后结合反比例函数在x=0处无定义的特点，以两个交点的横坐标和x=0为分界点划分区间，逐一判断不同区间内两个函数的上下位置关系，就能得到不等式的解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求点B的坐标：将$B(m,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$，可得$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$，即B点坐标为$(-3,-2)$。
3. 划分区间判断函数位置：两个函数的交点横坐标为-3和2，反比例函数在x=0处无意义，将x的取值划分为$x＜-3$、$-3＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间：
当$x＜-3$时，一次函数图像在反比例函数下方，不满足$ax+b＞\frac{k}{x}$；
当$-3＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数上方，满足不等式；
当$0＜x＜2$时，一次函数图像在反比例函数下方，不满足不等式；
当$x＞2$时，一次函数图像在反比例函数上方，满足不等式。
因此不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求反比例函数
函数图像解不等式
【点评】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，核心是用数形结合的思路求解不等式，不需要强行计算一次函数的解析式即可得到结果，解题时要注意反比例函数$x≠0$的特点，不要遗漏对$x＜0$区间的判断，避免错选。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$，本质是找出一次函数图像位于反比例函数图像上方时对应的x的取值范围。首先我们先利用已知交点A的坐标求出反比例函数的k值，进而求出点B的横坐标，得到两个交点的完整坐标；之后结合反比例函数在x=0处无定义的特点，以两个交点的横坐标和x=0为分界点划分区间，逐一判断不同区间内两个函数的上下位置关系，就能得到不等式的解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将点$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求点B的坐标：将$B(m,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$，可得$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$，即B点坐标为$(-3,-2)$。
3. 划分区间判断函数位置：两个函数的交点横坐标为-3和2，反比例函数在x=0处无意义，将x的取值划分为$x＜-3$、$-3＜x＜0$、$0＜x＜2$、$x＞2$四个区间：
当$x＜-3$时，一次函数图像在反比例函数下方，不满足$ax+b＞\frac{k}{x}$；
当$-3＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数上方，满足不等式；
当$0＜x＜2$时，一次函数图像在反比例函数下方，不满足不等式；
当$x＞2$时，一次函数图像在反比例函数上方，满足不等式。
因此不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求反比例函数
函数图像解不等式
【点评】
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，核心是用数形结合的思路求解不等式，不需要强行计算一次函数的解析式即可得到结果，解题时要注意反比例函数$x≠0$的特点，不要遗漏对$x＜0$区间的判断，避免错选。
【难度系数】
0.7
5. (2025·南通月考)如图,点 A,B 在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上,点 C 在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象上.若$AC// y$轴,$BC// x$轴,且$AC=BC$,则$AB$的长为（
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
这道题是反比例函数与几何结合的基础题，解题思路非常清晰：首先我们可以利用平行坐标轴的直线上点的坐标特征，设出在$y=\frac{1}{x}$上的点C的坐标为带参数的形式，再根据AC平行y轴、BC平行x轴的性质，得到A、B两点的横/纵坐标和C点对应相等，结合A、B都在$y=\frac{3}{x}$上，写出A、B的坐标表达式。接下来利用AC=BC的条件建立方程，解出参数的值，得到三个点的具体坐标后，因为AC和BC分别平行于y轴、x轴，所以$∠ ACB$是直角，直接用勾股定理就能算出AB的长度。
【解析】
解：设点C的坐标为$(a,\dfrac{1}{a})$，其中$a＞0$，
1. 推导点A坐标：
$\because AC// y$轴，平行于y轴的点横坐标相等，
$\therefore$ 点A的横坐标为$a$，又点A在$y=\dfrac{3}{x}$上，代入得A的纵坐标为$\dfrac{3}{a}$，即$A(a,\dfrac{3}{a})$。
2. 推导点B坐标：
$\because BC// x$轴，平行于x轴的点纵坐标相等，
$\therefore$ 点B的纵坐标为$\dfrac{1}{a}$，又点B在$y=\dfrac{3}{x}$上，代入得B的横坐标为$3a$，即$B(3a,\dfrac{1}{a})$。
3. 利用AC=BC求解参数：
计算线段长度：$AC=\dfrac{3}{a}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{a}$，$BC=3a-a=2a$，
由$AC=BC$得$\dfrac{2}{a}=2a$，结合$a＞0$，解得$a=1$。
4. 计算AB长度：
代入$a=1$得$A(1,3)$，$B(3,1)$，$C(1,1)$，可知$AC⊥ BC$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数点坐标特征，勾股定理，平行坐标轴点的坐标性质
【点评】
本题属于反比例函数几何综合的基础题型，核心考察坐标与线段长度的转换能力，通过设参数表示点坐标的方法是这类题的通用解法，不需要额外构造辅助线，整体思路流畅，易错点是计算线段长度时搞反坐标的差值，或者忽略x＞0的条件取错参数值。
【难度系数】
0.7
这道题是反比例函数与几何结合的基础题，解题思路非常清晰：首先我们可以利用平行坐标轴的直线上点的坐标特征，设出在$y=\frac{1}{x}$上的点C的坐标为带参数的形式，再根据AC平行y轴、BC平行x轴的性质，得到A、B两点的横/纵坐标和C点对应相等，结合A、B都在$y=\frac{3}{x}$上，写出A、B的坐标表达式。接下来利用AC=BC的条件建立方程，解出参数的值，得到三个点的具体坐标后，因为AC和BC分别平行于y轴、x轴，所以$∠ ACB$是直角，直接用勾股定理就能算出AB的长度。
【解析】
解：设点C的坐标为$(a,\dfrac{1}{a})$，其中$a＞0$，
1. 推导点A坐标：
$\because AC// y$轴，平行于y轴的点横坐标相等，
$\therefore$ 点A的横坐标为$a$，又点A在$y=\dfrac{3}{x}$上，代入得A的纵坐标为$\dfrac{3}{a}$，即$A(a,\dfrac{3}{a})$。
2. 推导点B坐标：
$\because BC// x$轴，平行于x轴的点纵坐标相等，
$\therefore$ 点B的纵坐标为$\dfrac{1}{a}$，又点B在$y=\dfrac{3}{x}$上，代入得B的横坐标为$3a$，即$B(3a,\dfrac{1}{a})$。
3. 利用AC=BC求解参数：
计算线段长度：$AC=\dfrac{3}{a}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{a}$，$BC=3a-a=2a$，
由$AC=BC$得$\dfrac{2}{a}=2a$，结合$a＞0$，解得$a=1$。
4. 计算AB长度：
代入$a=1$得$A(1,3)$，$B(3,1)$，$C(1,1)$，可知$AC⊥ BC$，由勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数点坐标特征，勾股定理，平行坐标轴点的坐标性质
【点评】
本题属于反比例函数几何综合的基础题型，核心考察坐标与线段长度的转换能力，通过设参数表示点坐标的方法是这类题的通用解法，不需要额外构造辅助线，整体思路流畅，易错点是计算线段长度时搞反坐标的差值，或者忽略x＞0的条件取错参数值。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2025·邗江区月考)已知在平面直角坐标系中,函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,则代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
6.(2025·邗江区月考)已知在平面直角坐标系中,函数$y=\dfrac{1}{x}$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,则代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
$-1$
.答案
6. $-1$
解析
【分析】
解题思路：首先，函数图象上的点的坐标必然满足对应的函数解析式，因此我们可以将交点P(a,b)分别代入两个已知函数的表达式，得到关于a、b的两个等量关系。接下来对要求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$进行通分化简，将化简后的式子转化为可以用刚才得到的两个等量关系整体代入的形式，不需要单独求解a和b的具体数值，就能快速算出结果。
【解析】
解：
1. 因为点$P(a,b)$在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，将坐标代入解析式可得：
$b=\dfrac{1}{a}$，整理得 $ab=1$。
2. 又因为点$P(a,b)$同时在一次函数$y=x-1$的图象上，将坐标代入解析式可得：
$b=a-1$，移项整理得 $b-a=-1$。
3. 对所求代数式通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$
4. 将$ab=1$、$b-a=-1$整体代入上式：
原式$=\dfrac{-1}{1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；分式通分运算；整体代入求值
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，不需要通过解方程组求出a、b的具体数值，仅利用交点坐标满足两个函数解析式的性质，得到两个整体等量关系，代入化简后的分式即可快速得到结果，避免了复杂的无理数运算，是反比例函数相关代数式求值的经典题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先，函数图象上的点的坐标必然满足对应的函数解析式，因此我们可以将交点P(a,b)分别代入两个已知函数的表达式，得到关于a、b的两个等量关系。接下来对要求的代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$进行通分化简，将化简后的式子转化为可以用刚才得到的两个等量关系整体代入的形式，不需要单独求解a和b的具体数值，就能快速算出结果。
【解析】
解：
1. 因为点$P(a,b)$在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，将坐标代入解析式可得：
$b=\dfrac{1}{a}$，整理得 $ab=1$。
2. 又因为点$P(a,b)$同时在一次函数$y=x-1$的图象上，将坐标代入解析式可得：
$b=a-1$，移项整理得 $b-a=-1$。
3. 对所求代数式通分变形：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$
4. 将$ab=1$、$b-a=-1$整体代入上式：
原式$=\dfrac{-1}{1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；分式通分运算；整体代入求值
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，不需要通过解方程组求出a、b的具体数值，仅利用交点坐标满足两个函数解析式的性质，得到两个整体等量关系，代入化简后的分式即可快速得到结果，避免了复杂的无理数运算，是反比例函数相关代数式求值的经典题型。
【难度系数】
0.7
7. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A(a,b)(a＞0,b＞0)$ 在双曲线 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 上,点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点$B$ 在双曲线 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 上,则 $k_1+k_2$ 的值为
0
.答案
7. 0
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先回忆反比例函数的性质：若点在反比例函数图像上，则点的横纵坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入第一个双曲线的解析式，即可求出k₁的表达式。
2. 再回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求出点B的坐标。
3. 再将点B的坐标代入第二个双曲线的解析式，求出k₂的表达式。
4. 最后将k₁和k₂相加，化简即可得到最终结果。
【解析】
解：
① 已知点$A(a,b)$在双曲线$y=\dfrac{k_1}{x}$上，将$x=a$，$y=b$代入解析式得：
$b=\dfrac{k_1}{a}$，整理可得$k_1=ab$。
② 点$B$是点$A$关于$x$轴的对称点，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征，可得点$B$的坐标为$(a,-b)$。
③ 已知点$B$在双曲线$y=\dfrac{k_2}{x}$上，将$x=a$，$y=-b$代入解析式得：
$-b=\dfrac{k_2}{a}$，整理可得$k_2=-ab$。
④ 计算$k_1+k_2$：$k_1+k_2=ab + (-ab)=0$。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数性质，关于x轴对称的点的坐标
【点评】
本题属于反比例函数的基础综合题，考点清晰，计算量小，核心考查反比例函数上的点与k的对应关系，以及坐标对称的基础规则，只要牢记对称点的坐标符号变化规律，避免把横纵坐标的变化搞反，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
我们可以按照以下思路逐步推导：
1. 首先回忆反比例函数的性质：若点在反比例函数图像上，则点的横纵坐标满足函数解析式，将点A的坐标代入第一个双曲线的解析式，即可求出k₁的表达式。
2. 再回忆关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求出点B的坐标。
3. 再将点B的坐标代入第二个双曲线的解析式，求出k₂的表达式。
4. 最后将k₁和k₂相加，化简即可得到最终结果。
【解析】
解：
① 已知点$A(a,b)$在双曲线$y=\dfrac{k_1}{x}$上，将$x=a$，$y=b$代入解析式得：
$b=\dfrac{k_1}{a}$，整理可得$k_1=ab$。
② 点$B$是点$A$关于$x$轴的对称点，根据关于$x$轴对称的点的坐标特征，可得点$B$的坐标为$(a,-b)$。
③ 已知点$B$在双曲线$y=\dfrac{k_2}{x}$上，将$x=a$，$y=-b$代入解析式得：
$-b=\dfrac{k_2}{a}$，整理可得$k_2=-ab$。
④ 计算$k_1+k_2$：$k_1+k_2=ab + (-ab)=0$。
【答案】
0
【知识点】
反比例函数性质，关于x轴对称的点的坐标
【点评】
本题属于反比例函数的基础综合题，考点清晰，计算量小，核心考查反比例函数上的点与k的对应关系，以及坐标对称的基础规则，只要牢记对称点的坐标符号变化规律，避免把横纵坐标的变化搞反，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
8. (2025·苏州期中) 如图，在$□ ABCD$中，$AB// x$轴，$A(1,2)$，$D(0,1)$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$C$，且与边$AB$交于点$E$。若$BE=2AE$，则点$E$的坐标为
$(3,2)$
。答案
8. $(3,2)$
解析
【分析】
首先根据AB平行x轴、A点坐标，确定AB上所有点的纵坐标均为2，因此设点E的坐标为(a,2)；接着结合A点横坐标算出AE的水平长度为a-1，由BE=2AE推出AB总长度为3AE，即AB=3(a-1)；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到CD平行且等于AB，结合D点坐标推出C点纵坐标为1、横坐标等于AB的长度，即C点坐标为(3a-3,1)；最后利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积都等于k的特点，建立关于a的方程求解，即可得到E点坐标。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD。
∵ AB // x轴，A(1,2)，点E在AB上，
∴ E的纵坐标为2，设E(a, 2)。
同纵坐标的水平线段长度为横坐标作差，因此AE = a - 1。
∵ BE = 2AE，
∴ AB = AE + BE = 3AE = 3(a - 1)。
∵ AB // CD，AB // x轴，
∴ CD // x轴，又D(0,1)，
∴ 点C的纵坐标为1，CD长度等于AB=3(a-1)，
因此点C的横坐标为0 + 3(a - 1) = 3a - 3，即C(3a - 3, 1)。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$同时经过点E和点C，
∴ 点E满足：$k = 2a$，
点C满足：$k = 1×(3a - 3) = 3a - 3$，
联立得方程：$2a = 3a - 3$，
解得$a = 3$，
∴ 点E的坐标为$(3, 2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
平行四边形性质，反比例函数点的特征
【点评】
本题将平行四边形的坐标特征和反比例函数性质结合考察，无需单独计算k的取值，直接利用反比例函数上点的横纵坐标乘积相等建立等量关系是解题的核心技巧，整体侧重对几何性质的灵活转化，计算量较小。
【难度系数】
0.6
首先根据AB平行x轴、A点坐标，确定AB上所有点的纵坐标均为2，因此设点E的坐标为(a,2)；接着结合A点横坐标算出AE的水平长度为a-1，由BE=2AE推出AB总长度为3AE，即AB=3(a-1)；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到CD平行且等于AB，结合D点坐标推出C点纵坐标为1、横坐标等于AB的长度，即C点坐标为(3a-3,1)；最后利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积都等于k的特点，建立关于a的方程求解，即可得到E点坐标。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD。
∵ AB // x轴，A(1,2)，点E在AB上，
∴ E的纵坐标为2，设E(a, 2)。
同纵坐标的水平线段长度为横坐标作差，因此AE = a - 1。
∵ BE = 2AE，
∴ AB = AE + BE = 3AE = 3(a - 1)。
∵ AB // CD，AB // x轴，
∴ CD // x轴，又D(0,1)，
∴ 点C的纵坐标为1，CD长度等于AB=3(a-1)，
因此点C的横坐标为0 + 3(a - 1) = 3a - 3，即C(3a - 3, 1)。
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$同时经过点E和点C，
∴ 点E满足：$k = 2a$，
点C满足：$k = 1×(3a - 3) = 3a - 3$，
联立得方程：$2a = 3a - 3$，
解得$a = 3$，
∴ 点E的坐标为$(3, 2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
平行四边形性质，反比例函数点的特征
【点评】
本题将平行四边形的坐标特征和反比例函数性质结合考察，无需单独计算k的取值，直接利用反比例函数上点的横纵坐标乘积相等建立等量关系是解题的核心技巧，整体侧重对几何性质的灵活转化，计算量较小。
【难度系数】
0.6
