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9. (2025·连云港模拟)如图,在平面直角坐标系中,函数$y=mx(m＜0)$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象交于$A,B$两点,点$C$在$x$轴上,且$AC=$$AO$,若$S_{△ ABC}=13$,则$k=$
$-\dfrac{13}{2}$
.答案
9. $-\dfrac{13}{2}$
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先回忆正比例函数和反比例函数的图象性质，两类函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点A、B必然也关于原点对称，直接得到OA=OB，也就是点O是线段AB的中点。
2. 根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此OC作为△ABC中AB边上的中线，可得S△AOC = S△BOC，那么S△ABC=2S△AOC，结合已知的总面积13，就能算出△AOC的面积为13/2。
3. 题目给出AC=AO，说明△AOC是等腰三角形，且底边OC在x轴上，过A作x轴的垂线，根据等腰三角形三线合一的性质，垂足就是OC的中点，此时可以用A点的横纵坐标表示出△AOC的面积，再结合反比例函数上的点满足xy=k的特征，就能直接求出k的值，同时注意m＜0，正比例函数过二四象限，可判断k为负，避免符号错误。
【解析】
解：
1. 由正比例函数$y=mx$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象都关于原点中心对称，可得两函数的交点A、B关于原点对称，因此$OA=OB$，即O是AB的中点。
2. 根据三角形中线的面积等分性质，$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$，因此：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2S_{△ AOC}$
已知$S_{△ ABC}=13$，代入得$S_{△ AOC}=\frac{13}{2}$。
3. 过点A作$AD⊥ x$轴于点D，由$AC=AO$，根据等腰三角形三线合一，可得D是OC的中点。
设A点坐标为$(x,y)$，因为$m＜0$，正比例函数过第二、四象限，点A在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$，则$OD=|x|=-x$，$OC=2OD=-2x$，$AD=y$。
计算$△ AOC$的面积：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AD=\frac{1}{2}×(-2x)× y=-xy$
结合$S_{△ AOC}=\frac{13}{2}$，得$-xy=\frac{13}{2}$，即$xy=-\frac{13}{2}$。
4. 因为点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，满足$k=xy$，因此$k=-\frac{13}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{13}{2}$
【知识点】
正反比例函数交点对称性；等腰三角形三线合一；反比例函数坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数综合的基础题型，核心解题突破口是利用两类函数的中心对称性质将大三角形面积转化为小三角形面积，结合等腰三角形性质建立坐标与面积的关联，无需复杂计算即可得到结果，解题时要注意根据函数所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.5
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先回忆正比例函数和反比例函数的图象性质，两类函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点A、B必然也关于原点对称，直接得到OA=OB，也就是点O是线段AB的中点。
2. 根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此OC作为△ABC中AB边上的中线，可得S△AOC = S△BOC，那么S△ABC=2S△AOC，结合已知的总面积13，就能算出△AOC的面积为13/2。
3. 题目给出AC=AO，说明△AOC是等腰三角形，且底边OC在x轴上，过A作x轴的垂线，根据等腰三角形三线合一的性质，垂足就是OC的中点，此时可以用A点的横纵坐标表示出△AOC的面积，再结合反比例函数上的点满足xy=k的特征，就能直接求出k的值，同时注意m＜0，正比例函数过二四象限，可判断k为负，避免符号错误。
【解析】
解：
1. 由正比例函数$y=mx$和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象都关于原点中心对称，可得两函数的交点A、B关于原点对称，因此$OA=OB$，即O是AB的中点。
2. 根据三角形中线的面积等分性质，$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}$，因此：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2S_{△ AOC}$
已知$S_{△ ABC}=13$，代入得$S_{△ AOC}=\frac{13}{2}$。
3. 过点A作$AD⊥ x$轴于点D，由$AC=AO$，根据等腰三角形三线合一，可得D是OC的中点。
设A点坐标为$(x,y)$，因为$m＜0$，正比例函数过第二、四象限，点A在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$，则$OD=|x|=-x$，$OC=2OD=-2x$，$AD=y$。
计算$△ AOC$的面积：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AD=\frac{1}{2}×(-2x)× y=-xy$
结合$S_{△ AOC}=\frac{13}{2}$，得$-xy=\frac{13}{2}$，即$xy=-\frac{13}{2}$。
4. 因为点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，满足$k=xy$，因此$k=-\frac{13}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{13}{2}$
【知识点】
正反比例函数交点对称性；等腰三角形三线合一；反比例函数坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数综合的基础题型，核心解题突破口是利用两类函数的中心对称性质将大三角形面积转化为小三角形面积，结合等腰三角形性质建立坐标与面积的关联，无需复杂计算即可得到结果，解题时要注意根据函数所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共55分)
10.(17分)(2025·广安)如图,一次函数$y=kx+b$(k,b为常数,$k≠0$)的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$($m$为常数,$m≠0$)的图象交于A,B两点,点A的坐标是$(-8,1)$,点B的坐标是$(n,-4)$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$kx+b＞\dfrac{m}{x}$的解集.
第9题图
10.(17分)(2025·广安)如图,一次函数$y=kx+b$(k,b为常数,$k≠0$)的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$($m$为常数,$m≠0$)的图象交于A,B两点,点A的坐标是$(-8,1)$,点B的坐标是$(n,-4)$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$kx+b＞\dfrac{m}{x}$的解集.
第9题图
答案
10. 解:(1)把点$A(-8,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,
得$1=\dfrac{m}{-8}$,解得$m=-8$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$.
把点$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$,得$-4=-\dfrac{8}{n}$,
解得$n=2$,$\therefore B(2,-4)$.
把$A(-8,1)$,$B(2,-4)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} -8k+b=1,\\ 2k+b=-4,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2},\\ b=-3,\\ \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$.
(2)由函数图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为$x＜-8$或$0＜x＜2$,
$\therefore$关于$x$的不等式$kx+b＞\dfrac{m}{x}$的解集为$x＜-8$或$0＜x＜2$.
得$1=\dfrac{m}{-8}$,解得$m=-8$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$.
把点$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$,得$-4=-\dfrac{8}{n}$,
解得$n=2$,$\therefore B(2,-4)$.
把$A(-8,1)$,$B(2,-4)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases} -8k+b=1,\\ 2k+b=-4,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2},\\ b=-3,\\ \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$.
(2)由函数图象可知,当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为$x＜-8$或$0＜x＜2$,
$\therefore$关于$x$的不等式$kx+b＞\dfrac{m}{x}$的解集为$x＜-8$或$0＜x＜2$.
解析
【分析】
这道题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题思路如下：
1. 第一问求两个函数表达式：首先反比例函数仅含一个未知参数m，已知点A(-8,1)在反比例函数图象上，直接将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，得到反比例函数的表达式。接着点B在已经求出的反比例函数图象上，将B点的纵坐标代入反比例解析式，就能求出n的值，得到点B的完整坐标。最后将A、B两个点的坐标都代入一次函数y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k和b，得到一次函数的表达式。
2. 第二问解不等式kx+b＞m/x，不需要解复杂的分式不等式，直接利用数形结合的思路：不等式的含义就是一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，对应到图象上就是一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，找出这部分图象对应的自变量x的取值范围，就是不等式的解集，注意反比例函数在x=0处没有定义，要分x＜0和x＞0两个区间结合交点横坐标判断。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将点$A(-8,1)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，
可得$1=\dfrac{m}{-8}$，解得$m=-8$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$。
将点$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，
可得$-4=-\dfrac{8}{n}$，解得$n=2$，即点B的坐标为$(2,-4)$。
将$A(-8,1)$、$B(2,-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases} -8k+b=1\\ 2k+b=-4 \end{cases}$
两式相减消去b得$10k=-5$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
将$k=-\dfrac{1}{2}$代入$-8k+b=1$，解得$b=-3$，
因此一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$。
(2) 结合图象分析不等式解集：
两个函数的交点横坐标分别为-8和2，反比例函数在x=0处断开，观察图象可得一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x范围为$x＜-8$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$；(2) 不等式的解集为$x＜-8$或$0＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求函数解析式；反比例函数图象性质；数形结合解不等式
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考察待定系数法的常规使用，以及利用函数图象解不等式的数形结合思想，易错点是容易忽略反比例函数在x=0处无定义，误将解集写为-8＜x＜2，解题时结合图象分区间判断即可避免该错误。
【难度系数】
0.7
这道题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题思路如下：
1. 第一问求两个函数表达式：首先反比例函数仅含一个未知参数m，已知点A(-8,1)在反比例函数图象上，直接将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，得到反比例函数的表达式。接着点B在已经求出的反比例函数图象上，将B点的纵坐标代入反比例解析式，就能求出n的值，得到点B的完整坐标。最后将A、B两个点的坐标都代入一次函数y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k和b，得到一次函数的表达式。
2. 第二问解不等式kx+b＞m/x，不需要解复杂的分式不等式，直接利用数形结合的思路：不等式的含义就是一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，对应到图象上就是一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，找出这部分图象对应的自变量x的取值范围，就是不等式的解集，注意反比例函数在x=0处没有定义，要分x＜0和x＞0两个区间结合交点横坐标判断。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
将点$A(-8,1)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$，
可得$1=\dfrac{m}{-8}$，解得$m=-8$，
因此反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$。
将点$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，
可得$-4=-\dfrac{8}{n}$，解得$n=2$，即点B的坐标为$(2,-4)$。
将$A(-8,1)$、$B(2,-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases} -8k+b=1\\ 2k+b=-4 \end{cases}$
两式相减消去b得$10k=-5$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
将$k=-\dfrac{1}{2}$代入$-8k+b=1$，解得$b=-3$，
因此一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$。
(2) 结合图象分析不等式解集：
两个函数的交点横坐标分别为-8和2，反比例函数在x=0处断开，观察图象可得一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x范围为$x＜-8$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x-3$；(2) 不等式的解集为$x＜-8$或$0＜x＜2$
【知识点】
待定系数法求函数解析式；反比例函数图象性质；数形结合解不等式
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考察待定系数法的常规使用，以及利用函数图象解不等式的数形结合思想，易错点是容易忽略反比例函数在x=0处无定义，误将解集写为-8＜x＜2，解题时结合图象分区间判断即可避免该错误。
【难度系数】
0.7
11. (18 分) 如图,一次函数 $y=2x$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $A(4,n)$.将点 $A$ 沿 $x$ 轴正方向平移 $m$ 个单位长度得到点 $B$,$D$ 为 $x$ 轴正半轴上的点,点 $B$ 的横坐标大于点 $D$ 的横坐标,连接 $BD$,$BD$ 的中点 $C$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上.
(1)求 $n,k$ 的值;
(2)当 $m$ 为何值时,$AB· OD$ 的值最大? 最大值是多少?
(1)求 $n,k$ 的值;
(2)当 $m$ 为何值时,$AB· OD$ 的值最大? 最大值是多少?
答案
11. 解:(1)将$A(4,n)$代入$y=2x$,得$n=8$,
$\therefore$点$A$的坐标为$(4,8)$.
将$A(4,8)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=32$.
(2)$\because$点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标,
$\therefore$点$B$在点$D$的右侧.
如答图,过点$C$作直线$EF⊥ x$轴于点$F$,交$AB$于点$E$.
由平移的性质得$AB// x$轴,$AB=m$,
$\therefore∠ B=∠ CDF$.
$\because C$为$BD$的中点,$\therefore BC=DC$.
在$△ ECB$和$△ FCD$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ CDF,\\ BC=DC,\\ ∠ BCE=∠ DCF,\\ \end{cases}$
$\therefore△ ECB≌△ FCD(\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=DF$,$CE=CF$.
$\because AB// x$轴,点$A$的坐标为$(4,8)$,
$\therefore EF=8$,$\therefore CE=CF=4$,$\therefore$点$C$的纵坐标为$4$.
由(1)知反比例函数的表达式为$y=\dfrac{32}{x}$,
$\therefore$当$y=4$时,$x=8$,$\therefore C(8,4)$,$\therefore E(8,8)$,$F(8,0)$.
$\because$点$A(4,8)$,$AB=m$,$AB// x$轴,
$\therefore$点$B$的坐标为$(m+4,8)$,$\therefore BE=m+4-8=m-4$,
$\therefore DF=BE=m-4$,$\therefore OD=8-(m-4)=12-m$,
$\therefore AB· OD=m(12-m)=-(m-6)^{2}+36$,
$\therefore$当$m=6$时,$AB· OD$的值最大,最大值为$36$.
解析
【分析】
本题分两小问逐步求解：
1. 第(1)问思路：已知点A同时在正比例函数y=2x和反比例函数上，先将点A的横坐标代入正比例函数，直接计算得到n的值，确定点A的完整坐标后，再将A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，属于基础的点与函数解析式的代入求值问题。
2. 第(2)问思路：首先根据平移的性质，得到AB平行于x轴，AB的长度就是平移距离m，点B的纵坐标和点A一致为8。接下来利用C是BD中点的条件，作垂直于x轴的辅助线构造全等三角形，可直接推出点C的纵坐标为4，代入反比例函数就能得到C点的固定坐标。随后用含m的代数式表示点B的坐标，结合全等得到的线段等量关系，把OD的长度也用m表示，这样AB·OD就转化为关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出乘积的最大值和对应的m值。
【解析】
(1) 将点A(4,n)代入一次函数y=2x，可得：
$n=2×4=8$
因此点A的坐标为$(4,8)$。
将$A(4,8)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，可得：
$8=\dfrac{k}{4}$，解得$k=32$。
(2) 由平移的性质可得：$AB// x$轴，$AB=m$，点B的纵坐标为8。
过点C作直线$EF⊥ x$轴于点F，交AB于点E：
$\because AB// x$轴，$\therefore ∠ B=∠ CDF$，$∠ CEB=∠ CFD=90°$。
$\because C$为BD的中点，$\therefore BC=DC$。
在$△ ECB$和$△ FCD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ CDF \\BC=DC \\∠ BCE=∠ DCF\end{cases}$
$\therefore △ ECB≌△ FCD(\mathrm{ASA})$，可得$BE=DF$，$CE=CF$。
$\because AB// x$轴，点A的纵坐标为8，$\therefore EF=8$，因此$CE=CF=4$，即点C的纵坐标为4。
将$y=4$代入反比例函数$y=\dfrac{32}{x}$，得$4=\dfrac{32}{x}$，解得$x=8$，即$C(8,4)$。
因此可得$E(8,8)$，$F(8,0)$。
已知$A(4,8)$，$AB=m$且$AB// x$轴，因此点B的坐标为$(m+4,8)$，可得：
$BE=(m+4)-8=m-4$，结合全等结论得$DF=BE=m-4$。
因此$OD=OF-DF=8-(m-4)=12-m$。
则$AB· OD=m(12-m)=-m^2+12m=-(m-6)^2+36$，这是开口向下的二次函数，当$m=6$时，$AB· OD$取得最大值36。
【答案】
(1) $n=8$，$k=32$；
(2) 当$m=6$时，$AB· OD$的值最大，最大值为36。
【知识点】
点与函数解析式，反比例函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是反比例函数与几何平移、二次函数最值结合的中档综合题，第一问难度较低，考察基础的函数代入求值；第二问的核心突破口是利用BD中点的条件，通过构造全等三角形直接得到点C的固定坐标，避免了复杂的设元计算，最后将线段乘积转化为二次函数求最值，考察了数形结合、几何转化的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
本题分两小问逐步求解：
1. 第(1)问思路：已知点A同时在正比例函数y=2x和反比例函数上，先将点A的横坐标代入正比例函数，直接计算得到n的值，确定点A的完整坐标后，再将A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，属于基础的点与函数解析式的代入求值问题。
2. 第(2)问思路：首先根据平移的性质，得到AB平行于x轴，AB的长度就是平移距离m，点B的纵坐标和点A一致为8。接下来利用C是BD中点的条件，作垂直于x轴的辅助线构造全等三角形，可直接推出点C的纵坐标为4，代入反比例函数就能得到C点的固定坐标。随后用含m的代数式表示点B的坐标，结合全等得到的线段等量关系，把OD的长度也用m表示，这样AB·OD就转化为关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出乘积的最大值和对应的m值。
【解析】
(1) 将点A(4,n)代入一次函数y=2x，可得：
$n=2×4=8$
因此点A的坐标为$(4,8)$。
将$A(4,8)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，可得：
$8=\dfrac{k}{4}$，解得$k=32$。
(2) 由平移的性质可得：$AB// x$轴，$AB=m$，点B的纵坐标为8。
过点C作直线$EF⊥ x$轴于点F，交AB于点E：
$\because AB// x$轴，$\therefore ∠ B=∠ CDF$，$∠ CEB=∠ CFD=90°$。
$\because C$为BD的中点，$\therefore BC=DC$。
在$△ ECB$和$△ FCD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ CDF \\BC=DC \\∠ BCE=∠ DCF\end{cases}$
$\therefore △ ECB≌△ FCD(\mathrm{ASA})$，可得$BE=DF$，$CE=CF$。
$\because AB// x$轴，点A的纵坐标为8，$\therefore EF=8$，因此$CE=CF=4$，即点C的纵坐标为4。
将$y=4$代入反比例函数$y=\dfrac{32}{x}$，得$4=\dfrac{32}{x}$，解得$x=8$，即$C(8,4)$。
因此可得$E(8,8)$，$F(8,0)$。
已知$A(4,8)$，$AB=m$且$AB// x$轴，因此点B的坐标为$(m+4,8)$，可得：
$BE=(m+4)-8=m-4$，结合全等结论得$DF=BE=m-4$。
因此$OD=OF-DF=8-(m-4)=12-m$。
则$AB· OD=m(12-m)=-m^2+12m=-(m-6)^2+36$，这是开口向下的二次函数，当$m=6$时，$AB· OD$取得最大值36。
【答案】
(1) $n=8$，$k=32$；
(2) 当$m=6$时，$AB· OD$的值最大，最大值为36。
【知识点】
点与函数解析式，反比例函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是反比例函数与几何平移、二次函数最值结合的中档综合题，第一问难度较低，考察基础的函数代入求值；第二问的核心突破口是利用BD中点的条件，通过构造全等三角形直接得到点C的固定坐标，避免了复杂的设元计算，最后将线段乘积转化为二次函数求最值，考察了数形结合、几何转化的综合解题能力。
【难度系数】
0.5
12. (20 分) 如图,直线 $y_1=\dfrac{1}{4}x+1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,与反比例函数 $y_2=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 $C$,且 $AB=BC$.
(1)求点 $C$ 的坐标和反比例函数 $y_2$ 的表达式；
(2)若点 $P$ 在 $x$ 轴上,反比例函数 $y_2$ 的图象上存在点 $M$,使得四边形 $BPCM$ 为平行四边形,求点 $M$ 的坐标.
(1)求点 $C$ 的坐标和反比例函数 $y_2$ 的表达式；
(2)若点 $P$ 在 $x$ 轴上,反比例函数 $y_2$ 的图象上存在点 $M$,使得四边形 $BPCM$ 为平行四边形,求点 $M$ 的坐标.
答案
12. 解:(1)$\because$直线$y_{1}=\dfrac{1}{4}x+1$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$\therefore A(-4,0)$,$B(0,1)$,$\therefore OA=4$,$OB=1$.
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,如答图所示.
$\because AB=BC$,$\therefore OB$为$△ ACD$的中位线,
$\therefore OD=OA=4$,$CD=2OB=2$,$\therefore$点$C$的坐标为$(4,2)$.
$\because$点$C(4,2)$在反比例函数$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
$\therefore k=4×2=8$,
$\therefore$反比例函数$y_{2}$的表达式为$y_{2}=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
(2)连接$PM$交$BC$于点$G$,如答图所示.
$\because$四边形$BPCM$为平行四边形,
$\therefore G$为线段$BC$,$PM$的中点.
$\because B(0,1)$,$C(4,2)$,$\therefore G(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{1+2}{2})$,即$(2,\dfrac{3}{2})$.
设$M(m,\dfrac{8}{m})$,$P(n,0)$,
$\therefore\begin{cases} \dfrac{m+n}{2}=2,\\ \dfrac{\dfrac{8}{m}}{2}=\dfrac{3}{2},\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{8}{3},\\ n=\dfrac{4}{3},\\ \end{cases}$
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{8}{3},3)$.
解析
【分析】
我们分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：首先先求直线$y_1=\dfrac{1}{4}x+1$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，令y=0可得A点横坐标，令x=0可得B点纵坐标。已知$AB=BC$，说明B是线段AC的中点，过C作x轴的垂线CD，可得$OB// CD$，利用三角形中位线的性质，就能直接求出C点的横纵坐标，得到C点坐标后，代入反比例函数解析式即可求出k，得到反比例函数表达式。
2. 第(2)问：已知四边形BPCM是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知两条对角线BC和PM的中点是同一个点，先利用B、C的坐标求出对角线中点G的坐标，再设出M、P的坐标，利用中点坐标公式列方程组，结合M在反比例函数上、P在x轴上的条件，即可解出M的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y_1=\dfrac{1}{4}x+1$：
令$y_1=0$，则$\dfrac{1}{4}x+1=0$，解得$x=-4$，因此$A(-4,0)$；
令$x=0$，则$y_1=1$，因此$B(0,1)$，可得$OA=4$，$OB=1$。
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，
$\because AB=BC$，即B是AC的中点，且$OB⊥ x$轴，$CD⊥ x$轴，$\therefore OB// CD$，即OB是$△ ACD$的中位线。
由中位线性质得：$OD=OA=4$，$CD=2OB=2$，因此点C的坐标为$(4,2)$。
将$C(4,2)$代入反比例函数$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y_2=\dfrac{8}{x}(x＞0)$。
(2) $\because$四边形$BPCM$为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，可得对角线BC和PM的中点重合。
已知$B(0,1)$，$C(4,2)$，由中点坐标公式，得BC的中点G的坐标为$(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{1+2}{2})$，即$G(2,\dfrac{3}{2})$。
设点$M(m,\dfrac{8}{m})$（M在反比例函数图象上），点$P(n,0)$（P在x轴上），因为G也是PM的中点，因此可得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{m+n}{2}=2\\\dfrac{\dfrac{8}{m}+0}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{8}{3}\\n=\dfrac{4}{3}\end{cases}$，因此点M的坐标为$(\dfrac{8}{3},3)$。
【答案】
12. 解:(1)$\because$直线$y_{1}=\dfrac{1}{4}x+1$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$\therefore A(-4,0)$,$B(0,1)$,$\therefore OA=4$,$OB=1$.
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,如答图所示.
$\because AB=BC$,$\therefore OB$为$△ ACD$的中位线,
$\therefore OD=OA=4$,$CD=2OB=2$,$\therefore$点$C$的坐标为$(4,2)$.
$\because$点$C(4,2)$在反比例函数$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
$\therefore k=4×2=8$,
$\therefore$反比例函数$y_{2}$的表达式为$y_{2}=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
(2)连接$PM$交$BC$于点$G$,如答图所示.
$\because$四边形$BPCM$为平行四边形,
$\therefore G$为线段$BC$,$PM$的中点.
$\because B(0,1)$,$C(4,2)$,$\therefore G(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{1+2}{2})$,即$(2,\dfrac{3}{2})$.
设$M(m,\dfrac{8}{m})$,$P(n,0)$,
$\therefore\begin{cases} \dfrac{m+n}{2}=2,\\ \dfrac{\dfrac{8}{m}}{2}=\dfrac{3}{2},\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{8}{3},\\ n=\dfrac{4}{3},\\ \end{cases}$
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{8}{3},3)$.
【知识点】
1.一次函数交点坐标
2.反比例函数解析式求解
3.平行四边形性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合中档题，第一问利用三角形中位线快速求点坐标，避免了设点列方程的繁琐；第二问利用平行四边形对角线互相平分结合中点坐标公式求解，思路清晰不易出错，解题时要注意平行四边形的顶点顺序，准确判断对角线的组成，避免出现错解。
【难度系数】
0.5
我们分两小问梳理解题思路：
1. 第(1)问：首先先求直线$y_1=\dfrac{1}{4}x+1$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，令y=0可得A点横坐标，令x=0可得B点纵坐标。已知$AB=BC$，说明B是线段AC的中点，过C作x轴的垂线CD，可得$OB// CD$，利用三角形中位线的性质，就能直接求出C点的横纵坐标，得到C点坐标后，代入反比例函数解析式即可求出k，得到反比例函数表达式。
2. 第(2)问：已知四边形BPCM是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可知两条对角线BC和PM的中点是同一个点，先利用B、C的坐标求出对角线中点G的坐标，再设出M、P的坐标，利用中点坐标公式列方程组，结合M在反比例函数上、P在x轴上的条件，即可解出M的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y_1=\dfrac{1}{4}x+1$：
令$y_1=0$，则$\dfrac{1}{4}x+1=0$，解得$x=-4$，因此$A(-4,0)$；
令$x=0$，则$y_1=1$，因此$B(0,1)$，可得$OA=4$，$OB=1$。
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$，
$\because AB=BC$，即B是AC的中点，且$OB⊥ x$轴，$CD⊥ x$轴，$\therefore OB// CD$，即OB是$△ ACD$的中位线。
由中位线性质得：$OD=OA=4$，$CD=2OB=2$，因此点C的坐标为$(4,2)$。
将$C(4,2)$代入反比例函数$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$k=4×2=8$，因此反比例函数的表达式为$y_2=\dfrac{8}{x}(x＞0)$。
(2) $\because$四边形$BPCM$为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，可得对角线BC和PM的中点重合。
已知$B(0,1)$，$C(4,2)$，由中点坐标公式，得BC的中点G的坐标为$(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{1+2}{2})$，即$G(2,\dfrac{3}{2})$。
设点$M(m,\dfrac{8}{m})$（M在反比例函数图象上），点$P(n,0)$（P在x轴上），因为G也是PM的中点，因此可得方程组：
$\begin{cases}\dfrac{m+n}{2}=2\\\dfrac{\dfrac{8}{m}+0}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{8}{3}\\n=\dfrac{4}{3}\end{cases}$，因此点M的坐标为$(\dfrac{8}{3},3)$。
【答案】
12. 解:(1)$\because$直线$y_{1}=\dfrac{1}{4}x+1$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,$\therefore A(-4,0)$,$B(0,1)$,$\therefore OA=4$,$OB=1$.
过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,如答图所示.
$\because AB=BC$,$\therefore OB$为$△ ACD$的中位线,
$\therefore OD=OA=4$,$CD=2OB=2$,$\therefore$点$C$的坐标为$(4,2)$.
$\because$点$C(4,2)$在反比例函数$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
$\therefore k=4×2=8$,
$\therefore$反比例函数$y_{2}$的表达式为$y_{2}=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
(2)连接$PM$交$BC$于点$G$,如答图所示.
$\because$四边形$BPCM$为平行四边形,
$\therefore G$为线段$BC$,$PM$的中点.
$\because B(0,1)$,$C(4,2)$,$\therefore G(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{1+2}{2})$,即$(2,\dfrac{3}{2})$.
设$M(m,\dfrac{8}{m})$,$P(n,0)$,
$\therefore\begin{cases} \dfrac{m+n}{2}=2,\\ \dfrac{\dfrac{8}{m}}{2}=\dfrac{3}{2},\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\dfrac{8}{3},\\ n=\dfrac{4}{3},\\ \end{cases}$
$\therefore$点$M$的坐标为$(\dfrac{8}{3},3)$.
【知识点】
1.一次函数交点坐标
2.反比例函数解析式求解
3.平行四边形性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合中档题，第一问利用三角形中位线快速求点坐标，避免了设点列方程的繁琐；第二问利用平行四边形对角线互相平分结合中点坐标公式求解，思路清晰不易出错，解题时要注意平行四边形的顶点顺序，准确判断对角线的组成，避免出现错解。
【难度系数】
0.5
