2.(2025·新昌县期末)某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度,密度计悬浮在不同的液体中时,液体的密度$\rho$(单位:$\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3$)与其浸在液体中的高度$h$(单位:$\mathrm{cm}$)成一定的函数关系,经过实验获得两个变量$h,\rho$的一组对应值如下表:

(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象,并求出密度$\rho$(单位:$\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3$)关于高度$h$(单位:$\mathrm{cm}$)的函数表达式;
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,$h=25\ \mathrm{cm}$,求这种液体的密度$\rho$.

解:(1)描点并连线如答图所示.

由表格中的数据变化规律可知,$\rho h=20$,
$\therefore$ 密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm^3}$)关于高度$h$(单位:$\mathrm{cm}$)的函数表达式为$\rho=\dfrac{20}{h}$.
(2) 当$h=25$时,$\rho=\dfrac{20}{25}=0.8(\mathrm{g/cm^3})$.
答:这种液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$.

【分析】
解题思路：首先结合密度计悬浮的特性，密度计重力固定，悬浮时浮力等于自身重力，可得ρ液g·S·h=G（S为密度计横截面积，G为密度计重力，均为定值），因此ρ和h的乘积为定值，二者成反比例关系。第一步先根据表格给出的对应值在坐标系中描点连线画出函数图像，再设反比例函数的一般形式，代入对应数据求出比例系数，得到函数表达式；第二步直接将h=25代入已求出的函数表达式，即可算出对应的液体密度ρ。
【解析】
(1) 先将表格中各组(h,ρ)对应的坐标在平面直角坐标系中描出，再用平滑曲线连接各点，得到对应函数图象。
观察表格数据可知，所有组的h与ρ的乘积均为20，满足反比例函数的乘积定值特征，因此设函数表达式为$\rho=\frac{k}{h}$（k≠0，h＞0），代入任意一组数据如h=10、ρ=2，可得k=10×2=20，因此密度ρ关于高度h的函数表达式为$\rho=\frac{20}{h}(h＞0)$。
(2) 将h=25代入函数表达式$\rho=\frac{20}{h}$，计算得$\rho=\frac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) 描点并连线如答图所示.

函数表达式为$\rho=\dfrac{20}{h}(h＞0)$；
(2) 这种液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【知识点】
反比例函数实际应用，待定系数法求反比例解析式
【点评】
本题结合物理密度计的真实应用场景命题，将跨学科常识和反比例函数知识点结合，解题核心是通过数据规律或者物理原理判断出两个变量成反比例关系，再用待定系数法即可快速求解，侧重考察学生对反比例函数特征的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.8