7. (2026·江苏盐城期末)已知一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与 $ y_2 = mx + n $ 的图象如图所示，当 $ y_1 ＜ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是（）


A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ -1 $
C.$ x ＜ 1 $
D.$ x ＞ 1 $

A 解析:由题图,得当$y_1＜y_2$时,$y_1=kx+b$的图象在$y_2=mx+n$的图象的下方,即$x$的取值范围是$x＜-1$。

8. 已知三条直线$y=2x-3$、$y=-2x+1$和$y=kx-2$相交于同一点，则$k$的值为。

1 解析:由题意,联立方程组$\begin{cases}y=2x-3, \\ y=-2x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1, \\ y=-1.\end{cases}$所以直线$y=2x-3$和$y=-2x+1$交于一点$(1,-1)$。把$(1,-1)$代入$y=kx-2$中,得$-1=k-2$,解得$k=1$。则$k$的值为1。

9. (2026·江苏常州期末)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - by = 6b, \\mx - ny = 2n\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 4, \\y = 2,\end{cases}$则一次函数$y=\frac{a}{b}x - 4$，$y=\frac{m}{n}x$的图象交点的坐标是 ______ 。

(4,4) 解析:由题意,把$\begin{cases}x=4, \\ y=2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=6b, \\ mx-ny=2n\end{cases}$中,得$\begin{cases}\frac{a}{b}=2, \\ \frac{m}{n}=1.\end{cases}$所以两一次函数的表达式分别为$y=2x-4,y=x$。联立方程组$\begin{cases}y=2x-4, \\ y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4, \\ y=4.\end{cases}$所以一次函数$y=\frac{a}{b}x-4,y=\frac{m}{n}x$的图象交点的坐标是$(4,4)$。

10. 新素养 运算能力 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\frac{1}{2}x + b$的图象与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,与正比例函数$y=2x$的图象交于点$C(1,a)$.
(1) 求$a,b$的值;
(2) 方程组$\begin{cases}2x - y = 0, \\ \frac{1}{2}x + y = b\end{cases}$的解为 ______ ;
(3) 在$y=2x$的图象上是否存在点$P$,使得$△ BOP$的面积比$△ AOP$的面积大$5$?若存在,请求出符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 由题意,把$(1,a)$代入$y=2x$中,得$a=2$。则$C(1,2)$。又点$C$在一次函数$y=-\frac{1}{2}x+b$的图象上,所以$2=-\frac{1}{2}×1+b$,解得$b=\frac{5}{2}$。则$a$的值为2,$b$的值为$\frac{5}{2}$。
(2) $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
(3) 存在。由(1),得$b=\frac{5}{2}$,所以直线$AB$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。令$x=0$,得$y=\frac{5}{2}$;令$y=0$,得$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=0$,解得$x=5$。则$A(0,\frac{5}{2}),B(5,0)$。所以$OA=\frac{5}{2},OB=5$。由题意,设$P(t,2t)$,则$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}|t|=\frac{5|t|}{4}$,$S_{△ BOP}=\frac{1}{2}×5|2t|=5|t|$。又$△ BOP$的面积比$△ AOP$的面积大5,所以$5|t|=\frac{5|t|}{4}+5$,解得$t=±\frac{4}{3}$。所以点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3})$。

11. 在平面直角坐标系中,无论k取何实数,直线$y=(k-1)x+4-5k$总经过定点P,则点P与动点$Q(5m-1,5m+1)$之间的距离的最小值为.

$\sqrt{32}$ 解析:因为$y=(k-1)x+4-5k=k(x-5)+4-x$,所以当$x=5$时,$y=-1$,即定点$P$的坐标为$(5,-1)$。因为动点$Q(5m-1,5m+1)$满足$y-x=2$,即动点$Q(5m-1,5m+1)$在直线$y=x+2$上。如图,过点$P$作直线$y=x+2$的垂线,当$Q$为垂足时,$PQ$最短。易得$A,B$两点的坐标分别为$(0,2)$,$(-2,0)$,所以$OA=OB=2$。所以$△ ABO$为等腰直角三角形。过点$A$作直线$y=x+2$的垂线交$x$轴于点$C$,易证$△ AOC$为等腰直角三角形。所以$OC=OA=2$。设直线$AC$的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$,代入$A(0,2),C(2,0)$,可求得$m=-1$,$n=2$,即直线$AC$的函数表达式为$y=-x+2$。因为$AC// PQ$,所以可设直线$PQ$的函数表达式为$y=-x+b$,代入$P(5,-1)$,解得$b=4$。所以直线$PQ$的函数表达式为$y=-x+4$。联立方程组$\begin{cases}y=x+2, \\ y=-x+4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1, \\ y=3.\end{cases}$所以$Q(1,3)$。所以距离的最小值$PQ=\sqrt{(5-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{32}$。
解决这类问题的关键是先分离参数(“k”),再令参数的系数为0,从而求得$x,y$的值,即可得定点的坐标。

12. (2025·江苏苏州二模)如图，直线$l_1$的函数表达式为$y_1=-x+4$，直线$l_2$的函数表达式为$y_2=x-2$，直线$l_1$和直线$l_2$的交点为B.
(1) 求点B的坐标；
(2) 平行于y轴的直线$l$交x轴于点M，交直线$l_1$于点E，交直线$l_2$于点F.
① 分别求当直线$l$为直线$x=2$和直线$x=4$时$EF$的值；
② 写出线段$EF$的长$y$关于$x$的函数表达式，并画出函数图象$L$；
③ 在(2)②的条件下，如果直线$y=kx+3(k≠0)$与$L$始终都有2个公共点，直接写出$k$的取值范围.

(1) 由题意,联立方程组$\begin{cases}y=-x+4, \\ y=x-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\ y=1.\end{cases}$所以点$B$的坐标为$(3,1)$。
(2) ① 当$x=2$时,$y_1=-2+4=2$,$y_2=2-2=0$。则$E(2,2)$,$F(2,0)$。所以$EF=2$。当$x=4$时,$y_1=-4+4=0$,$y_2=4-2=2$。则$E(4,0)$,$F(4,2)$。所以$EF=2$。
② 由(1),得$B(3,1)$,所以当$x=3$时,直线$l_1$与直线$l_2$相交。当$x≤3$时,$y=-x+4-(x-2)=-2x+6$;当$x＞3$时,$y=x-2-(-x+4)=2x-6$。所以线段$EF$的长$y$关于$x$的函数表达式为$y=\begin{cases}-2x+6(x≤3), \\ 2x-6(x＞3).\end{cases}$函数图象$L$如图:
③ $k$的取值范围为$-1＜k＜2$,且$k≠0$。 解析:对于$y=kx+3$,令$x=0$,得$y=3$。所以直线$y=kx+3(k≠0)$与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。由图象$L$,得当$x=3$时,$y=0$。把$(3,0)$代入$y=kx+3$中,得$3k+3=0$,解得$k=-1$。所以当$-1＜k＜0$时,直线$y=kx+3$与$L$有2个公共点。由图象$L$,得当$0＜k＜2$时,直线$y=kx+3$与$L$有2个公共点。综上,$k$的取值范围为$-1＜k＜2$,且$k≠0$。