19.（本小题满分10分）
如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连接AE.
(1)求证：AB=EC.
(2)若△ABC的周长为20 cm，AC=7 cm，则DC的长为多少？

(1)证明：
∵EF 垂直平分AC，
∴AE=EC。
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE。
∴AB=EC。
(2)解：
∵△ABC 的周长为 20 cm，
∴AB+BC+AC=20(cm)。
∵AC=7 cm，
∴AB+BC=13(cm)。
∵AB=EC，BD=DE，
∴AB+BD=EC+DE=DC。
又
∵AB+BC=AB+BD+DC=2DC=13(cm)，
∴DC=$\frac{13}{2}$ cm。

【分析】
(1) 要证明AB=EC，可通过中间相等线段等量代换推导：首先由EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC；再由AD⊥BC且BD=DE，可知AD是BE的垂直平分线，因此AB=AE，代换后即可得到AB=EC。
(2) 求DC的长度时，先根据三角形周长和已知AC的长度，算出AB与BC的长度和；再结合第一问的AB=EC和已知BD=DE，把DC拆分为DE+EC，替换为BD+AB，进一步可推导出AB+BC的和等于2倍DC，代入数值即可求出DC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分线段BE，
∴AB=AE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∴AB=EC。
(2) 解：
∵△ABC的周长为20 cm，
∴AB+BC+AC=20 cm。
∵AC=7 cm，
∴AB+BC=20-7=13 cm。
∵AB=EC，BD=DE，
∴DC=DE+EC=BD+AB。
又
∵BC=BD+DE+EC，
∴AB+BC=AB+BD+DE+EC=(AB+BD)+(DE+EC)=DC+DC=2DC，
即2DC=13 cm，
∴DC=$\frac{13}{2}$ cm。
【答案】
(1) 证明成立，AB=EC；
(2) $\frac{13}{2}\ \mathrm{cm}$（或6.5 cm）
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是轴对称章节的基础常考题，核心考察线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是能找到中间相等线段完成转换，将未知线段和已知周长条件建立关联，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7