21.（本小题满分12分）
如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.
(1)求证：∠BEC＝∠ADC.
(2)请判断FD与FE之间的数量关系，并证明.
(3)如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，那么(2)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

21. (1)证明：在△ABC 中，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=180°−90°−60°=30°。
∵AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
∴∠CDA=∠BAD+∠B=75°，∠BEC=∠BAC+∠ACE=75°。
∴∠BEC=∠ADC。
(2)FD=FE。
证明：由(1)可得∠HDF=∠GEF。
∵FG⊥AB，FH⊥BC，
∴∠DHF=∠EGF=90°。
如图，作 FI⊥AC。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴FG=FI。
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴FI=FH。
∴FH=FG。
在△DHF 和△EGF 中，
∵$\begin{cases} ∠DHF=∠EGF, \\ ∠HDF=∠GEF, \\ FH=FG, \end{cases}$
∴△DHF≌△EGF(AAS)。
∴FD=FE。
(3)仍然成立。
证明：如图，过点 F 作 FM⊥BC 于点 M，作 FN⊥AB 于点 N，作 FG⊥AC 于点 G，连接 BF。
由(2)的证明可得 FM=FN。
∵∠NBF+∠BNF+∠NFB = 180°，∠FBM+∠BMF+∠MFB=180°，
∴∠NBF+∠BNF+∠NFB+∠FBM+∠BMF+∠MFB=360°，
即∠ABC+∠BNF+∠BMF+∠MFN=360°。
∴∠MFN=360°−∠ABC−∠BMF−∠BNF=120°。
∵∠CFA=180°−(∠FAC+∠FCA)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−60°)=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°。
又
∵∠MFN=∠DFM+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE。
在△DMF 和△ENF 中，
∵$\begin{cases} ∠DMF=∠ENF, \\ MF=NF, \\ ∠DFM=∠NFE, \end{cases}$
∴△DMF≌△ENF(ASA)。
∴FD=FE。

【分析】
(1) 要证∠BEC=∠ADC，可先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合角平分线定义，用三角形外角的性质分别计算两个角的度数，即可证明两角相等。
(2) 猜想FD=FE，要证明两条线段相等，可证明其所在的三角形全等。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点F作FI⊥AC，可得FG=FI=FH，再结合(1)中得到的角相等，利用AAS证明△DHF≌△EGF，即可得到FD=FE。
(3) 结论仍然成立，类比(2)的思路，过点F作三角形三边的垂线，由角平分线性质可得F到AB、BC的距离相等，再通过角度计算得到一组对应角相等，利用ASA证明三角形全等，即可证得FD=FE。
【解析】
(1) 证明：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=180°−90°−60°=30°。
∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
∴∠CDA=∠BAD+∠B=15°+60°=75°，∠BEC=∠BAC+∠ACE=30°+45°=75°。
∴∠BEC=∠ADC。
(2) FD=FE，证明如下：
由(1)可得∠HDF=∠GEF。
∵FG⊥AB，FH⊥BC，
∴∠DHF=∠EGF=90°。
作FI⊥AC。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴FG=FI。
∵CE是∠BCA的平分线，
∴FI=FH。
∴FH=FG。
在△DHF和△EGF中，
$\begin{cases} ∠DHF=∠EGF, \\ ∠HDF=∠GEF, \\ FH=FG, \end{cases}$
∴△DHF≌△EGF(AAS)，
∴FD=FE。
(3) 结论仍然成立，证明如下：
过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥AB于点N，作FG⊥AC于点G，连接BF。
由角平分线的性质可得FM=FG，FN=FG，故FM=FN。
∵∠ABC=60°，FM⊥BC，FN⊥AB，
∴∠BMF=∠BNF=90°，
四边形BNFM内角和为360°，
∴∠MFN=360°−∠ABC−∠BMF−∠BNF=360°−60°−90°−90°=120°。
∵∠CFA=180°−(∠FAC+∠FCA)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−60°)=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°。
又
∵∠MFN=∠DFM+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE。
在△DMF和△ENF中，
$\begin{cases} ∠DMF=∠ENF=90°, \\ MF=NF, \\ ∠DFM=∠NFE, \end{cases}$
∴△DMF≌△ENF(ASA)，
∴FD=FE。
【答案】
(1)证明：在△ABC 中，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=180°−90°−60°=30°。
∵AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°。
∴∠CDA=∠BAD+∠B=75°，∠BEC=∠BAC+∠ACE=75°。
∴∠BEC=∠ADC。
(2)$FD=FE$。
证明：由(1)可得∠HDF=∠GEF。
∵FG⊥AB，FH⊥BC，
∴∠DHF=∠EGF=90°。
如图，作 FI⊥AC。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴FG=FI。
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴FI=FH。
∴FH=FG。
在△DHF 和△EGF 中，
∵$\begin{cases} ∠DHF=∠EGF, \\ ∠HDF=∠GEF, \\ FH=FG, \end{cases}$
∴△DHF≌△EGF(AAS)。
∴FD=FE。
(3)仍然成立。
证明：如图，过点 F 作 FM⊥BC 于点 M，作 FN⊥AB 于点 N，作 FG⊥AC 于点 G，连接 BF。
由(2)的证明可得 FM=FN。
∵∠NBF+∠BNF+∠NFB = 180°，∠FBM+∠BMF+∠MFB=180°，
∴∠NBF+∠BNF+∠NFB+∠FBM+∠BMF+∠MFB=360°，
即∠ABC+∠BNF+∠BMF+∠MFN=360°。
∴∠MFN=360°−∠ABC−∠BMF−∠BNF=120°。
∵∠CFA=180°−(∠FAC+∠FCA)=180°−$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−60°)=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°。
又
∵∠MFN=∠DFM+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE。
在△DMF 和△ENF 中，
∵$\begin{cases} ∠DMF=∠ENF, \\ MF=NF, \\ ∠DFM=∠NFE, \end{cases}$
∴△DMF≌△ENF(ASA)。
∴FD=FE。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形综合类题目，从特殊的直角三角形延伸到一般三角形，设问逐层递进，解题核心是灵活运用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，能很好地考查几何逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6