1. 如图①,在正方形ABCD中,M是AD的中点,点P从点A出发沿A→B→C→D的路线匀速运动,到点D停止,点Q从点D出发,沿D→C→B→A的路线匀速运动,P,Q两点同时出发,点P的速度是点Q速度的m倍(m＞1),当点P停止时,点Q也同时停止运动.设t s时,正方形ABCD与∠PMQ重叠部分的面积为y cm²,y关于t的函数关系如图②所示.
(1) 求正方形的边长AB;
(2) 求m的值;
(3) 求图②中线段EF所在直线的函数表达式.

(1) 由题图②,得当t=0时,y=144,所以此时P,Q两点分别在A,D两点处,且y为正方形ABCD的面积,即正方形ABCD的面积为144 cm².又正方形ABCD的面积为AB²,所以AB=12 cm.
(2) 由题图②,得当t=4时,点P运动到点B处,点Q在边CD上,所以 y = S正方形ABCD - S△AMP - S△DMQ.由(1),得AB=12 cm,所以AD=12 cm.又M是AD的中点,所以AM=DM=6 cm.设点Q的速度为a cm/s,则点P的速度为ma cm/s.又当t=4时,y=96,所以 96 = 144 - 1/2 ×6 ·4a - 1/2 ×6×12,4ma=12,解得a=1,m=3.则m的值为3.
(3) 由(2),得a=1,m=3,则点P的速度为3 cm/s,点Q的速度为1 cm/s.所以点P运动到点C时,所需的时间为12×2÷3=8(s),点Q运动到点C时所需的时间为12÷1=12(s).所以当t=8时,DQ=8 cm,即PQ=CQ=4 cm.此时 y = 1/2 ×4×6=12,所以E(8,12).当y=0时,P,Q两点相遇,所以3t + t =12×3,解得t=9.则点F的坐标为(9,0).设线段EF所在直线的函数表达式为y=kt+b,则{8k+b=12,9k+b=0,解得{k=-12,b=108.所以线段EF所在直线的函数表达式为y=-12t+108.

2. 如图①,在甲、乙两地之间有一车站丙(离乙地较近),一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地,一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶,图②分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程$y$(km)与行驶时间$x$(h)之间的函数图象,则下列说法错误的是 ()


A.货车的速度为 60 km/h
B.$a=120$
C.当 $x=\dfrac{18}{7}$时,两车相遇
D.当 $x=\dfrac{3}{2}$时,轿车刚好到达丙站

C 解析:由题图,得货车的速度为360/6=60(km/h).故选项A正确;所以丙、乙两地的距离a=60×(8-6)=120.故选项B正确;所以甲、乙两地的距离为360+120=480(km).所以轿车的速度为480/6=80(km/h).所以m=120/80=3/2,即当x=3/2时,轿车刚好到达丙站.故选项D正确.又480÷(60+80)=24/7(h),即当x=24/7时,两车相遇.故选项C错误.

3. (2026·江苏淮安期末)如图,甲列车从A地出发,以240 km/h的平均速度驶向B地;乙列车在甲列车出发后,从B地出发以320 km/h的平均速度驶向A地,两列车与A地的距离s(km)关于甲列车行驶时间t(h)的函数关系如图所示,请根据图象解答下列问题:
(1) 乙列车比甲列车晚出发h;
(2) 求乙列车与A地的距离$s_乙$关于甲列车行驶时间$t$的函数表达式;
(3) 甲列车出发多久与乙列车相遇?

(1) 0.25
(2) 当0≤t≤0.25时,s乙=200.因为0.25+200/320=0.875,所以当乙列车到达A地时,t=0.875.设s乙关于t的函数表达式为s乙=kt+b(0.25＜t≤0.875).把(0. 25, 200 ), ( 0.875, 0 ) 分 别 代 入, 得{0.25k+b=200,0.875k+b=0,解得{k=-320,b=280.所以s乙关于t的函数表达式为 s乙 = -320t + 280 (0. 25 ＜ t ≤0.875).综上,s乙={200(0≤t≤0.25),-320t+280(0.25＜t≤0.875).
(3) 设甲列车出发x h与乙列车相遇.由题意,得240x+320(x-0.25)=200,解得x=0.5.则甲列车出发0.5 h与乙列车相遇.