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2. 如果关于$x$的一元二次方程$x^2 + px + q = 0$能用公式法求解，那么必须满足的条件是（
A.$p^2 -4q ≥ 0$
B.$p^2 -4q ≤ 0$
C.$p^2 -4q ＞ 0$
D.$p^2 -4q ＜ 0$
A
）A.$p^2 -4q ≥ 0$
B.$p^2 -4q ≤ 0$
C.$p^2 -4q ＞ 0$
D.$p^2 -4q ＜ 0$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程能用公式法求解的核心要求：公式法是通过求根公式计算方程的根，求根公式中含有根号，根号下的根的判别式必须是非负的，才有实数解，才能用公式法求解。首先先确定给定方程对应的根的判别式，再根据根号的取值要求判断判别式的范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要使用公式法求解实数根，必须保证根号内的表达式$b^2-4ac$是非负数，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入得判别式$\Delta=p^2-4q$，因此必须满足$p^2-4q≥0$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握公式法求解一元二次方程的前提条件，明确根的判别式的取值与实数根存在性的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程能用公式法求解的核心要求：公式法是通过求根公式计算方程的根，求根公式中含有根号，根号下的根的判别式必须是非负的，才有实数解，才能用公式法求解。首先先确定给定方程对应的根的判别式，再根据根号的取值要求判断判别式的范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要使用公式法求解实数根，必须保证根号内的表达式$b^2-4ac$是非负数，即根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$x^2 + px + q = 0$，对应$a=1$，$b=p$，$c=q$，代入得判别式$\Delta=p^2-4q$，因此必须满足$p^2-4q≥0$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握公式法求解一元二次方程的前提条件，明确根的判别式的取值与实数根存在性的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 解关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中有一个根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，则$c$的值为（
A.1
B.$-1$
C.0
D.2
B
）A.1
B.$-1$
C.0
D.2
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先回忆一元二次方程的求根公式，再将题目给出的根的形式与求根公式逐项对比：首先对比分母可确定二次项系数$a$的值，再对比根号内的被开方数列出关于$c$的等式，最终求解得到$c$的值即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
已知方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，将两个式子逐项对比：
1. 对比分母可得：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比根号内的被开方数可得：$b^2-4ac = b^2+4$。
将$a=1$代入$b^2-4ac = b^2+4$，两边消去$b^2$后得：
$-4×1× c=4$
解得$c=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 等式的性质
【点评】
本题核心是考查一元二次方程求根公式的掌握程度，通过形式对比建立等量关系即可求解，是对基础公式应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆一元二次方程的求根公式，再将题目给出的根的形式与求根公式逐项对比：首先对比分母可确定二次项系数$a$的值，再对比根号内的被开方数列出关于$c$的等式，最终求解得到$c$的值即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
已知方程的根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4}}{2}$，将两个式子逐项对比：
1. 对比分母可得：$2a=2$，解得$a=1$；
2. 对比根号内的被开方数可得：$b^2-4ac = b^2+4$。
将$a=1$代入$b^2-4ac = b^2+4$，两边消去$b^2$后得：
$-4×1× c=4$
解得$c=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 等式的性质
【点评】
本题核心是考查一元二次方程求根公式的掌握程度，通过形式对比建立等量关系即可求解，是对基础公式应用的典型考查。
【难度系数】
0.7
4. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$；
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$。
(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$；
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$。
答案
4. 解:(1)$x^2 - 2x = 4x - 5$,
移项、合并同类项,得 $x^2 - 6x + 5 = 0$,
得 $a=1,b=-6,c=5$,
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$,
$\therefore x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$.
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$,
去括号,得 $x^2 + 3x = 12 + 8x$,
移项,得 $x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$,
合并同类项,得 $x^2 - 5x - 12 = 0$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$.
移项、合并同类项,得 $x^2 - 6x + 5 = 0$,
得 $a=1,b=-6,c=5$,
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$,
$\therefore x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$.
(2)$x(x + 3) = 12 + 8x$,
去括号,得 $x^2 + 3x = 12 + 8x$,
移项,得 $x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$,
合并同类项,得 $x^2 - 5x - 12 = 0$,
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$,
$\therefore x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定流程：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的存在性，若$\Delta≥0$，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可。本题两个小题的处理思路：(1)直接移项合并同类项得到一般式；(2)先去括号，再移项合并得到一般式，之后按上述步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x = 4x - 5$：
移项、合并同类项，得 $x^2 - 6x + 5 = 0$，
可得$a=1,b=-6,c=5$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，
代入求根公式得：
$x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$。
(2) 解方程$x(x + 3) = 12 + 8x$：
去括号，得 $x^2 + 3x = 12 + 8x$，
移项，得 $x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$，
合并同类项，得 $x^2 - 5x - 12 = 0$，
可得$a=1,b=-5,c=-12$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般形式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a、b、c$时要留意各项的符号，计算判别式和求根时避免符号错误，熟练掌握流程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需遵循固定流程：首先要把方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的存在性，若$\Delta≥0$，最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可。本题两个小题的处理思路：(1)直接移项合并同类项得到一般式；(2)先去括号，再移项合并得到一般式，之后按上述步骤依次计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x = 4x - 5$：
移项、合并同类项，得 $x^2 - 6x + 5 = 0$，
可得$a=1,b=-6,c=5$，
$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×1×5=16＞0$，
代入求根公式得：
$x_1=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2×1}=5,x_2=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2×1}=1$。
(2) 解方程$x(x + 3) = 12 + 8x$：
去括号，得 $x^2 + 3x = 12 + 8x$，
移项，得 $x^2 + 3x - 8x - 12 = 0$，
合并同类项，得 $x^2 - 5x - 12 = 0$，
可得$a=1,b=-5,c=-12$，
$\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-12)=73＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{73}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{73}}{2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=5,x_2=1$；(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{73}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般形式；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查公式法的标准解题步骤，解题时需注意先将方程化为一般形式，确定$a、b、c$时要留意各项的符号，计算判别式和求根时避免符号错误，熟练掌握流程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 解方程$x^2=3x+2$时，有一位同学解答如下：
这里$a=1,b=3,c=2$，因而$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1＞0$，所以$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=\frac{-3±1}{2}$。
因此，原方程的根为$x_1=-1,x_2=-2$。
请你分析以上解答有无错误.如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
这里$a=1,b=3,c=2$，因而$b^2-4ac=3^2-4×1×2=1＞0$，所以$x=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=\frac{-3±1}{2}$。
因此，原方程的根为$x_1=-1,x_2=-2$。
请你分析以上解答有无错误.如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解答过程。
答案
5. 解:有错误.错误的地方:没有先将方程化为一般形式再确定$a,b,c$的值.
正确的解答过程如下:
将方程 $x^2=3x+2$ 化为一般形式是 $x^2 - 3x - 2 = 0$,
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$,
因而 $b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$.
$\therefore$ 原方程的根为 $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
正确的解答过程如下:
将方程 $x^2=3x+2$ 化为一般形式是 $x^2 - 3x - 2 = 0$,
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$,
因而 $b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=17＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$.
$\therefore$ 原方程的根为 $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
要判断该同学的解答是否正确，首先回忆公式法解一元二次方程的规范步骤：第一步必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定系数$a,b,c$的数值和符号。该同学未移项就直接从原式提取$b,c$，导致符号错误。解题时需先纠正这个问题，先将方程化为一般式，再正确代入求根公式计算即可。
【解析】
解：该同学的解答有错误。
错误的地方：没有先将方程化为一元二次方程的一般形式，就直接确定$a,b,c$的值，导致$b,c$的符号出错。
正确的解答过程如下：
将方程 $x^2=3x+2$ 移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
有错误，错误为未先将方程化为一般形式再确定$a,b,c$的值；原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的规范流程，易错点是忽略先整理方程为一般形式，直接从原式提取系数导致符号错误。解题时要严格按步骤操作，养成先整理方程再计算的习惯，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
要判断该同学的解答是否正确，首先回忆公式法解一元二次方程的规范步骤：第一步必须先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，才能准确确定系数$a,b,c$的数值和符号。该同学未移项就直接从原式提取$b,c$，导致符号错误。解题时需先纠正这个问题，先将方程化为一般式，再正确代入求根公式计算即可。
【解析】
解：该同学的解答有错误。
错误的地方：没有先将方程化为一元二次方程的一般形式，就直接确定$a,b,c$的值，导致$b,c$的符号出错。
正确的解答过程如下：
将方程 $x^2=3x+2$ 移项化为一般形式：$x^2 - 3x - 2 = 0$，
$\therefore a=1,b=-3,c=-2$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-2)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{17}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
$\therefore$ 原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
有错误，错误为未先将方程化为一般形式再确定$a,b,c$的值；原方程的根为$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
3. 根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程的规范流程，易错点是忽略先整理方程为一般形式，直接从原式提取系数导致符号错误。解题时要严格按步骤操作，养成先整理方程再计算的习惯，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
6.如图，点A在数轴的负半轴上，点B在数轴的正半轴上，且点A对应的数是$2x+1$，点B对应的数是$x^2+x$，已知$AB=5$，则点A对应的数是
$-3$
。答案
6. $-3$
解析
【分析】
首先回忆数轴上两点距离的计算方法：数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数即为两点间距离。本题中B在正半轴、A在负半轴，因此B对应的数大于A对应的数，可根据AB=5列出关于x的方程，解方程后再结合A在负半轴、B在正半轴的条件对根进行取舍，最终求出A对应的数。
【解析】
解：由数轴可知点B在点A右侧，因此两点距离$AB = $点B对应的数 $-$ 点A对应的数，代入已知条件得：
$x^2 + x - (2x + 1) = 5$
整理方程：
$x^2 + x - 2x - 1 - 5 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
接下来根据点的位置检验根：
① 当$x=3$时，点A对应的数为$2×3 +1=7$，是正数，不符合A在负半轴的条件，舍去；
② 当$x=-2$时，点A对应的数为$2×(-2)+1=-3$，是负数；点B对应的数为$(-2)^2 + (-2)=2$，是正数，符合题意，此时$AB=2 - (-3)=5$，满足条件。
因此点A对应的数为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
数轴两点距离计算，解一元二次方程，数轴的性质
【点评】
本题易错点是解完方程后忽略根据点在数轴的位置对根进行取舍，解题时要注意结合题目给出的限制条件验证解是否符合要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆数轴上两点距离的计算方法：数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数即为两点间距离。本题中B在正半轴、A在负半轴，因此B对应的数大于A对应的数，可根据AB=5列出关于x的方程，解方程后再结合A在负半轴、B在正半轴的条件对根进行取舍，最终求出A对应的数。
【解析】
解：由数轴可知点B在点A右侧，因此两点距离$AB = $点B对应的数 $-$ 点A对应的数，代入已知条件得：
$x^2 + x - (2x + 1) = 5$
整理方程：
$x^2 + x - 2x - 1 - 5 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 3)(x + 2) = 0$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
接下来根据点的位置检验根：
① 当$x=3$时，点A对应的数为$2×3 +1=7$，是正数，不符合A在负半轴的条件，舍去；
② 当$x=-2$时，点A对应的数为$2×(-2)+1=-3$，是负数；点B对应的数为$(-2)^2 + (-2)=2$，是正数，符合题意，此时$AB=2 - (-3)=5$，满足条件。
因此点A对应的数为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
数轴两点距离计算，解一元二次方程，数轴的性质
【点评】
本题易错点是解完方程后忽略根据点在数轴的位置对根进行取舍，解题时要注意结合题目给出的限制条件验证解是否符合要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7. (2026眉山期中)已知$a,b$满足$(a-2)^2 + |b+5|=0$，且$c=(π - 3.14)^0$.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)解方程:$ax^2 + bx + c=0$.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)解方程:$ax^2 + bx + c=0$.
答案
7. 解:(1)$\because (a-2)^2 + |b+5|=0$,
又 $\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0,\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$,
$\therefore a=2,b=-5$,
$c=(π-3.14)^0=1$.
(2)由(1)可知,$a=2,b=-5,c=1$,
代入得,$2x^2 - 5x + 1 = 0$,
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
又 $\because (a-2)^2\ge0,|b+5|\ge0,\therefore (a-2)^2=|b+5|=0$,
$\therefore a=2,b=-5$,
$c=(π-3.14)^0=1$.
(2)由(1)可知,$a=2,b=-5,c=1$,
代入得,$2x^2 - 5x + 1 = 0$,
$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
解析
【分析】
（1）解第一问的核心是利用非负数的性质：偶次幂和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列等式可求出a、b的值；再根据零指数幂的运算规则（非零数的0次幂等于1），结合π＞3.14可知底数不为0，直接计算即可得到c的值。
（2）解第二问先将第一问求出的a、b、c代入方程，得到标准一元二次方程，先计算判别式判断根的情况，当判别式大于0时，代入一元二次方程求根公式即可求出方程的两个解。
【解析】
(1) $\because (a-2)^2 + |b+5|=0$，
又$\because (a-2)^2\ge0$，$|b+5|\ge0$，
$\therefore (a-2)^2=0$，$|b+5|=0$，
解得$a=2$，$b=-5$，
$\because π-3.14≠0$，$\therefore c=(π - 3.14)^0=1$。
(2) 把$a=2$，$b=-5$，$c=1$代入$ax^2 + bx + c=0$，得：
$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$，$c=1$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
非负数的性质、零指数幂运算、解一元二次方程
【点评】
本题是基础综合题，将代数基础性质与一元二次方程求解结合考察，解题时需注意零指数幂的底数不为0的要求，以及使用求根公式时不要写错符号，熟练掌握基础概念和公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）解第一问的核心是利用非负数的性质：偶次幂和绝对值均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，据此列等式可求出a、b的值；再根据零指数幂的运算规则（非零数的0次幂等于1），结合π＞3.14可知底数不为0，直接计算即可得到c的值。
（2）解第二问先将第一问求出的a、b、c代入方程，得到标准一元二次方程，先计算判别式判断根的情况，当判别式大于0时，代入一元二次方程求根公式即可求出方程的两个解。
【解析】
(1) $\because (a-2)^2 + |b+5|=0$，
又$\because (a-2)^2\ge0$，$|b+5|\ge0$，
$\therefore (a-2)^2=0$，$|b+5|=0$，
解得$a=2$，$b=-5$，
$\because π-3.14≠0$，$\therefore c=(π - 3.14)^0=1$。
(2) 把$a=2$，$b=-5$，$c=1$代入$ax^2 + bx + c=0$，得：
$2x^2 - 5x + 1 = 0$，
计算判别式：$b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$，$c=1$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
非负数的性质、零指数幂运算、解一元二次方程
【点评】
本题是基础综合题，将代数基础性质与一元二次方程求解结合考察，解题时需注意零指数幂的底数不为0的要求，以及使用求根公式时不要写错符号，熟练掌握基础概念和公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 我们规定一种新运算“★”，其意义为$a★b=a^2 - ab$. 若$(x-2)★(1-x)=28$, 则$x$的值为
（
A.$-26$
B.$-4$或$11$
C.$2$或$-\frac{11}{2}$
D.$-2$或$\frac{11}{2}$
（
D
）A.$-26$
B.$-4$或$11$
C.$2$或$-\frac{11}{2}$
D.$-2$或$\frac{11}{2}$
答案
8. D
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解新运算“★”的运算规则，先将给定的$(x-2)★(1-x)$按照规则转化为我们熟悉的整式运算表达式，再根据等式条件得到一元二次方程，最后求解一元二次方程即可得到$x$的值。运算过程中要注意符号的处理，避免去括号、移项时出错。
【解析】
根据新运算“★”的定义$a★b=a^2-ab$，可得：
$(x-2)★(1-x)=(x-2)^2 - (x-2)(1-x)$
由题意列等式：
$\begin{aligned}(x-2)^2 - (x-2)(1-x)&=28\\x^2-4x+4 - (-x^2+3x-2)&=28\\x^2-4x+4 +x^2-3x+2&=28\\2x^2-7x-22&=0\\(2x-11)(x+2)&=0\end{aligned}$
解得$x=\frac{11}{2}$或$x=-2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，整式混合运算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确套用新运算规则将陌生运算转化为常规代数运算，求解方程时注意符号计算即可，易错点是去括号时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解新运算“★”的运算规则，先将给定的$(x-2)★(1-x)$按照规则转化为我们熟悉的整式运算表达式，再根据等式条件得到一元二次方程，最后求解一元二次方程即可得到$x$的值。运算过程中要注意符号的处理，避免去括号、移项时出错。
【解析】
根据新运算“★”的定义$a★b=a^2-ab$，可得：
$(x-2)★(1-x)=(x-2)^2 - (x-2)(1-x)$
由题意列等式：
$\begin{aligned}(x-2)^2 - (x-2)(1-x)&=28\\x^2-4x+4 - (-x^2+3x-2)&=28\\x^2-4x+4 +x^2-3x+2&=28\\2x^2-7x-22&=0\\(2x-11)(x+2)&=0\end{aligned}$
解得$x=\frac{11}{2}$或$x=-2$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，整式混合运算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确套用新运算规则将陌生运算转化为常规代数运算，求解方程时注意符号计算即可，易错点是去括号时符号处理错误。
【难度系数】
0.7
