1 [2025 江苏盐城三模]下列运算正确的是()
A. $ a^{2} · a^{4} = a^{8} $
B. $ (-2a^{2})^{3} = -6a^{6} $
C. $ a^{3} - a^{2} = a $
D. $ a^{5} ÷ a = a^{4} $

1. D 【解析】A 选项，$a^{2}· a^{4}=a^{2 + 4}=a^{6}$，原式计算错误，不符合题意；B 选项，$(-2a^{2})^{3}=-8a^{6}$，原式计算错误，不符合题意；C 选项，$a^{3}$ 与 $a^{2}$ 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；D 选项，$a^{5}÷ a = a^{5 - 1}=a^{4}$，原式计算正确，符合题意. 故选 D.

2 [2024 上海青浦区期末]关于代数式 $ (a + 1)^{0} $，下列说法正确的是()

A.$ (a + 1)^{0} $ 的值一定是 0
B.$ (a + 1)^{0} $ 的值一定是 1
C.当 $ a ≠ 0 $ 时，$ (a + 1)^{0} $ 的值是 1
D.当 $ a ≠ -1 $ 时，$ (a + 1)^{0} $ 的值是 1

2. D 【解析】$(a + 1)^{0}$ 有意义的条件是 $a + 1≠ 0$，解得 $a≠ -1$，即当 $a≠ -1$ 时，$(a + 1)^{0}=1$. 故选 D.

3 [2025 江苏苏州质检]已知 $ 2^{a} = 4 $，$ 2^{b} = 12 $，$ 2^{c} = 6 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 之间满足的数量关系是()

A.$ a + c = b + 1 $
B.$ a + c = 2b $
C.$ a : b : c = 1 : 3 : 2 $
D.$ ac = 2b $

3. A 【解析】因为 $2^{a}=4$，$2^{b}=12$，$2^{c}=6$，所以 $2^{a}× 2^{c}=2× 2^{b}$，所以 $2^{a + c}=2^{b + 1}$，所以 $a + c = b + 1$，故选 A.

4 [2025 江苏无锡期中]若整数 $ m = 2^{n} × 5^{8} $ 是一个 10 位数，则整数 $ n $ 的所有可能值是()

A.11，12，13
B.10，12，14
C.12，13，14
D.13，14，15

4. C 【解析】因为 $m = 2^{n}× 5^{8}=2^{8}× 5^{8}× 2^{n - 8}$，$2^{8}× 5^{8}=10^{8}$ 是一个 9 位数，整数 $m = 2^{n}× 5^{8}$ 是一个 10 位数，所以 $10≤ 2^{n - 8}＜ 100$，所以 $n - 8$ 可能是 4,5,6，所以 $n$ 可能是 12,13,14. 故选 C.

5 [2025 江苏泰州调研] $ 0.000000007 $ 用科学记数法表示为。

5. $7× 10^{-9}$ 【解析】$0.000000007 = 7× 10^{-9}$，故答案为 $7× 10^{-9}$.

6 [2024 福建福州期末]在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的 3 个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”。在如图所示的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 $ x $ 的值为。

6. -1 【解析】由题意可得，$2^{x + 2}· (\frac{1}{16})^{x}=4× 8$，所以 $2^{x + 2}· 2^{-4x}=2^{5}$，即 $2^{2 - 3x}=2^{5}$，所以 $2 - 3x = 5$，所以 $3x = -3$，解得 $x = -1$. 故答案为 -1.

7 定义一种新运算：$ \int_{b}^{a} nx^{n - 1}dx = a^{n} - b^{n} $，例如 $ \int_{m}^{k} 2xdx = k^{2} - m^{2} $。若 $ \int_{2}^{k} (-x^{-2})dx = -1 $，则 $ k = $。

7. -2 【解析】由题意得，$\int_{2}^{k}(-x^{-2})dx = k^{-1}-2^{-1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{2}=-1$，解得 $k = -2$. 故答案为 -2.

8 [2025 江苏宿迁二模]若 $ a^{x} = b^{y} = 10^{z} $(其中 $ a $，$ b $，$ x $，$ y $ 是正整数)，且有 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则 $ 2a + b $ 的值是。

8. 12 或 21 或 9 【解析】因为 $a^{x}=10^{z}$，所以 $(a^{x})^{\frac{1}{x}}=(10^{z})^{\frac{1}{x}}$，即 $a = 10^{\frac{z}{x}}$. 因为 $b^{y}=10^{z}$，所以 $(b^{y})^{\frac{1}{y}}=(10^{z})^{\frac{1}{y}}$，即 $b = 10^{\frac{z}{y}}$. 此时 $ab = 10^{\frac{z}{x}}× 10^{\frac{z}{y}}=10^{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}}=10^{z× (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})}$. 因为 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$，所以 $ab = 10$. 因为 $a$，$b$ 是正整数，$2× 5 = 1× 10 = 10$，所以 $a = 1$，$b = 10$ 或 $a = 10$，$b = 1$ 或 $a = 2$，$b = 5$ 或 $a = 5$，$b = 2$，所以 $2a + b = 2 + 10 = 12$ 或 $2a + b = 20 + 1 = 21$ 或 $2a + b = 4 + 5 = 9$ 或 $2a + b = 10 + 2 = 12$，故答案为 12 或 21 或 9.

9 [2025 安徽蚌埠质检]计算：
（1）$ -1^{2022} + | -3 | + (π - 2022)^{0} - (-\frac{1}{2})^{-3} $。
（2）$ -(x - y) · (y - x)^{2} · (y - x)^{3} $。

9. 【解】(1) $-1^{2022}+\vert -3\vert + (π - 2022)^{0}-(-\frac{1}{2})^{-3}=-1 + 3 + 1 - (-2)^{3}=-1 + 3 + 1 + 8 = 11$.
(2) $-(x - y)· (y - x)^{2}· (y - x)^{3}=(y - x)· (y - x)^{2}· (y - x)^{3}=(y - x)^{6}$.

10 [2024 江苏扬州质检]幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，若 $ (ab)^{m} = a^{m}b^{m} $，则 $ a^{m}b^{m} = (ab)^{m} $（$ m $ 为正整数）。请运用所学知识解答下列问题：
（1）已知 $ 2^{x + 3} · 3^{x + 3} = 36^{x - 2} $，求 $ x $ 的值。
（2）已知 $ 3 × 2^{x + 3} × 4^{x + 3} = 96 $，求 $ x $ 的值。

10. 【解】(1) 因为 $2^{x + 3}· 3^{x + 3}=36^{x - 2}$，所以 $(2× 3)^{x + 3}=(6^{2})^{x - 2}$，即 $6^{x + 3}=6^{2(x - 2)}$，所以 $x + 3 = 2(x - 2)$，解得 $x = 7$.
(2) 因为 $3× 2^{x + 3}× 4^{x + 3}=96$，所以 $2^{x + 3}× 4^{x + 3}=32$，所以 $(2× 4)^{x + 3}=32$，即 $8^{x + 3}=32$，所以 $2^{3(x + 3)}=2^{5}$，所以 $3(x + 3)=5$，解得 $x = -\frac{4}{3}$.

11 [2024 江苏盐城期中]如果 $ x^{n} = y $，那么我们规定 $ [x, y] = n $。例如：因为 $ 3^{2} = 9 $，所以 $ [3, 9] = 2 $。
(1)$ [-3, 81] = $；若 $ [2, y] = 6 $，则 $ y = $。
(2)已知 $ [3, 60] = a $，$ [3, 4] = b $，$ [3, m] = c $，若 $ a - b = c $，则 $ m = $。
(3)已知 $ [4, 28] = x $，$ [7, 28] = y $，令 $ t = \frac{x + y}{2xy} $。
① 求 $ \frac{49^{y}}{64^{x}} $ 的值；
② 求 $ t $ 的值。

11. 【解】(1) 因为 $(-3)^{4}=81$，所以 $[-3,81]=4$. 因为 $[2,y]=6$，所以 $y = 2^{6}=64$. 故答案为 4,64.
(2) 因为 $[3,60]=a$，$[3,4]=b$，$[3,m]=c$，所以 $3^{a}=60$，$3^{b}=4$，$3^{c}=m$，所以 $3^{a}÷ 3^{b}=3^{a - b}=60÷ 4 = 15$. 因为 $a - b = c$，所以 $3^{a - b}=3^{c}=15 = m$. 故答案为 15.
(3) 因为 $[4,28]=x$，$[7,28]=y$，所以 $4^{x}=28$，$7^{y}=28$.
① $\frac{49^{y}}{64^{x}}=\frac{(7^{2})^{y}}{(4^{3})^{x}}=\frac{7^{2y}}{4^{3x}}=\frac{(7^{y})^{2}}{(4^{x})^{3}}=\frac{28^{2}}{28^{3}}=\frac{1}{28}$.
② 因为 $4^{xy}=(4^{x})^{y}=28^{y}$，$4^{x + y}=4^{x}· 4^{y}=28· 4^{y}$，所以 $\frac{4^{xy}}{4^{x + y}}=\frac{28^{y}}{28· 4^{y}}=\frac{1}{28}· \frac{28^{y}}{4^{y}}=\frac{1}{28}· (\frac{28}{4})^{y}=\frac{1}{28}· 7^{y}=\frac{1}{28}× 28 = 1$，所以 $4^{xy}=4^{x + y}$，所以 $xy = x + y$，所以 $t=\frac{x + y}{2xy}=\frac{1}{2}$.