1. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）

A.$x^2 + 4 = 0$
B.$4x^2 - 4x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 3 = 0$
D.$x^2 + 2x - 1 = 0$

1. D

【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，核心依据是根的判别式的取值：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时方程没有实数根。解题时只需先确定每个选项方程的$a、b、c$取值，分别计算判别式，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，我们逐个计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2 + 4 = 0$中，$a=1$，$b=0$，$c=4$，$\Delta=0^2 - 4×1×4=-16＜0$，方程无实数根，不符合要求；
B. 方程$4x^2 - 4x + 1 = 0$中，$a=4$，$b=-4$，$c=1$，$\Delta=(-4)^2 - 4×4×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2 + x + 3 = 0$中，$a=1$，$b=1$，$c=3$，$\Delta=1^2 - 4×1×3=-11＜0$，方程无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2 + 2x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-1$，$\Delta=2^2 - 4×1×(-1)=8＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，考查根的判别式的应用，牢记判别式取值和方程根的对应关系，准确计算即可得分。
【难度系数】
0.8

2. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2ax - 3 = 0$有一个根为3，则方程的另一个根是()

A.$-3$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$

2. C

【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用方程根的定义，将已知根x=3代入原方程，先求出参数a的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之积的公式直接计算另一个根，该方法更简便，无需计算参数a。
【解析】
方法1（利用根的定义求解）：
∵x=3是方程$x^2 - 2ax - 3 = 0$的根，将x=3代入方程得：
$3^2 - 2a×3 - 3 = 0$
化简得：$9 - 6a - 3 = 0$，即$6 - 6a = 0$，解得$a=1$。
将a=1代入原方程得：$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即另一个根为-1。
方法2（利用根与系数的关系求解）：
设方程的两个根为$x_1=3$，$x_2$为待求根，
对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），两根之积满足$x_1x_2 = \frac{C}{A}$，
本题中$A=1$，$C=-3$，代入得：$3× x_2 = \frac{-3}{1} = -3$，
解得$x_2 = -1$，即另一个根为-1。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解法均可得到答案，熟练运用根与系数的关系可大幅提升解题速度，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9

3. 若关于x的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根分别为-2和1，则$n^m$的值是()

A.-8
B.8
C.16
D.-16

3. C

【分析】
要求$n^m$的值，需先求出参数$m$、$n$的取值。已知一元二次方程的两个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和、两根之积与方程系数的对应关系列等式，分别求解$m$、$n$，最后代入计算乘方即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + mx + n = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=m$，常数项$c=n$，方程的两个根为$x_1=-2$，$x_2=1$。
根据韦达定理：
两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，代入数值可得：
$-2 + 1 = -\frac{m}{2}$
化简得$-1 = -\frac{m}{2}$，解得$m=2$。
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，代入数值可得：
$-2 × 1 = \frac{n}{2}$
化简得$-2 = \frac{n}{2}$，解得$n=-4$。
将$m=2$、$n=-4$代入$n^m$得：
$n^m = (-4)^2 = 16$
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题是一元二次方程韦达定理的基础应用题型，解题核心是准确记忆两根和、积与方程系数的对应关系，计算过程中需注意符号问题，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8

4. 已知关于x的一元二次方程$4x^2 - 4x - m = 0$有两个相等的实数根，则m的值是.

4. -1

【分析】
已知一元二次方程有两个相等的实数根，可联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。解题时先确定方程对应二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入Δ=b²-4ac=0得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
已知方程$4x^2 - 4x - m = 0$有两个相等的实数根，因此$\Delta = 0$。
该方程中$a=4$，$b=-4$，$c=-m$，代入判别式可得：
$\begin{aligned}(-4)^2 - 4×4×(-m) &= 0 \\16 + 16m &= 0 \\16m &= -16 \\m &= -1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心考查判别式取值和方程根的个数的对应关系，属于基础考点，熟练掌握判别式三种取值对应的根的情况即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 若$x_1,x_2$是方程$3x^2+2x-1=0$的两个根，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值是.

5. 2

【分析】
要求两个根的倒数和$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，首先可以先对这个代数式进行通分变形，转化为用两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$表示的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从方程的系数求出两根之和、两根之积，最后代入变形后的式子计算即可，不需要解方程求出具体的根，计算更简便。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$3x^2+2x-1=0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据韦达定理可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{3}$
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-\frac{2}{3}$，$x_1x_2=-\frac{1}{3}$代入上式：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}}=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 韦达定理
2. 分式通分化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题关键是先对所求代数式进行合理变形，再代入韦达定理的结论计算，避免了解方程的繁琐步骤，考查学生对基础公式的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.8

6. 已知关于$x$的方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$。
（1）求实数$k$的取值范围。
（2）若满足$x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2$，求实数$k$的值。

6. (1) $\because$ 方程有两个解 , $\therefore \Delta=(2k-1)^2-4(k^2-1)≥ 0$, 解得 : $k≤ \frac{5}{4}$.
(2) $\because x_1^2+x_2^2=16+x_1x_2, \therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16+x_1x_2$, 化简得 : $k^2-4k-12=0$, 解得 : $k_1=-2, k_2=6$(舍).

【分析】
（1）要确定一元二次方程中参数$k$的取值范围，已知方程有两个实数根，根据根的判别式的性质：当$\Delta≥0$时，一元二次方程有两个实数根，因此先找出方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）已知等式包含两根的平方和与乘积，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再结合根与系数的关系，把$x_1+x_2$、$x_1x_2$用含$k$的代数式表示，代入等式得到关于$k$的一元二次方程，解方程求出$k$的解后，结合第（1）问得到的$k$的取值范围，舍去不符合条件的解，即可得到最终的$k$值。
【解析】
（1）$\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (2k-1)^2 - 4×1×(k^2-1) ≥ 0$，
展开计算得：$4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 4 ≥ 0$，
化简得：$-4k + 5 ≥ 0$，
解得：$k ≤ \frac{5}{4}$。
（2）根据根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -(2k-1) = 1 - 2k$，$x_1x_2 = k^2 - 1$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2$，
将$x_1^2 + x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入等式得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 + x_1x_2$，
移项整理得：$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 - 16 = 0$，
把$x_1+x_2=1-2k$，$x_1x_2=k^2-1$代入上式：
$(1-2k)^2 - 3(k^2 - 1) - 16 = 0$，
展开计算得：$1 - 4k + 4k^2 - 3k^2 + 3 - 16 = 0$，
合并同类项得：$k^2 - 4k - 12 = 0$，
因式分解得：$(k-6)(k+2)=0$，
解得：$k_1=-2$，$k_2=6$，
$\because$ 由（1）知$k ≤ \frac{5}{4}$，$6 ＞ \frac{5}{4}$不符合条件，故舍去$k=6$，
$\therefore$ 实数$k$的值为$-2$。
【答案】
（1）$k ≤ \frac{5}{4}$；（2）$k=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的相关知识的基础综合题，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义和根与系数关系的应用，需要注意求解出参数的值后，要结合根的存在条件对参数进行验证取舍，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7