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9. 如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F. 试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论. 
答案
9. 四边形ABFC是平行四边形. 证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ CFE.$ $\because E$是$BC$的中点 , $\therefore BE=CE.$ $\therefore △ ABE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$ 又$\because BE=CE,$ $\therefore$ 四边形$ABFC$是平行四边形.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导即可：首先由AB//CD可得到一组内错角相等；再结合E是BC中点得到相等的边，搭配对顶角相等，可通过AAS判定△ABE和△FCE全等；由全等性质可得AE=FE，此时四边形ABFC的两条对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：先判断四边形ABFC是平行四边形，证明过程如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BAE=∠CFE$，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$，
在$△ ABE$和$△ FCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CFE\\ ∠ AEB=∠ FEC\\ BE=CE\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=FE$，
又$\because BE=CE$，即四边形ABFC的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形$ABFC$是平行四边形。
【答案】
四边形ABFC是平行四边形。证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ CFE.$ $\because E$是$BC$的中点 , $\therefore BE=CE.$ $\therefore △ ABE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$ 又$\because BE=CE,$ $\therefore$ 四边形$ABFC$是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，融合了平行线、全等三角形、平行四边形判定三类知识点，解题核心是通过全等三角形推导得到四边形对角线互相平分的条件，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导即可：首先由AB//CD可得到一组内错角相等；再结合E是BC中点得到相等的边，搭配对顶角相等，可通过AAS判定△ABE和△FCE全等；由全等性质可得AE=FE，此时四边形ABFC的两条对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：先判断四边形ABFC是平行四边形，证明过程如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BAE=∠CFE$，
$\because E$是$BC$的中点，
$\therefore BE=CE$，
在$△ ABE$和$△ FCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ CFE\\ ∠ AEB=∠ FEC\\ BE=CE\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=FE$，
又$\because BE=CE$，即四边形ABFC的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形$ABFC$是平行四边形。
【答案】
四边形ABFC是平行四边形。证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ CFE.$ $\because E$是$BC$的中点 , $\therefore BE=CE.$ $\therefore △ ABE≌ △ FCE,\therefore AE=FE.$ 又$\because BE=CE,$ $\therefore$ 四边形$ABFC$是平行四边形。
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，融合了平行线、全等三角形、平行四边形判定三类知识点，解题核心是通过全等三角形推导得到四边形对角线互相平分的条件，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BC=6 cm,AD=9 cm,P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动.
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
答案
10. （1）设x秒时四边形ABQP是平行四边形,根据题意,得$6-2x=x,\therefore x=2,\therefore 2$秒时四边形$ABQP$为平行四边形. （2）由(1)知,2秒时四边形$ABQP$为平行四边形. 设y秒时四边形$QPDC$为平行四边形. 根据题意,得$2y=9-y,\therefore y=3$,故3秒时四边形$QPDC$为平行四边形. 故2秒或3秒时直线$PQ$将四边形$ABCD$截出一个平行四边形.
解析
【分析】
（1）要判定四边形ABQP为平行四边形，已知$AD// BC$，可得$AP// BQ$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足$AP=BQ$即可。先分别用含时间的代数式表示AP、BQ的长度，再列方程求解。
（2）直线PQ截出平行四边形有两种情况：①是（1）中的平行四边形ABQP；②是平行四边形QPDC，此时$QC// PD$，只需满足$QC=PD$，同理列方程求解，两种情况的时间即为最终结果。
【解析】
（1）设$x$秒时四边形ABQP为平行四边形。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，Q点运动路程$CQ=2x\ \mathrm{cm}$，因此$BQ=(6-2x)\ \mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$AP// BQ$，当$AP=BQ$时，四边形ABQP是平行四边形。
列方程：$x=6-2x$
解得：$x=2$。
（2）分两种情况讨论：
①当四边形ABQP为平行四边形时，由（1）可知此时时间为2秒；
②设$y$秒时四边形QPDC为平行四边形。
由题意得：$CQ=2y\ \mathrm{cm}$，$PD=(9-y)\ \mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$QC// PD$，当$QC=PD$时，四边形QPDC是平行四边形。
列方程：$2y=9-y$
解得：$y=3$。
综上，2秒或3秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。
【答案】
（1）$\boxed{2}$秒；（2）$\boxed{2}$秒或$\boxed{3}$秒
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合动点场景考查平行四边形的判定，解题核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，通过用代数式表示动点对应的线段长度，找到等量关系列方程求解，第二问要注意分类讨论两种平行四边形的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）要判定四边形ABQP为平行四边形，已知$AD// BC$，可得$AP// BQ$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，只需满足$AP=BQ$即可。先分别用含时间的代数式表示AP、BQ的长度，再列方程求解。
（2）直线PQ截出平行四边形有两种情况：①是（1）中的平行四边形ABQP；②是平行四边形QPDC，此时$QC// PD$，只需满足$QC=PD$，同理列方程求解，两种情况的时间即为最终结果。
【解析】
（1）设$x$秒时四边形ABQP为平行四边形。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，Q点运动路程$CQ=2x\ \mathrm{cm}$，因此$BQ=(6-2x)\ \mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$AP// BQ$，当$AP=BQ$时，四边形ABQP是平行四边形。
列方程：$x=6-2x$
解得：$x=2$。
（2）分两种情况讨论：
①当四边形ABQP为平行四边形时，由（1）可知此时时间为2秒；
②设$y$秒时四边形QPDC为平行四边形。
由题意得：$CQ=2y\ \mathrm{cm}$，$PD=(9-y)\ \mathrm{cm}$。
∵$AD// BC$，
∴$QC// PD$，当$QC=PD$时，四边形QPDC是平行四边形。
列方程：$2y=9-y$
解得：$y=3$。
综上，2秒或3秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。
【答案】
（1）$\boxed{2}$秒；（2）$\boxed{2}$秒或$\boxed{3}$秒
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合动点场景考查平行四边形的判定，解题核心是熟练掌握平行四边形的判定定理，通过用代数式表示动点对应的线段长度，找到等量关系列方程求解，第二问要注意分类讨论两种平行四边形的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
