20.（本小题满分10分）
如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高.
(1)证明：AD垂直平分EF.
(2)若AB＝8，AC＝6，$S_{△ ABC}=28$，求DE的长.

(1)证明：
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD。
在△AED 和△AFD 中，
∵$\begin{cases} ∠DEA=∠DFA, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△AFD(AAS)。
∴AE=AF。
∴AD 为线段 EF 的垂直平分线，即 AD 垂直平分 EF。
(2)解：
∵DE=DF，
∴$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}DE·(AB+AC)=28$。
又
∵AB+AC=8+6=14，
∴DE=4。

【分析】
(1)要证明AD垂直平分EF，可先推导点A和点D都在线段EF的垂直平分线上：首先根据角平分线的性质可得DE=DF，且∠EAD=∠FAD，结合DE、DF是高的垂直条件，通过AAS证明△AED和△AFD全等，得到AE=AF，此时A、D两点都满足到EF两端点距离相等，因此AD就是EF的垂直平分线。
(2)求DE的长度可利用面积拆分法：△ABC的面积等于△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的高分别为DE和DF，由(1)可知DE=DF，将已知的AB、AC长度和总面积代入面积公式，即可求出DE的长。
【解析】
(1)证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠DEA=∠DFA=90°。
在△AED和△AFD中，
$\begin{cases} ∠DEA=∠DFA \\ ∠EAD=∠FAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF。
∵AE=AF，DE=DF，
∴点A、D都在线段EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF。
(2)解：
由(1)得DE=DF，
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·DE+\frac{1}{2}AC·DF=\frac{1}{2}DE·(AB+AC)$，
将$S_{△ABC}=28$，AB=8，AC=6代入上式：
$28=\frac{1}{2}×DE×(8+6)$
整理得$7DE=28$，
解得DE=4。
【答案】
(1)AD垂直平分EF，证明成立；
(2)DE的长为4。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，覆盖了角平分线、全等三角形、垂直平分线判定等核心几何考点，同时考查了面积法求线段长度的常用技巧，解题时需注意逻辑推导的严谨性，熟练掌握拆分面积求解线段的方法。
【难度系数】
0.7