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1. 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=6$，则$AC$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知△ABC中∠B=∠C，可结合等腰三角形的判定定理“等角对等边”分析：在同一个三角形中，两个角相等则它们所对的边也相等。先确定∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，即可推出AC与AB的数量关系，再代入AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
在△ABC中，
∵ ∠B=∠C，
根据等腰三角形“等角对等边”的性质，可得：AC=AB，
又
∵ AB=6，
∴ AC=6。
【答案】
D
【知识点】
1. 等角对等边
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形相关性质的直接应用，解题的关键是准确找到相等的角对应的对边，只要熟记相关定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，已知△ABC中∠B=∠C，可结合等腰三角形的判定定理“等角对等边”分析：在同一个三角形中，两个角相等则它们所对的边也相等。先确定∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，即可推出AC与AB的数量关系，再代入AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
在△ABC中，
∵ ∠B=∠C，
根据等腰三角形“等角对等边”的性质，可得：AC=AB，
又
∵ AB=6，
∴ AC=6。
【答案】
D
【知识点】
1. 等角对等边
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形相关性质的直接应用，解题的关键是准确找到相等的角对应的对边，只要熟记相关定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，且$AB=10$，则$CD$的长为（
A.10
B.8
C.5
D.6
C
）A.10
B.8
C.5
D.6
答案
2. C
解析
【分析】
拿到这道题首先定位考点，题目给出直角三角形以及斜边上的中线，我们需要联想到直角三角形斜边中线的相关性质。首先明确∠C=90°，所以AB是直角三角形的斜边，CD是斜边AB上的中线，直接套用对应性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，
又
∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=10$，代入得：$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，直接考察核心性质的应用，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质就能快速得出答案，是特殊三角形章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先定位考点，题目给出直角三角形以及斜边上的中线，我们需要联想到直角三角形斜边中线的相关性质。首先明确∠C=90°，所以AB是直角三角形的斜边，CD是斜边AB上的中线，直接套用对应性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ AB是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，
又
∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AB=10$，代入得：$CD=\frac{1}{2}×10=5$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，直接考察核心性质的应用，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质就能快速得出答案，是特殊三角形章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（
A.3，5，7
B.6，8，10
C.5，12，13
D.1，$\sqrt{3}$，2
A
）A.3，5，7
B.6，8，10
C.5，12，13
D.1，$\sqrt{3}$，2
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查直角三角形三边的判定，核心是运用勾股定理的逆定理。解题思路为：对每个选项，先找出三个边长中的最长边，再计算两个较短边长的平方和，将其与最长边的平方作比较，若二者相等则可以作为直角三角形三边长，若不相等则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A选项：三边长为3，5，7，最长边为7。计算得$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形三边长；
B选项：三边长为6，8，10，最长边为10。计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长；
C选项：三边长为5，12，13，最长边为13。计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长；
D选项：三边长为1，$\sqrt{3}$，2，最长边为2。计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用方法，注意验证前先确定最长边，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形三边的判定，核心是运用勾股定理的逆定理。解题思路为：对每个选项，先找出三个边长中的最长边，再计算两个较短边长的平方和，将其与最长边的平方作比较，若二者相等则可以作为直角三角形三边长，若不相等则不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A选项：三边长为3，5，7，最长边为7。计算得$3^2+5^2=9+25=34$，$7^2=49$，$34≠49$，不满足勾股定理逆定理，不能作为直角三角形三边长；
B选项：三边长为6，8，10，最长边为10。计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长；
C选项：三边长为5，12，13，最长边为13。计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长；
D选项：三边长为1，$\sqrt{3}$，2，最长边为2。计算得$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足条件，可以作为直角三角形三边长。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用方法，注意验证前先确定最长边，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.9
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$∠ BAD=35°$，则$∠ C$的度数为（
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
C
）A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
4. C
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，可得两底角∠B=∠C；再结合D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，由此可算出∠BAC的度数；最后利用三角形内角和为180°，结合∠B=∠C的关系，就能求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠B=∠C。
∵ D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B+∠C+∠BAC=180°，
将∠B=∠C、∠BAC=70°代入得：
2∠C + 70° = 180°，
解得∠C=(180°-70°)÷2=55°。
结合题意，本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题目，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的特点，结合三角形内角和定理即可快速计算出结果，是特殊三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，可得两底角∠B=∠C；再结合D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是顶角∠BAC的角平分线，由此可算出∠BAC的度数；最后利用三角形内角和为180°，结合∠B=∠C的关系，就能求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC为等腰三角形，∠B=∠C。
∵ D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠B+∠C+∠BAC=180°，
将∠B=∠C、∠BAC=70°代入得：
2∠C + 70° = 180°，
解得∠C=(180°-70°)÷2=55°。
结合题意，本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题目，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的特点，结合三角形内角和定理即可快速计算出结果，是特殊三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=62°$，$∠ C=48°$，$AD$垂直$BC$于点$D$，则$∠ BAD$的度数为（
A.$15°$
B.$16°$
C.$18°$
D.$20°$
D
）A.$15°$
B.$16°$
C.$18°$
D.$20°$
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°的定理，结合已知的∠BAC和∠C的度数，先求出∠B的度数；再根据AD垂直BC可得△ABD是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ BAC - ∠ C = 180° - 62° - 48° = 70°$
$\because AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ADB = 90°$，即$△ ABD$是直角三角形
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 70° = 20°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对三角形基础性质的应用，解题时理清角之间的数量关系，结合相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°的定理，结合已知的∠BAC和∠C的度数，先求出∠B的度数；再根据AD垂直BC可得△ABD是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ B = 180° - ∠ BAC - ∠ C = 180° - 62° - 48° = 70°$
$\because AD⊥ BC$
$\therefore ∠ ADB = 90°$，即$△ ABD$是直角三角形
根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 70° = 20°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对三角形基础性质的应用，解题时理清角之间的数量关系，结合相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
6. 一艘轮船以5海里/时的速度离开港口A向南偏东$45°$方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口A向南偏西$45°$方向航行，经过2 h后它们相距（
A.22海里
B.24海里
C.26海里
D.28海里
C
）A.22海里
B.24海里
C.26海里
D.28海里
答案
6. C
解析
【分析】
首先分析两艘轮船的航行方向夹角：南偏东45°和南偏西45°相对于正南方向分别向东西两侧偏移45°，因此两条航行路线的夹角为45°+45°=90°，说明港口A和两艘轮船航行2小时后的位置三点构成直角三角形。接下来可根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船2小时行驶的路程，即直角三角形的两条直角边长，最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
1. 计算两艘轮船2小时行驶的路程：
第一艘轮船行驶路程：$s_1=v_1t=5×2=10$（海里）
第二艘轮船行驶路程：$s_2=v_2t=12×2=24$（海里）
2. 判断三角形形状：
两船航行方向夹角为$45°+45°=90°$，因此三点构成直角三角形，两条直角边长度分别为10海里、24海里，两船距离为直角三角形的斜边长。
3. 用勾股定理计算两船距离：
设两船相距$s$，由勾股定理得：
$s=\sqrt{s_1^2+s_2^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$（海里）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；方位角识别；行程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是结合方位角特征判断出直角三角形，再结合行程公式求出边长后代入勾股定理计算即可，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
首先分析两艘轮船的航行方向夹角：南偏东45°和南偏西45°相对于正南方向分别向东西两侧偏移45°，因此两条航行路线的夹角为45°+45°=90°，说明港口A和两艘轮船航行2小时后的位置三点构成直角三角形。接下来可根据“路程=速度×时间”分别算出两艘轮船2小时行驶的路程，即直角三角形的两条直角边长，最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
1. 计算两艘轮船2小时行驶的路程：
第一艘轮船行驶路程：$s_1=v_1t=5×2=10$（海里）
第二艘轮船行驶路程：$s_2=v_2t=12×2=24$（海里）
2. 判断三角形形状：
两船航行方向夹角为$45°+45°=90°$，因此三点构成直角三角形，两条直角边长度分别为10海里、24海里，两船距离为直角三角形的斜边长。
3. 用勾股定理计算两船距离：
设两船相距$s$，由勾股定理得：
$s=\sqrt{s_1^2+s_2^2}=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$（海里）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；方位角识别；行程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是结合方位角特征判断出直角三角形，再结合行程公式求出边长后代入勾股定理计算即可，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
