7. 关于x的方程$x^2 + (k^2 - 4)x + k - 1 = 0$的两根互为相反数，则k的值为()

A.2
B.$\pm 2$
C.$-2$
D.$-3$

7. C

【分析】
解题时首先利用“互为相反数的两数之和为0”的性质，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）列出关于k的方程，求出k的初步取值；再代入根的判别式验证，保证方程存在两个实数根，排除不符合条件的k值即可得到正确结果。
【解析】
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，由题意知两根互为相反数，因此$x_1 + x_2 = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中$a=1$，$b=k^2-4$，代入得：
$-\frac{k^2-4}{1}=0$，即$k^2-4=0$，解得$k=2$或$k=-2$。
接下来验证方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$：
当$k=2$时，代入原方程得$x^2+1=0$，此时$\Delta=0^2 -4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，舍去；
当$k=-2$时，代入原方程得$x^2-3=0$，此时$\Delta=0^2 -4×1×(-3)=12＞0$，方程有两个实数根，符合要求。
因此$k=-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是仅依据两根之和为0求出k值就直接选择，忽略了一元二次方程存在两个实根的前提是判别式非负，解题时要注意验证结果的有效性，避免得到无效解。
【难度系数】
0.6

8. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - ax - 2 = 0$的两根，下列结论一定正确的()

A.$x_1 ≠ x_2$
B.$x_1 + x_2 ＞ 0$
C.$x_1 · x_2 ＞ 0$
D.$x_1 ＜ 0, x_2 ＜ 0$

8. A

【分析】
要判断各选项是否正确，可分两步思考：①先利用根的判别式判断方程根的个数，验证选项A；②再利用根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积的表达式，逐一分析B、C、D选项是否一定成立。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - ax - 2 = 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$-a$，常数项为$-2$：
1. 验证选项A：计算根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-2) = a^2 + 8$，因为任何实数的平方非负，即$a^2≥0$，所以$\Delta = a^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，因此方程总有两个不相等的实数根，即$x_1 ≠ x_2$，A一定正确。
2. 验证选项B：根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = a$，由于$a$的取值不确定，可正可负可零，因此$x_1 + x_2 ＞ 0$不一定成立，B错误。
3. 验证选项C：根据根与系数的关系，两根之积$x_1 · x_2 = -2 ＜ 0$，因此C错误。
4. 验证选项D：由$x_1 · x_2 = -2 ＜ 0$可知，$x_1$和$x_2$异号，即一个为正一个为负，因此D错误。
综上，只有A选项一定正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心是掌握根的判别式判断根的个数的方法，以及根与系数关系的应用，注意当方程中存在未知参数时，要判断表达式的符号是否唯一确定，避免主观臆断。
【难度系数】
0.8

9. 已知$m,n$满足$m^2 - 13m = -36, n^2 - 13n = -36$, 则$m - n$的值是.

9. $\pm 5$或0

【分析】首先观察到m、n满足的等式结构完全相同，因此需分两种情况讨论：①当m=n时，可直接得到m-n的值；②当m≠n时，说明m、n是一元二次方程$x^2 -13x +36=0$的两个不相等的实数根，先求解该一元二次方程得到两根，再计算m-n的可能取值，最后综合两种情况得到结果。
【解析】首先将已知等式变形为：$m^2 - 13m + 36 = 0$，$n^2 - 13n + 36 = 0$。
情况1：当$m = n$时，$m - n = 0$；
情况2：当$m ≠ n$时，$m$、$n$是一元二次方程$x^2 - 13x + 36 = 0$的两个不相等的实数根。
对该方程因式分解得：$(x - 4)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 9$。
因此$m$、$n$的取值为4和9：当$m=4$，$n=9$时，$m-n=4-9=-5$；当$m=9$，$n=4$时，$m-n=9-4=5$。
综上，$m-n$的值为$\pm5$或0。
【答案】$\pm 5$或0
【知识点】一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】本题的易错点是忽略$m=n$的情况，仅求出$\pm5$，解题时要注意分析题意，全面考虑所有可能的情况，也可结合韦达定理通过$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$计算，提高解题效率。
【难度系数】0.6

在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中,若方程存在两个实数根,我们可以根据韦达定理得到$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1· x_2=\frac{c}{a}$.反过来,我们也可以根据一元二次方程中根与系数的关系构造出以$x_1,x_2$为根的新的一元二次方程$x^2-(x_1+x_2)x+x_1· x_2=0$.如:构造一个一元二次方程,使它的根分别是方程$x^2-2x-7=0$的2倍.
解:设方程$x^2-2x-7=0$的两根为$x_1,x_2$.则有$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1· x_2=-7.\end{cases}$
设所求的方程为$y^2+py+q=0$,且其两根为$y_1,y_2$,
则根据题意得:$\begin{cases}y_1+y_2=-p=2x_1+2x_2=\_\_\_\_\_\_,\\y_1· y_2=q=2x_1· 2x_2=\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$
于是所求的方程为________. (注:所求方程不唯一)

4 $-28$ $y^2-4y-28=0$(注:所求方程不唯一)

【分析】
这是一道利用韦达定理构造新一元二次方程的题目，解题思路分为三步：①先利用韦达定理求出已知方程的两根之和与两根之积；②根据新根与原根的倍数关系，计算出新方程的两根之和、两根之积；③将求得的新和、新积代入构造一元二次方程的公式，即可得到所求方程。
【解析】
已知原方程$x^2-2x-7=0$的两根为$x_1,x_2$，由韦达定理得$x_1+x_2=2$，$x_1·x_2=-7$。
所求方程的两根$y_1,y_2$分别是原方程两根的2倍，即$y_1=2x_1$，$y_2=2x_2$：
1. 新两根之和：$y_1+y_2=2x_1+2x_2=2(x_1+x_2)=2×2=4$；
2. 新两根之积：$y_1·y_2=2x_1·2x_2=4x_1x_2=4×(-7)=-28$；
3. 构造新方程：根据根与系数的构造规则，以$y_1,y_2$为根的一元二次方程为$y^2-(y_1+y_2)y + y_1·y_2=0$，代入数值可得$y^2-4y-28=0$。
【答案】
4；$-28$；$y^2-4y-28=0$（注：所求方程不唯一）
【知识点】
韦达定理；构造一元二次方程
【点评】
本题考查韦达定理的基础应用，解题核心是找准新旧方程根的对应关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、构造新方程的公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8