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4. 四边形ABCD中，$∠ A + ∠ B = 180°$，添加一个条件
$AB// CD$(答案不唯一)
，使四边形ABCD为平行四边形。答案
4. $AB// CD$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先从已知条件∠A+∠B=180°出发，根据平行线的判定定理可推出AD//BC，此时四边形已经有一组对边平行。结合平行四边形的判定定理，我们只需要补充能推出另一组对边平行，或者已平行的这组对边相等的条件，即可使四边形ABCD成为平行四边形，答案不唯一。
【解析】
已知在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD//BC。
根据平行四边形的判定规则，若添加条件AB//CD，则四边形ABCD两组对边分别平行，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定要求（也可添加AD=BC等条件，满足一组对边平行且相等即可判定为平行四边形），因此可填的条件不唯一。
【答案】
AB//CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的判定
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对平行四边形判定定理的理解与灵活运用能力，解题的关键是先从已知角度关系推导出已有的对边平行关系，再结合判定定理补充符合要求的条件即可。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件∠A+∠B=180°出发，根据平行线的判定定理可推出AD//BC，此时四边形已经有一组对边平行。结合平行四边形的判定定理，我们只需要补充能推出另一组对边平行，或者已平行的这组对边相等的条件，即可使四边形ABCD成为平行四边形，答案不唯一。
【解析】
已知在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD//BC。
根据平行四边形的判定规则，若添加条件AB//CD，则四边形ABCD两组对边分别平行，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定要求（也可添加AD=BC等条件，满足一组对边平行且相等即可判定为平行四边形），因此可填的条件不唯一。
【答案】
AB//CD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的判定
【点评】
本题为开放性基础题，重点考查对平行四边形判定定理的理解与灵活运用能力，解题的关键是先从已知角度关系推导出已有的对边平行关系，再结合判定定理补充符合要求的条件即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1,0),C(0,2),则以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为
(4,2)或(-4,2)或(2,-2)
。答案
5. (4,2)或(-4,2)或(2,-2)
解析
【分析】
求平行四边形第四个顶点的坐标，需结合平行四边形对角线互相平分的性质，分三类情况讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线，利用两条对角线的中点坐标相同，列等式计算D点坐标，避免漏解。
【解析】
已知A(3,0)，B(-1,0)，C(0,2)，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与CD的中点重合：
AB的中点坐标为$(\frac{3+(-1)}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$，设D(x,y)，则CD的中点为$(\frac{x+0}{2},\frac{y+2}{2})$，可得：
$\frac{x}{2}=1$，解得$x=2$；$\frac{y+2}{2}=0$，解得$y=-2$，即$D(2,-2)$。
2. 当AC为平行四边形的对角线时，AC与BD的中点重合：
AC的中点坐标为$(\frac{3+0}{2},\frac{0+2}{2})=(1.5,1)$，设D(x,y)，则BD的中点为$(\frac{x-1}{2},\frac{y+0}{2})$，可得：
$\frac{x-1}{2}=1.5$，解得$x=4$；$\frac{y}{2}=1$，解得$y=2$，即$D(4,2)$。
3. 当BC为平行四边形的对角线时，BC与AD的中点重合：
BC的中点坐标为$(\frac{-1+0}{2},\frac{0+2}{2})=(-0.5,1)$，设D(x,y)，则AD的中点为$(\frac{x+3}{2},\frac{y+0}{2})$，可得：
$\frac{x+3}{2}=-0.5$，解得$x=-4$；$\frac{y}{2}=1$，解得$y=2$，即$D(-4,2)$。
综上，第四个顶点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2,-2)。
【答案】
(4,2)或(-4,2)或(2,-2)
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标计算，分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系与平行四边形性质结合的典型题，解题的核心是对对角线的情况进行分类讨论，避免因漏算情况导致答案不全，掌握对角线中点重合的规律可快速求解未知点坐标。
【难度系数】
0.6
求平行四边形第四个顶点的坐标，需结合平行四边形对角线互相平分的性质，分三类情况讨论：分别以AB、AC、BC作为平行四边形的对角线，利用两条对角线的中点坐标相同，列等式计算D点坐标，避免漏解。
【解析】
已知A(3,0)，B(-1,0)，C(0,2)，分三种情况讨论：
1. 当AB为平行四边形的对角线时，AB与CD的中点重合：
AB的中点坐标为$(\frac{3+(-1)}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$，设D(x,y)，则CD的中点为$(\frac{x+0}{2},\frac{y+2}{2})$，可得：
$\frac{x}{2}=1$，解得$x=2$；$\frac{y+2}{2}=0$，解得$y=-2$，即$D(2,-2)$。
2. 当AC为平行四边形的对角线时，AC与BD的中点重合：
AC的中点坐标为$(\frac{3+0}{2},\frac{0+2}{2})=(1.5,1)$，设D(x,y)，则BD的中点为$(\frac{x-1}{2},\frac{y+0}{2})$，可得：
$\frac{x-1}{2}=1.5$，解得$x=4$；$\frac{y}{2}=1$，解得$y=2$，即$D(4,2)$。
3. 当BC为平行四边形的对角线时，BC与AD的中点重合：
BC的中点坐标为$(\frac{-1+0}{2},\frac{0+2}{2})=(-0.5,1)$，设D(x,y)，则AD的中点为$(\frac{x+3}{2},\frac{y+0}{2})$，可得：
$\frac{x+3}{2}=-0.5$，解得$x=-4$；$\frac{y}{2}=1$，解得$y=2$，即$D(-4,2)$。
综上，第四个顶点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2,-2)。
【答案】
(4,2)或(-4,2)或(2,-2)
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标计算，分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系与平行四边形性质结合的典型题，解题的核心是对对角线的情况进行分类讨论，避免因漏算情况导致答案不全，掌握对角线中点重合的规律可快速求解未知点坐标。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且$AE=CF$.求证：四边形BEDF是平行四边形.
答案
6. $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AO=CO,BO=DO.\because AE=CF,\therefore EO=FO.\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形BEDF是平行四边形，可采用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理来推导。首先利用平行四边形的性质，已知□ABCD的对角线互相平分，可得AO=CO、BO=DO；再结合已知条件AE=CF，通过线段差的运算可推出EO=FO，此时四边形BEDF的两条对角线互相平分，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AO=CO$，$BO=DO$。
∵ $AE=CF$，
∴ $AO-AE=CO-CF$，即$EO=FO$。
∵ 四边形$BEDF$的对角线BD、EF互相平分，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AO=CO,BO=DO.\because AE=CF,\therefore EO=FO.\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，考查平行四边形性质与判定的综合应用，解题关键是借助原平行四边形的对角线性质，推导待证四边形的对角线互相平分，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明四边形BEDF是平行四边形，可采用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理来推导。首先利用平行四边形的性质，已知□ABCD的对角线互相平分，可得AO=CO、BO=DO；再结合已知条件AE=CF，通过线段差的运算可推出EO=FO，此时四边形BEDF的两条对角线互相平分，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AO=CO$，$BO=DO$。
∵ $AE=CF$，
∴ $AO-AE=CO-CF$，即$EO=FO$。
∵ 四边形$BEDF$的对角线BD、EF互相平分，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【答案】
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AO=CO,BO=DO.\because AE=CF,\therefore EO=FO.\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，考查平行四边形性质与判定的综合应用，解题关键是借助原平行四边形的对角线性质，推导待证四边形的对角线互相平分，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 四边形ABCD中，AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，且满足$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2ac + 2bd$，则这个四边形
是
（填“是”或“不是”）平行四边形。答案
7. 是
解析
【分析】
遇到已知含多个平方项和交叉乘积项的等式求边长关系的问题，首先考虑利用完全平方公式对等式变形。先将等式右边的项全部移到左边，再分组凑出完全平方式，结合平方数的非负性可得到两组对边的等量关系，最后依据平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
对已知等式移项可得：
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd = 0$
将式子分组凑完全平方：
$(a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bd + d^2) = 0$
根据完全平方公式化简得：
$(a - c)^2 + (b - d)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a - c)^2 ≥ 0$，$(b - d)^2 ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足$a - c = 0$且$b - d = 0$
即$a = c$，$b = d$，也就是$AB = CD$，$BC = AD$
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知该四边形是平行四边形。
【答案】
是
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题是代数变形与几何判定的基础综合题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过因式分解得到对边的等量关系，再结合平行四边形的判定定理得出结论。
【难度系数】
0.7
遇到已知含多个平方项和交叉乘积项的等式求边长关系的问题，首先考虑利用完全平方公式对等式变形。先将等式右边的项全部移到左边，再分组凑出完全平方式，结合平方数的非负性可得到两组对边的等量关系，最后依据平行四边形的判定定理即可判断四边形的形状。
【解析】
对已知等式移项可得：
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd = 0$
将式子分组凑完全平方：
$(a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bd + d^2) = 0$
根据完全平方公式化简得：
$(a - c)^2 + (b - d)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a - c)^2 ≥ 0$，$(b - d)^2 ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足$a - c = 0$且$b - d = 0$
即$a = c$，$b = d$，也就是$AB = CD$，$BC = AD$
根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知该四边形是平行四边形。
【答案】
是
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题是代数变形与几何判定的基础综合题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过因式分解得到对边的等量关系，再结合平行四边形的判定定理得出结论。
【难度系数】
0.7
8. 某人在设计装饰地面的图案时，拟以长为22 cm，16 cm，18 cm的三条线段中的两条为对角线，另一条为边，设计不同形状的平行四边形，他可以画出(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个形状不同的平行四边形.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先结合平行四边形对角线互相平分的性质：平行四边形的两条对角线的一半与平行四边形的一边可以构成三角形。因此我们只需要分三种情况讨论：分别以其中两条线段为对角线，第三条为边，验证两条对角线的一半与边长是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），满足的情况即可画出对应的平行四边形。
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，设两条对角线长为$a$、$b$，边长为$c$，则需满足三角形三边关系：$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}＞c$，$|\frac{a}{2}-\frac{b}{2}|＜c$，分三种情况讨论：
1. 以22cm、16cm为对角线，18cm为边：
对角线的一半分别为$22÷2=11\mathrm{cm}$，$16÷2=8\mathrm{cm}$，
因为$11+8=19＞18$，$18-11=7＜8$，满足三边关系，此情况成立；
2. 以22cm、18cm为对角线，16cm为边：
对角线的一半分别为$22÷2=11\mathrm{cm}$，$18÷2=9\mathrm{cm}$，
因为$11+9=20＞16$，$16-11=5＜9$，满足三边关系，此情况成立；
3. 以16cm、18cm为对角线，22cm为边：
对角线的一半分别为$16÷2=8\mathrm{cm}$，$18÷2=9\mathrm{cm}$，
因为$8+9=17＜22$，不满足三边关系，此情况不成立。
综上，共有2种符合条件的情况。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将平行四边形的作图问题转化为三角形三边关系的判定问题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意不重不漏地列举所有可能的情况，再结合性质验证即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先结合平行四边形对角线互相平分的性质：平行四边形的两条对角线的一半与平行四边形的一边可以构成三角形。因此我们只需要分三种情况讨论：分别以其中两条线段为对角线，第三条为边，验证两条对角线的一半与边长是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），满足的情况即可画出对应的平行四边形。
【解析】
根据平行四边形对角线互相平分的性质，设两条对角线长为$a$、$b$，边长为$c$，则需满足三角形三边关系：$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}＞c$，$|\frac{a}{2}-\frac{b}{2}|＜c$，分三种情况讨论：
1. 以22cm、16cm为对角线，18cm为边：
对角线的一半分别为$22÷2=11\mathrm{cm}$，$16÷2=8\mathrm{cm}$，
因为$11+8=19＞18$，$18-11=7＜8$，满足三边关系，此情况成立；
2. 以22cm、18cm为对角线，16cm为边：
对角线的一半分别为$22÷2=11\mathrm{cm}$，$18÷2=9\mathrm{cm}$，
因为$11+9=20＞16$，$16-11=5＜9$，满足三边关系，此情况成立；
3. 以16cm、18cm为对角线，22cm为边：
对角线的一半分别为$16÷2=8\mathrm{cm}$，$18÷2=9\mathrm{cm}$，
因为$8+9=17＜22$，不满足三边关系，此情况不成立。
综上，共有2种符合条件的情况。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将平行四边形的作图问题转化为三角形三边关系的判定问题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意不重不漏地列举所有可能的情况，再结合性质验证即可。
【难度系数】
0.7
