【尝试解决】
构造一个一元二次方程,使它的根分别是方程$3x^2 + 2x - 6 = 0$各个根的相反数.

所求方程为$3y^2-2y-6=0$(注:所求方程不唯一)

【分析】
要构造根为原方程根的相反数的一元二次方程，我们可以利用韦达定理简化计算，无需直接求解原方程的根：首先设原方程的两根为$x_1$、$x_2$，先通过韦达定理求出原方程的两根之和与两根之积；再根据题意得到新方程的两根和原方程两根的关系（互为相反数），进而求出新方程的两根之和与两根之积；最后利用韦达定理的逆用，根据新的两根和、两根积写出对应的一元二次方程即可。
【解析】
解：设方程$3x^2 + 2x - 6 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = \frac{-6}{3} = -2$
设所求一元二次方程的两根为$y_1$、$y_2$，由题意得$y_1 = -x_1$，$y_2 = -x_2$，则：
$y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$
$y_1y_2 = (-x_1)·(-x_2) = x_1x_2 = -2$
根据韦达定理逆用，若一元二次方程二次项系数为1，则方程为$y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$，代入得：
$y^2 - \frac{2}{3}y - 2 = 0$
两边同乘3消去分母，得$3y^2 - 2y - 6 = 0$（若乘以其他非零常数可得其他形式的同解方程，故答案不唯一）
【答案】
所求方程为$3y^2-2y-6=0$(注:所求方程不唯一)
【知识点】
韦达定理，一元二次方程构造，相反数运算
【点评】
本题考查利用韦达定理构造新方程的能力，无需直接求解原方程的根即可简化运算，解题核心是明确新老方程根的对应关系，结合韦达定理逆推方程即可，需注意一元二次方程同乘非零常数仍为符合要求的方程，因此答案不唯一。
【难度系数】
0.7