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8. 计算：
(1) $-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$；
(2) $-5^2 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$。
(1) $-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$；
(2) $-5^2 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$。
答案
(1) $\dfrac{1}{6}$ (2) $-20\dfrac{13}{25}$
解析
【分析】
这两道题属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循有理数运算顺序：①先算乘方，注意区分带负号的乘方，比如$-1^4$是1的4次方的相反数，结果为-1，不要和$(-1)^4$混淆；②再算括号内的运算，优先算小括号，再算中括号；③之后算乘除，最后算加减，每一步注意符号的确定，避免因符号判断错误失分。解题时按顺序逐步计算，不要随意跳步即可。
【解析】
(1) 计算$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$
第一步：计算乘方
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，代入原式得：
$=-1 - 0.5 × \frac{1}{3} × (2 - 9)$
第二步：计算括号内的运算
$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-9=-7$，代入得：
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
第三步：计算乘法
$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)=-\frac{7}{6}$，代入得：
$=-1 - (-\frac{7}{6})$
第四步：计算加减
$=-1+\frac{7}{6}=\frac{1}{6}$
(2) 计算$-5^2 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$
第一步：计算乘方
$-5^2=-25$，代入原式得：
$=-25 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$
第二步：计算最内层小括号的运算
$0.2×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，$1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$，代入得：
$=-25 - [-4 + \frac{24}{25} ÷ (-2)]$
第三步：计算中括号内的除法
$\frac{24}{25}÷(-2)=-\frac{12}{25}$，代入得：
$=-25 - [-4 - \frac{12}{25}]$
第四步：计算中括号内的加减
$-4-\frac{12}{25}=-4\frac{12}{25}$，代入得：
$=-25 - (-4\frac{12}{25})$
第五步：计算最终加减
$=-25+4\frac{12}{25}=-20\frac{13}{25}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{6}$ (2) $-20\dfrac{13}{25}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，四则运算顺序
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的运算规则，易错点为带负号的乘方的符号判断，以及括号运算、乘除运算的符号处理，计算时按步骤逐步运算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
这两道题属于有理数混合运算类题目，解题需严格遵循有理数运算顺序：①先算乘方，注意区分带负号的乘方，比如$-1^4$是1的4次方的相反数，结果为-1，不要和$(-1)^4$混淆；②再算括号内的运算，优先算小括号，再算中括号；③之后算乘除，最后算加减，每一步注意符号的确定，避免因符号判断错误失分。解题时按顺序逐步计算，不要随意跳步即可。
【解析】
(1) 计算$-1^4 - (1 - 0.5) × \frac{1}{3} × [2 - (-3)^2]$
第一步：计算乘方
$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，代入原式得：
$=-1 - 0.5 × \frac{1}{3} × (2 - 9)$
第二步：计算括号内的运算
$1-0.5=\frac{1}{2}$，$2-9=-7$，代入得：
$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)$
第三步：计算乘法
$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (-7)=-\frac{7}{6}$，代入得：
$=-1 - (-\frac{7}{6})$
第四步：计算加减
$=-1+\frac{7}{6}=\frac{1}{6}$
(2) 计算$-5^2 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$
第一步：计算乘方
$-5^2=-25$，代入原式得：
$=-25 - [-4 + (1 - 0.2 × \frac{1}{5}) ÷ (-2)]$
第二步：计算最内层小括号的运算
$0.2×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，$1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}$，代入得：
$=-25 - [-4 + \frac{24}{25} ÷ (-2)]$
第三步：计算中括号内的除法
$\frac{24}{25}÷(-2)=-\frac{12}{25}$，代入得：
$=-25 - [-4 - \frac{12}{25}]$
第四步：计算中括号内的加减
$-4-\frac{12}{25}=-4\frac{12}{25}$，代入得：
$=-25 - (-4\frac{12}{25})$
第五步：计算最终加减
$=-25+4\frac{12}{25}=-20\frac{13}{25}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{6}$ (2) $-20\dfrac{13}{25}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，四则运算顺序
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的运算规则，易错点为带负号的乘方的符号判断，以及括号运算、乘除运算的符号处理，计算时按步骤逐步运算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
9. 有下列计算：①$89 - 3^2 ÷ 80 = 80 ÷ 80 = 1$；②$(-1002) × 17 = (-1000 + 2) × 17 = -17000 + 34 = -16966$；③$24 ÷ (3 × 2) = 24 ÷ 3 × 2 = 8 × 2 = 16$；④$\frac{2^2}{3} - (-2) × ( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ) = \frac{4}{9} - ( \frac{1}{2} - 1 ) = \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{17}{18}$。其中，不正确的有 【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题时需严格遵循有理数运算规则逐一核验4个计算过程：运算顺序上先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容，同级运算从左到右进行；使用运算律简便计算时要注意符号、拆分的正确性，最后统计错误计算的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个计算的正误：
① 运算顺序错误，有理数混合运算应先算乘方、再算乘除，最后算加减：
正确计算：$89 - 3^2 ÷ 80 = 89 - 9 ÷ 80 = 89 - \frac{9}{80} = 88\frac{71}{80} ≠ 1$，故①错误。
② 乘法分配律拆分错误，$-1002$应拆为$(-1000 - 2)$而非$(-1000 + 2)$：
正确计算：$(-1002) × 17 = (-1000 - 2) × 17 = -1000×17 - 2×17 = -17000 - 34 = -17034 ≠ -16966$，故②错误。
③ 除法运算性质错误，除以两个数的积等于分别除以这两个数，不能直接去掉括号变乘号：
正确计算：$24 ÷ (3 × 2) = 24 ÷ 6 = 4 ≠ 16$，故③错误。
④ 乘方运算错误，$\frac{2^2}{3}$是分子乘方，分母不乘方，且后续符号运算也出错：
正确计算：$\frac{2^2}{3} - (-2) × ( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ) = \frac{4}{3} - (-2) × (-\frac{1}{4}) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} ≠ \frac{17}{18}$，故④错误。
综上，4个计算全部不正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题集中考查有理数运算中的常见易错点，包括运算顺序混淆、运算律拆分时符号错误、除法去括号规则误用、乘方运算范围错误，做题时需严格按运算规则逐步计算，不要随意跳步，使用简便运算前要先确认拆分和运算律的使用符合规则。
【难度系数】
0.6
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题时需严格遵循有理数运算规则逐一核验4个计算过程：运算顺序上先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容，同级运算从左到右进行；使用运算律简便计算时要注意符号、拆分的正确性，最后统计错误计算的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个计算的正误：
① 运算顺序错误，有理数混合运算应先算乘方、再算乘除，最后算加减：
正确计算：$89 - 3^2 ÷ 80 = 89 - 9 ÷ 80 = 89 - \frac{9}{80} = 88\frac{71}{80} ≠ 1$，故①错误。
② 乘法分配律拆分错误，$-1002$应拆为$(-1000 - 2)$而非$(-1000 + 2)$：
正确计算：$(-1002) × 17 = (-1000 - 2) × 17 = -1000×17 - 2×17 = -17000 - 34 = -17034 ≠ -16966$，故②错误。
③ 除法运算性质错误，除以两个数的积等于分别除以这两个数，不能直接去掉括号变乘号：
正确计算：$24 ÷ (3 × 2) = 24 ÷ 6 = 4 ≠ 16$，故③错误。
④ 乘方运算错误，$\frac{2^2}{3}$是分子乘方，分母不乘方，且后续符号运算也出错：
正确计算：$\frac{2^2}{3} - (-2) × ( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ) = \frac{4}{3} - (-2) × (-\frac{1}{4}) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} ≠ \frac{17}{18}$，故④错误。
综上，4个计算全部不正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题集中考查有理数运算中的常见易错点，包括运算顺序混淆、运算律拆分时符号错误、除法去括号规则误用、乘方运算范围错误，做题时需严格按运算规则逐步计算，不要随意跳步，使用简便运算前要先确认拆分和运算律的使用符合规则。
【难度系数】
0.6
10. 若$m$和$n$互为相反数，$p$和$q$互为倒数，$a$是最大的负整数，则$\dfrac{m + n}{2025} - 2pq - 3a$的值为
【 】
A.1
B.2
C.3
D.5
【 】
A.1
B.2
C.3
D.5
答案
A
解析
【分析】
解题时先结合数学概念将题目中的文字条件转化为数值：首先根据互为相反数的两个数和为0，可求出m+n的值；再根据互为倒数的两个数乘积为1，可求出pq的值；最后明确最大的负整数是-1，得到a的值；把三个值代入所求代数式，按有理数混合运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m和n互为相反数，
∴$m + n = 0$
∵p和q互为倒数，
∴$pq = 1$
∵a是最大的负整数，
∴$a = -1$
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}\dfrac{m + n}{2025} - 2pq - 3a&=\dfrac{0}{2025} - 2×1 - 3×(-1)\\&=0 - 2 + 3\\&=1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查常见数学概念的应用，只要准确掌握相反数、倒数、负整数的相关定义，代入计算时注意符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合数学概念将题目中的文字条件转化为数值：首先根据互为相反数的两个数和为0，可求出m+n的值；再根据互为倒数的两个数乘积为1，可求出pq的值；最后明确最大的负整数是-1，得到a的值；把三个值代入所求代数式，按有理数混合运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m和n互为相反数，
∴$m + n = 0$
∵p和q互为倒数，
∴$pq = 1$
∵a是最大的负整数，
∴$a = -1$
将上述值代入原式：
$\begin{aligned}\dfrac{m + n}{2025} - 2pq - 3a&=\dfrac{0}{2025} - 2×1 - 3×(-1)\\&=0 - 2 + 3\\&=1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查常见数学概念的应用，只要准确掌握相反数、倒数、负整数的相关定义，代入计算时注意符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
11. 若四个有理数之和的$\frac{1}{3}$是4，其中三个数分别是$-12$、$(-2)×3$、$(-3)^2$，则第四个数是
【 】
A.$-9$
B.$15$
C.$-18$
D.$21$
【 】
A.$-9$
B.$15$
C.$-18$
D.$21$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据题目条件求出四个有理数的总和，再计算出已知三个数的化简结果，最后用四个数的总和减去已知三个数的和，即可求出第四个数。具体思考步骤：第一步，由“四个有理数之和的$\frac{1}{3}$是4”，可知总和等于4除以$\frac{1}{3}$；第二步，把题中给出的带运算的三个数分别计算出结果，注意遵守运算法则、区分运算符号；第三步，根据四个数相加等于总和的关系，计算得出第四个数。
【解析】
解：首先计算四个有理数的总和：
由题意得，四个数的和为 $4 ÷ \frac{1}{3} = 12$
再计算已知三个数的具体值：
第一个数：$-12$
第二个数：$(-2) × 3 = -6$
第三个数：$(-3)^2 = 9$
设第四个数为$x$，根据四个数的和为12列等式：
$x + (-12) + (-6) + 9 = 12$
化简得：$x - 9 = 12$
解得：$x = 12 + 9 = 21$
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，列方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先确定四个数的总和，运算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目条件求出四个有理数的总和，再计算出已知三个数的化简结果，最后用四个数的总和减去已知三个数的和，即可求出第四个数。具体思考步骤：第一步，由“四个有理数之和的$\frac{1}{3}$是4”，可知总和等于4除以$\frac{1}{3}$；第二步，把题中给出的带运算的三个数分别计算出结果，注意遵守运算法则、区分运算符号；第三步，根据四个数相加等于总和的关系，计算得出第四个数。
【解析】
解：首先计算四个有理数的总和：
由题意得，四个数的和为 $4 ÷ \frac{1}{3} = 12$
再计算已知三个数的具体值：
第一个数：$-12$
第二个数：$(-2) × 3 = -6$
第三个数：$(-3)^2 = 9$
设第四个数为$x$，根据四个数的和为12列等式：
$x + (-12) + (-6) + 9 = 12$
化简得：$x - 9 = 12$
解得：$x = 12 + 9 = 21$
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，列方程求解
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先确定四个数的总和，运算过程中要重点注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
12. 定义一种新运算：$a★b = a^2 - ab$，如$(-2)★3 = (-2)^2 - (-2)×3 = 10$，那么$[(-3)★(-2)]★\frac{1}{3}$的结果是
8
。答案
12. 8
解析
【分析】
解决这类新定义运算问题，首先要准确理解新运算的规则：本题中$a★b$表示第一个数的平方减去两个数的乘积。由于算式是嵌套形式的新运算，需要按照运算顺序先计算中括号内的部分，得到结果后，再将该结果作为新运算的第一个数，和$\frac{1}{3}$按照规则进行第二次运算，计算过程中要注意有理数运算的符号规则，避免出错。
【解析】
第一步：先计算中括号内的$(-3)★(-2)$，对应新运算中$a=-3$，$b=-2$，代入规则得：
$\begin{aligned}(-3)★(-2)&=(-3)^2 - (-3)×(-2)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
第二步：再计算$3★\frac{1}{3}$，对应新运算中$a=3$，$b=\frac{1}{3}$，代入规则得：
$\begin{aligned}3★\frac{1}{3}&=3^2 - 3×\frac{1}{3}\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的准确性，解题核心是严格按照给定的新运算规则分步计算，注意运算顺序和正负号的处理，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解决这类新定义运算问题，首先要准确理解新运算的规则：本题中$a★b$表示第一个数的平方减去两个数的乘积。由于算式是嵌套形式的新运算，需要按照运算顺序先计算中括号内的部分，得到结果后，再将该结果作为新运算的第一个数，和$\frac{1}{3}$按照规则进行第二次运算，计算过程中要注意有理数运算的符号规则，避免出错。
【解析】
第一步：先计算中括号内的$(-3)★(-2)$，对应新运算中$a=-3$，$b=-2$，代入规则得：
$\begin{aligned}(-3)★(-2)&=(-3)^2 - (-3)×(-2)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
第二步：再计算$3★\frac{1}{3}$，对应新运算中$a=3$，$b=\frac{1}{3}$，代入规则得：
$\begin{aligned}3★\frac{1}{3}&=3^2 - 3×\frac{1}{3}\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用能力和有理数运算的准确性，解题核心是严格按照给定的新运算规则分步计算，注意运算顺序和正负号的处理，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
