1. 求根公式的概念
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$在$b^2-4ac≥0$的条件下，它的根为$x=$。
这个式子叫做一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式。

1. $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的相关知识，可通过配方法推导的思路求解：我们推导求根公式时，先将一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方式的形式，当$b^2-4ac≥0$时，对等式两边开平方，最后整理即可得到方程的根的表达式，也就是求根公式。
【解析】
推导过程如下：
1. 对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两边同时除以$a$，得：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
2. 移项，得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$
3. 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$
左边整理为完全平方式，右边通分计算，得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
4. 当$b^2-4ac≥0$时，右边为非负数，对等式两边开平方，得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
5. 移项整理，得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
该式就是一元二次方程的求根公式。
【答案】
$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 配方法解一元二次方程
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对求根公式的记忆和推导过程的理解，掌握配方法推导求根公式的逻辑，能帮助我们更扎实地掌握公式，是后续用公式法解一元二次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9

2. 公式法的概念
运用一元二次方程的直接求
每一个一元二次方程的根，这种解一元二次
方程的方法叫作公式法。

2. 求根公式

【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，考查公式法的定义。解题时只需要回忆教材中关于公式法的概念描述即可：公式法是一元二次方程的常用解法之一，核心是直接利用预先推导得到的通用求根表达式来求解方程的根，因此空缺处对应的就是这个通用的求根表达式的名称。
【解析】
根据公式法的标准定义：我们先把一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，推导得到通用的求根公式后，直接运用这个求根公式求解一元二次方程根的方法，就叫做公式法，因此此处应填入“求根公式”。
【答案】
求根公式
【知识点】
公式法的概念；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要熟悉相关核心概念就能快速作答，学习过程中要注意夯实基础，重视基础定义的记忆和理解。
【难度系数】
0.9

【例1】用公式法解方程 $3x^2 + 4 = 12x$，下列求根公式正确的是（）

规律总结 应用求根公式时，应先将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$。

【例1】 D

【分析】
要用公式法解一元二次方程，首先需将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a、b、c$的取值，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$对比选项即可。解题时要格外注意系数的符号，避免符号出错。
【解析】
第一步：将原方程化为一元二次方程的一般形式：
对$3x^2 + 4 = 12x$移项，得$3x^2 -12x + 4 = 0$。
第二步：确定系数$a、b、c$的值：
可得$a=3$，$b=-12$，$c=4$。
第三步：代入求根公式：
将$a、b、c$代入$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2 - 4×3×4}}{2×3}$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础应用，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定系数，或者代入公式时忽略$b$的符号，解题时牢记先整理为一般形式、准确对应系数符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

【变式】用公式法解一个一元二次方程的根为 ，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）

A.$3,5,-1$
B.$-3,-5,1$
C.$3,-5,1$
D.$-3,5,-1$

【变式】 A

【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需要将题目给出的求根表达式与标准求根公式逐项对应，先通过分母确定二次项系数$a$，再通过分子的一次项确定一次项系数$b$，最后通过根号内的判别式确定常数项$c$，再核对选项即可。
【解析】
一元二次方程的标准求根公式为：
$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (a≠0)$
将题目给出的表达式$x=\frac{-5±\sqrt{5^2+4×3×1}}{2×3}$与公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 对比分子的一次项：$-b=-5$，可得$b=5$；
3. 对比根号内的判别式：$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，将$a=3,b=5$代入得：
$5^2 - 4×3×c = 5^2 + 4×3×1$
化简得：$-12c=12$，解得$c=-1$。
因此二次项系数、一次项系数、常数项分别为$3,5,-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，解题关键是熟记求根公式中各部分与方程系数的对应关系，注意判别式的符号不要混淆。
【难度系数】
0.7

【例2】用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 - 3x - 1 = 0$；
(2)$2x(x + \sqrt{2}) + 1 = 0$。

【例2】 解:(1)$2x^2 - 3x - 1 = 0$,
$\because a=2,b=-3,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$.
(2)原方程可化为 $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$,
$\therefore a=2,b=2\sqrt{2},c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×2×1=0$,
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore x_1=x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；②确定系数$a、b、c$的值，注意要带对应符号；③计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；④若方程有实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出根。第(1)题已经是一般形式，可直接确定系数计算；第(2)题需要先去括号整理为一般形式，再按步骤计算。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，
$\because a=2,b=-3,c=-1$，
$\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$。
(2) 原方程展开整理可得 $2x^2 + 2\sqrt{2}x + 1 = 0$，
$\therefore a=2,b=2\sqrt{2},c=1$，
$\therefore b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×2×1=0$，
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{0}}{2×2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$；
(2) $x_1=x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，核心是牢记解题步骤，尤其要注意确定$a、b、c$时不要遗漏符号，计算判别式和代入求根公式时要避免运算错误，若原方程不是一般形式需先整理再计算。
【难度系数】
0.8

【变式】用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 + 4x - 1 = 0$；
(2)$3x^2 + 2x - 5 = 0$。

【变式】 解:(1)$\because a=2,b=4,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=4^2-4×2×(-1)=24＞0$,
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$.
(2)$\because a=3,b=2,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64＞0$,
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3}=\frac{-2\pm8}{6}$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程需按固定步骤操作：首先确认方程为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，第一步找准系数$a、b、c$的取值，注意要带上系数本身的符号；第二步计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程是否有实数根：若$\Delta＜0$则无实根，若$\Delta≥0$则有两个实数根；第三步若有实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简得到最终的根即可，两个小题均按此步骤求解。
【解析】
(1) 对于方程$2x^2 + 4x - 1 = 0$
$\because a=2,b=4,c=-1$,
$\therefore b^2-4ac=4^2-4×2×(-1)=24＞0$,
$\therefore x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{6}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$.
(2) 对于方程$3x^2 + 2x - 5 = 0$
$\because a=3,b=2,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64＞0$,
$\therefore x=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2×3}=\frac{-2\pm8}{6}$,
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$.
【答案】
(1)$x_1=\frac{-2+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$；
(2)$x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法求解步骤的掌握，解题时需注意不要写错系数的符号，先通过判别式判断根的情况再代入求根公式，计算时要将最终结果化到最简形式。
【难度系数】
0.8

1. (2026广州期中)用公式法解一元二次方程$3x^2 - 2x + 3 = 0$时，首先要确定$a,b,c$的值，下列叙述正确的是（）

A.$a=3,b=2,c=3$
B.$a=-3,b=2,c=3$
C.$a=3,b=2,c=-3$
D.$a=3,b=-2,c=3$

1. D

【分析】
解题时首先要回忆一元二次方程的一般形式，明确a、b、c分别对应一般形式中的二次项系数、一次项系数、常数项，需注意系数的取值要带上该项前面的正负号，再将题目给出的方程与一般形式逐一对应，即可得到正确的a、b、c取值，最后匹配选项得出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将方程$3x^2 - 2x + 3 = 0$与一般形式对比：
二次项为$3x^2$，因此$a=3$；
一次项为$-2x$，因此$b=-2$；
常数项为$3$，因此$c=3$。
对应选项可知D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，解题的易错点是容易忽略一次项前面的负号，只要注意系数要包含项前的符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.9