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3. 小刚用配方法解关于 $ x $ 的方程 $ 2x^2 - bx + a = 0 $，得 $ x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} $，则 $ b $ 等于（
A.$-6$
B.$-3$
C.$6$
D.$3$
C
）A.$-6$
B.$-3$
C.$6$
D.$3$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时可以利用配方法的逆推思路：首先，配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，会先将二次项系数化为1，因此题目给出的$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$是二次项系数化为1后配方得到的结果。我们先把这个式子还原为二次项系数为1的一元二次方程，再和原方程除以2得到的式子对比一次项系数，即可求出$b$的值。
【解析】
已知配方法得到的结果为$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$，将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = (\pm \frac{\sqrt{15}}{2})^2$
展开并整理：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$
移项得二次项系数为1的一元二次方程：
$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$
原方程$2x^2 - bx + a = 0$两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - \frac{b}{2}x + \frac{a}{2} = 0$
对比两个二次项系数为1的方程的一次项系数，可得：
$-\frac{b}{2} = -3$
解得：$b = 6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.一元二次方程系数对应
【点评】
本题考查配方法的逆向应用，解题核心是明确配方法过程中二次项系数化为1的步骤，能将配方后的结果还原为原方程，再通过系数对应求解，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用配方法的逆推思路：首先，配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，会先将二次项系数化为1，因此题目给出的$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$是二次项系数化为1后配方得到的结果。我们先把这个式子还原为二次项系数为1的一元二次方程，再和原方程除以2得到的式子对比一次项系数，即可求出$b$的值。
【解析】
已知配方法得到的结果为$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$，将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = (\pm \frac{\sqrt{15}}{2})^2$
展开并整理：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$
移项得二次项系数为1的一元二次方程：
$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$
原方程$2x^2 - bx + a = 0$两边同时除以2，将二次项系数化为1，得：
$x^2 - \frac{b}{2}x + \frac{a}{2} = 0$
对比两个二次项系数为1的方程的一次项系数，可得：
$-\frac{b}{2} = -3$
解得：$b = 6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.一元二次方程系数对应
【点评】
本题考查配方法的逆向应用，解题核心是明确配方法过程中二次项系数化为1的步骤，能将配方后的结果还原为原方程，再通过系数对应求解，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 一元二次方程 $2x^2 -5=4x$ 的根为
$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
.答案
4. $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题第一步要先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式，选择公式法求解最简便：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的存在情况，若$\Delta≥0$就代入求根公式计算，最后把结果化简为最简形式即可。
【解析】
解：先对原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -4x -5=0$
可得$a=2$，$b=-4$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是先把方程化为一般形式再代入公式计算，注意最终计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，解题第一步要先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式，选择公式法求解最简便：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的存在情况，若$\Delta≥0$就代入求根公式计算，最后把结果化简为最简形式即可。
【解析】
解：先对原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -4x -5=0$
可得$a=2$，$b=-4$，$c=-5$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-5)=16+40=56＞0$，说明方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是先把方程化为一般形式再代入公式计算，注意最终计算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
5. 用配方法解下列方程：
(1)$4x^2 -8x +1=0$；
(2)$3x^2 +8x -3=0$。
(1)$4x^2 -8x +1=0$；
(2)$3x^2 +8x -3=0$。
答案
5. 解:(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
(2)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$.
(2)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式再开方求解，通用解题步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④若等号右侧为非负数，直接开平方求出方程的解。本题两个小题均按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -8x +1=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - 2x + \frac{1}{4}=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = -\frac{1}{4}$
第三步：配方，一次项系数为$-2$，一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1：
$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$
整理得：$(x-1)^2=\frac{3}{4}$
第四步：开平方求解：
$x-1=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
即$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 +8x -3=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + \frac{8}{3}x -1=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$
第三步：配方，一次项系数为$\frac{8}{3}$，一半的平方为$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，方程两边同时加$\frac{16}{9}$：
$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
整理得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
第四步：开平方求解：
$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
即$x=-\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}$，计算得两个解。
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；(2)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时注意一次项系数的符号，配方时要保证等号两边同时加上相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式再开方求解，通用解题步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④若等号右侧为非负数，直接开平方求出方程的解。本题两个小题均按上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -8x +1=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - 2x + \frac{1}{4}=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = -\frac{1}{4}$
第三步：配方，一次项系数为$-2$，一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1：
$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$
整理得：$(x-1)^2=\frac{3}{4}$
第四步：开平方求解：
$x-1=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
即$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 +8x -3=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + \frac{8}{3}x -1=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$
第三步：配方，一次项系数为$\frac{8}{3}$，一半的平方为$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，方程两边同时加$\frac{16}{9}$：
$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
整理得：$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
第四步：开平方求解：
$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
即$x=-\frac{4}{3}\pm\frac{5}{3}$，计算得两个解。
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$；(2)$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题关键是熟练掌握配方法的固定步骤，计算时注意一次项系数的符号，配方时要保证等号两边同时加上相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6. (2026上海期中)解方程 $2x^2 -3x +\frac{1}{2}=0$,
乐乐的解答过程如下:
解:①移项,得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$,
②将二次项系数化为1,得 $x^2 -\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$,
③配方,得 $(x-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}$,
④两边开平方,得 $x-\frac{3}{2}=\sqrt{2}$ 或 $x-\frac{3}{2}=-\sqrt{2}$,
⑤∴$x_1=\sqrt{2}+\frac{3}{2},x_2=-\sqrt{2}+\frac{3}{2}$.
(1)乐乐的解答过程从第
(2)请写出正确的完整的解答过程.
乐乐的解答过程如下:
解:①移项,得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$,
②将二次项系数化为1,得 $x^2 -\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$,
③配方,得 $(x-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}$,
④两边开平方,得 $x-\frac{3}{2}=\sqrt{2}$ 或 $x-\frac{3}{2}=-\sqrt{2}$,
⑤∴$x_1=\sqrt{2}+\frac{3}{2},x_2=-\sqrt{2}+\frac{3}{2}$.
(1)乐乐的解答过程从第
③
步开始出错的;(2)请写出正确的完整的解答过程.
答案
6. (1)③
(2)解:$2x^2 -3x +\frac{1}{2}=0$,
移项,得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$,
将二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$,
配方,得 $x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$,
即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$,
两边开平方,得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$.
(2)解:$2x^2 -3x +\frac{1}{2}=0$,
移项,得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$,
将二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$,
配方,得 $x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$,
即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$,
两边开平方,得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$.
解析
【分析】
（1）判断错误步骤需结合配方法的规则：配方时要在方程两边同时加一次项系数一半的平方。观察乐乐的步骤，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，平方为$\frac{9}{16}$，但乐乐步骤③错误地添加了$(\frac{3}{2})^2$，因此从第③步开始出错。
（2）正确求解按照配方法标准步骤推进：先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，然后正确配方把左侧化为完全平方式，最后开平方计算方程的解即可。
【解析】
(1) 步骤③中乐乐配方时错误构造完全平方式，没有使用一次项系数一半的平方计算常数项，因此从第③步开始出错。
(2) 正确解答过程：
移项，得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$，
将二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$，
配方，两边同时加$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，得 $x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$，
即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$，
两边开平方，得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 方程的解为$\boxed{x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}}$，完整解答过程见上述解析。
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查配方法解一元二次方程的步骤，易错点集中在配方环节常数项的计算，牢记“配方时需添加一次项系数一半的平方”的规则，熟练掌握操作步骤就能避免同类错误。
【难度系数】
0.8
（1）判断错误步骤需结合配方法的规则：配方时要在方程两边同时加一次项系数一半的平方。观察乐乐的步骤，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，平方为$\frac{9}{16}$，但乐乐步骤③错误地添加了$(\frac{3}{2})^2$，因此从第③步开始出错。
（2）正确求解按照配方法标准步骤推进：先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，然后正确配方把左侧化为完全平方式，最后开平方计算方程的解即可。
【解析】
(1) 步骤③中乐乐配方时错误构造完全平方式，没有使用一次项系数一半的平方计算常数项，因此从第③步开始出错。
(2) 正确解答过程：
移项，得 $2x^2 -3x=-\frac{1}{2}$，
将二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$，
配方，两边同时加$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，得 $x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$，
即 $(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$，
两边开平方，得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
即 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 方程的解为$\boxed{x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}}$，完整解答过程见上述解析。
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查配方法解一元二次方程的步骤，易错点集中在配方环节常数项的计算，牢记“配方时需添加一次项系数一半的平方”的规则，熟练掌握操作步骤就能避免同类错误。
【难度系数】
0.8
7.若方程$2x^2 +8x -32=0$能配方成$(x+p)^2 + q=0$的形式，则直线$y=px+q$不经过的象限是第
二
象限.答案
7. 二
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先对给定的一元二次方程进行配方，整理成$(x+p)^2 + q=0$的形式，对应求出$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入一次函数解析式，根据一次函数的斜率$k$和截距$b$的符号判断直线经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
1. 对一元二次方程$2x^2 +8x -32=0$配方：
先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 +4x -16=0$
移项得$x^2 +4x =16$，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 =16 +4$
整理得$(x+2)^2 =20$，调整为$(x+p)^2 + q=0$的形式为：
$(x+2)^2 + (-20)=0$
因此可得$p=2$，$q=-20$。
2. 将$p=2$，$q=-20$代入直线解析式，得$y=2x-20$：
一次函数$y=kx+b$中，$k=2＞0$，说明直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；$b=-20＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此直线还经过第四象限。
综上，直线$y=2x-20$经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是准确配方求出$p$、$q$的值，再根据一次函数的系数符号判断图象经过的象限，掌握基础知识点即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先对给定的一元二次方程进行配方，整理成$(x+p)^2 + q=0$的形式，对应求出$p$、$q$的值；第二步将$p$、$q$代入一次函数解析式，根据一次函数的斜率$k$和截距$b$的符号判断直线经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
1. 对一元二次方程$2x^2 +8x -32=0$配方：
先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 +4x -16=0$
移项得$x^2 +4x =16$，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 =16 +4$
整理得$(x+2)^2 =20$，调整为$(x+p)^2 + q=0$的形式为：
$(x+2)^2 + (-20)=0$
因此可得$p=2$，$q=-20$。
2. 将$p=2$，$q=-20$代入直线解析式，得$y=2x-20$：
一次函数$y=kx+b$中，$k=2＞0$，说明直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；$b=-20＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此直线还经过第四象限。
综上，直线$y=2x-20$经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数图象性质结合考查，解题的核心是准确配方求出$p$、$q$的值，再根据一次函数的系数符号判断图象经过的象限，掌握基础知识点即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 +1=0$.
(1)若该方程的一个根是1,求$a$的值;
(2)在(1)的条件下,用配方法解该方程.
(1)若该方程的一个根是1,求$a$的值;
(2)在(1)的条件下,用配方法解该方程.
答案
8. 解:(1)将 $x=1$ 代入原方程,得$(a-1)-2+a^2+1=0$.
整理,得 $a^2+a-2=0$.
解得 $a_1=1,a_2=-2$.
$\because a-1≠0$,
$\therefore a≠1$.
$\therefore a$ 的值为 $-2$.
(2)将 $a=-2$ 代入方程,得 $-3x^2-2x+5=0$.
即 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$.
配方,得 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$.
根据平方根的意义,得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$.
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$.
整理,得 $a^2+a-2=0$.
解得 $a_1=1,a_2=-2$.
$\because a-1≠0$,
$\therefore a≠1$.
$\therefore a$ 的值为 $-2$.
(2)将 $a=-2$ 代入方程,得 $-3x^2-2x+5=0$.
即 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$.
配方,得 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$.
根据平方根的意义,得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$.
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
（1）第一问可根据方程根的定义求解：方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=1代入原方程可得到关于a的方程，求解出a的取值后，结合一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合要求的a值即可得到结果。
（2）第二问先将（1）中求得的a值代入原方程得到具体的一元二次方程，再按配方法的标准步骤求解：先将二次项系数化为1，再移项把常数项移到方程右侧，之后方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式，最后开平方转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 将 $x=1$ 代入原方程，得$(a-1)-2+a^2+1=0$
整理，得 $a^2+a-2=0$
解得 $a_1=1,a_2=-2$
∵ 原方程为一元二次方程，二次项系数不为0
$\therefore a-1≠0$，即$a≠1$
$\therefore a$ 的值为 $-2$
(2) 将 $a=-2$ 代入方程，得 $-3x^2-2x+5=0$
移项并将二次项系数化为1，得 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{3})^2$，得 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$
根据平方根的意义，得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $a=-2$；(2) $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的定义；配方法解一元二次方程
【点评】
本题为基础常考题，重点考查一元二次方程的相关概念和配方法的操作步骤，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握配方法的配方逻辑是解第二问的核心。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可根据方程根的定义求解：方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=1代入原方程可得到关于a的方程，求解出a的取值后，结合一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，排除不符合要求的a值即可得到结果。
（2）第二问先将（1）中求得的a值代入原方程得到具体的一元二次方程，再按配方法的标准步骤求解：先将二次项系数化为1，再移项把常数项移到方程右侧，之后方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式，最后开平方转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 将 $x=1$ 代入原方程，得$(a-1)-2+a^2+1=0$
整理，得 $a^2+a-2=0$
解得 $a_1=1,a_2=-2$
∵ 原方程为一元二次方程，二次项系数不为0
$\therefore a-1≠0$，即$a≠1$
$\therefore a$ 的值为 $-2$
(2) 将 $a=-2$ 代入方程，得 $-3x^2-2x+5=0$
移项并将二次项系数化为1，得 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$
配方，两边同时加$(\frac{1}{3})^2$，得 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$
根据平方根的意义，得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【答案】
(1) $a=-2$；(2) $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程的定义；配方法解一元二次方程
【点评】
本题为基础常考题，重点考查一元二次方程的相关概念和配方法的操作步骤，解题时需注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握配方法的配方逻辑是解第二问的核心。
【难度系数】
0.7
9.由点$P(14,1),A(a,0),B(0,a)$确定的$△ PAB$的面积为18.
(1)如图,若$0＜a＜14$,求$a$的值;
(2)如果$a＞14$,请画图并求$a$的值.
(1)如图,若$0＜a＜14$,求$a$的值;
(2)如果$a＞14$,请画图并求$a$的值.
答案
9. 解:(1)当 $0＜a＜14$ 时,
如图,作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$,
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ OAB}-S_{△ ADP}$
$=\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×1×(14-a)$
$=18$,
解得 $a_1=3,a_2=12$.
(2)如图,当 $a＞14$ 时,
作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$,
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OAB}-S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ ADP}$
$=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}×1×(a-14)=18$,
解得 $a_1=\frac{15+3\sqrt{41}}{2},a_2=\frac{15-3\sqrt{41}}{2}$(不合题意,舍去),
$\therefore a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$.
解析
【分析】
本题是坐标平面内结合三角形面积求参数的问题，需用割补法将不规则的$△ PAB$面积转化为规则图形的面积和差求解：
1. 当$0＜a＜14$时，点A在原点O和点D（P向x轴作垂线的垂足）之间，$△ PAB$的面积等于梯形$OBPD$的面积减去$△ OAB$和$△ ADP$的面积，据此列方程求解即可；
2. 当$a＞14$时，点A在点D右侧，$△ PAB$的面积等于大$△ OAB$的面积减去梯形$OBPD$和$△ ADP$的面积，列方程求解后根据$a$的范围舍去不符合的根。
【解析】
(1) 当$0＜a＜14$时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$，
由割补法得面积关系：
$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ OAB}-S_{△ ADP}$
代入面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×1×(14-a)=18$
整理得$a^2-15a+36=0$，因式分解为$(a-3)(a-12)=0$，解得 $a_1=3,a_2=12$，均满足$0＜a＜14$，符合题意。
(2) 当 $a＞14$ 时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a,AD=a-14$，
此时面积关系为：
$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}-S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ ADP}$
代入面积公式列方程：
$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}×1×(a-14)=18$
整理得$a^2-15a-36=0$，由求根公式得$a=\frac{15±3\sqrt{41}}{2}$，
$\because a＞14$，$\frac{15-3\sqrt{41}}{2}＜0$不符合要求，舍去，
$\therefore a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $a$的值为3或12；
(2) $a$的值为$\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$，对应图形如下：
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是代数几何结合的典型题型，核心是通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差计算，解题时需根据参数的取值范围分类讨论，求出方程的根后要结合参数范围取舍，考查了分类讨论思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是坐标平面内结合三角形面积求参数的问题，需用割补法将不规则的$△ PAB$面积转化为规则图形的面积和差求解：
1. 当$0＜a＜14$时，点A在原点O和点D（P向x轴作垂线的垂足）之间，$△ PAB$的面积等于梯形$OBPD$的面积减去$△ OAB$和$△ ADP$的面积，据此列方程求解即可；
2. 当$a＞14$时，点A在点D右侧，$△ PAB$的面积等于大$△ OAB$的面积减去梯形$OBPD$和$△ ADP$的面积，列方程求解后根据$a$的范围舍去不符合的根。
【解析】
(1) 当$0＜a＜14$时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$，
由割补法得面积关系：
$S_{△ PAB}=S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ OAB}-S_{△ ADP}$
代入面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×1×(14-a)=18$
整理得$a^2-15a+36=0$，因式分解为$(a-3)(a-12)=0$，解得 $a_1=3,a_2=12$，均满足$0＜a＜14$，符合题意。
(2) 当 $a＞14$ 时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a,AD=a-14$，
此时面积关系为：
$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}-S_{\mathrm{梯形}OBPD}-S_{△ ADP}$
代入面积公式列方程：
$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}×1×(a-14)=18$
整理得$a^2-15a-36=0$，由求根公式得$a=\frac{15±3\sqrt{41}}{2}$，
$\because a＞14$，$\frac{15-3\sqrt{41}}{2}＜0$不符合要求，舍去，
$\therefore a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$。
【答案】
(1) $a$的值为3或12；
(2) $a$的值为$\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$，对应图形如下：
【知识点】
割补法求面积、坐标与图形性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是代数几何结合的典型题型，核心是通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形面积的和差计算，解题时需根据参数的取值范围分类讨论，求出方程的根后要结合参数范围取舍，考查了分类讨论思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
