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5. 随机抽取某城市30天空气质量状况，统计如下：
其中当$w≤50$时，空气质量为优；当$50＜w≤100$时，空气质量为良；当$100＜w≤150$时，空气质量为轻度污染。
根据以上结果，试估计当月任意一天抽查该城市，这一天的空气质量达到良及以上的概率。
其中当$w≤50$时，空气质量为优；当$50＜w≤100$时，空气质量为良；当$100＜w≤150$时，空气质量为轻度污染。
根据以上结果，试估计当月任意一天抽查该城市，这一天的空气质量达到良及以上的概率。
答案
$P(空气质量达到良好及以上)=\frac{18}{30}=0.6$。
解析
【分析】
要计算空气质量达到良及以上的概率，首先明确判断标准：良及以上包含空气质量为优（$w≤50$）和良（$50＜w≤100$）两类。解题步骤为：①先确认总抽查天数；②统计符合良及以上标准的总天数；③根据用频率估计概率的方法，用符合条件的天数除以总天数，即可得到所求概率。
【解析】
首先计算本次抽取的总天数：$3+5+10+7+4+1=30$（天）
再统计空气质量达到良及以上的天数：
空气质量为优的天数：$w≤50$，对应$w=40$的天数为3天；
空气质量为良的天数：$50＜w≤100$，对应$w=70$、$w=90$的天数和为$5+10=15$天；
因此良及以上的总天数为$3+15=18$天。
根据用频率估计概率的方法，可得：
$P(\mathrm{空气质量达到良好及以上})=\frac{\mathrm{良及以上的天数}}{\mathrm{总天数}}=\frac{18}{30}=0.6$
【答案】
$P(空气质量达到良好及以上)=\frac{18}{30}=0.6$
【知识点】
用频率估计概率；概率计算；统计分类
【点评】
本题结合空气质量的生活实际场景，考查统计数据的整理和概率的基本计算，解题核心是准确筛选出符合条件的样本数量，能有效考查学生对基础概率知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算空气质量达到良及以上的概率，首先明确判断标准：良及以上包含空气质量为优（$w≤50$）和良（$50＜w≤100$）两类。解题步骤为：①先确认总抽查天数；②统计符合良及以上标准的总天数；③根据用频率估计概率的方法，用符合条件的天数除以总天数，即可得到所求概率。
【解析】
首先计算本次抽取的总天数：$3+5+10+7+4+1=30$（天）
再统计空气质量达到良及以上的天数：
空气质量为优的天数：$w≤50$，对应$w=40$的天数为3天；
空气质量为良的天数：$50＜w≤100$，对应$w=70$、$w=90$的天数和为$5+10=15$天；
因此良及以上的总天数为$3+15=18$天。
根据用频率估计概率的方法，可得：
$P(\mathrm{空气质量达到良好及以上})=\frac{\mathrm{良及以上的天数}}{\mathrm{总天数}}=\frac{18}{30}=0.6$
【答案】
$P(空气质量达到良好及以上)=\frac{18}{30}=0.6$
【知识点】
用频率估计概率；概率计算；统计分类
【点评】
本题结合空气质量的生活实际场景，考查统计数据的整理和概率的基本计算，解题核心是准确筛选出符合条件的样本数量，能有效考查学生对基础概率知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的整数。若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于$\frac{1}{9999}$，则密码的位数至少为（
A.五位
B.四位
C.三位
D.二位
B
）。A.五位
B.四位
C.三位
D.二位
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先明确密码每位的取值范围是0到9，共10种可能，n位密码的总等可能组合数为10的n次方。一次拨对密码只有1种正确情况，因此一次拨对的概率为$\frac{1}{10^n}$。接下来根据题目给出的概率小于$\frac{1}{9999}$的要求列出不等式，求解不等式得到最小的正整数n即可。
【解析】
设密码的位数为$n$位（$n$为正整数）：
1. 每位密码有0~9共10种选择，因此$n$位密码的总等可能组合数为$10^n$种，一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
2. 根据题意列不等式：$\frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{9999}$。
3. 由于$10^n$和9999均为正数，不等式两边同时取倒数，不等号方向改变，得$10^n ＞ 9999$。
4. 代入正整数验证：
当$n=3$时，$10^3=1000＜9999$，不符合要求；
当$n=4$时，$10^4=10000＞9999$，符合要求。
因此密码的位数至少为4位。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，简单不等式求解，分步计数原理
【点评】
本题是概率在生活场景中的典型应用，解题核心是先准确计算不同位数密码的总组合数，再结合概率公式列不等式求解，需要注意正数范围内不等式两边取倒数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确密码每位的取值范围是0到9，共10种可能，n位密码的总等可能组合数为10的n次方。一次拨对密码只有1种正确情况，因此一次拨对的概率为$\frac{1}{10^n}$。接下来根据题目给出的概率小于$\frac{1}{9999}$的要求列出不等式，求解不等式得到最小的正整数n即可。
【解析】
设密码的位数为$n$位（$n$为正整数）：
1. 每位密码有0~9共10种选择，因此$n$位密码的总等可能组合数为$10^n$种，一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
2. 根据题意列不等式：$\frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{9999}$。
3. 由于$10^n$和9999均为正数，不等式两边同时取倒数，不等号方向改变，得$10^n ＞ 9999$。
4. 代入正整数验证：
当$n=3$时，$10^3=1000＜9999$，不符合要求；
当$n=4$时，$10^4=10000＞9999$，符合要求。
因此密码的位数至少为4位。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，简单不等式求解，分步计数原理
【点评】
本题是概率在生活场景中的典型应用，解题核心是先准确计算不同位数密码的总组合数，再结合概率公式列不等式求解，需要注意正数范围内不等式两边取倒数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
7. 某校科技社团在探究“频率估计概率”时，设计了一个试验。在一块面积为400 cm²的长方形展板上绘制了如图所示不规则阴影区域，社团成员从固定位置向展板随机投掷飞镖（假设飞镖均落在展板内，且落在各区域的概率相同，不落在边缘）。飞镖扎在阴影区域的试验记录如下表，据此估计展板中阴影部分的面积为（
A.112 cm²
B.120 cm²
C.128 cm²
D.140 cm²
C
）。A.112 cm²
B.120 cm²
C.128 cm²
D.140 cm²
答案
7. C
解析
【分析】
解题需结合两个核心知识点思考：第一，大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，可通过试验得到的频率估计对应事件的概率；第二，飞镖落在任意位置概率相等的前提下，飞镖落在阴影区域的概率等于阴影面积与展板总面积的比值。解题步骤为：首先从试验记录中找到稳定的频率值，作为飞镖落在阴影区域的概率，再利用概率与面积的关系变形计算，即可得到阴影区域的面积。
【解析】
根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，飞镖落在阴影区域的频率稳定在0.32附近，因此可估计飞镖落在阴影区域的概率为0.32。
由几何概率的计算规则可知：
$ P(\mathrm{落在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{展板总面积}}} $
已知展板总面积为$ 400\mathrm{cm}^2 $，代入公式变形可得：
$ S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{展板总面积}} × P(\mathrm{落在阴影区域})=400×0.32=128\mathrm{cm}^2 $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率，几何概率计算，概率的应用
【点评】
本题结合实际试验场景考查概率的简单应用，解题关键是明确频率与概率的对应关系，以及几何概率和区域面积的关联，属于概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题需结合两个核心知识点思考：第一，大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，可通过试验得到的频率估计对应事件的概率；第二，飞镖落在任意位置概率相等的前提下，飞镖落在阴影区域的概率等于阴影面积与展板总面积的比值。解题步骤为：首先从试验记录中找到稳定的频率值，作为飞镖落在阴影区域的概率，再利用概率与面积的关系变形计算，即可得到阴影区域的面积。
【解析】
根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，飞镖落在阴影区域的频率稳定在0.32附近，因此可估计飞镖落在阴影区域的概率为0.32。
由几何概率的计算规则可知：
$ P(\mathrm{落在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{展板总面积}}} $
已知展板总面积为$ 400\mathrm{cm}^2 $，代入公式变形可得：
$ S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{展板总面积}} × P(\mathrm{落在阴影区域})=400×0.32=128\mathrm{cm}^2 $
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率，几何概率计算，概率的应用
【点评】
本题结合实际试验场景考查概率的简单应用，解题关键是明确频率与概率的对应关系，以及几何概率和区域面积的关联，属于概率章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 小明一家五口周末乘坐动车出游，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车座位示意图）。进入该车厢后，小明的妈妈先从这五个座位中随机选择一个坐下，然后小明从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则妈妈和小明的座位相邻（过道两侧也视为相邻）的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
8. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题是两步随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先计算妈妈和小明选座的所有等可能结果总数，再结合“过道两侧视为相邻”的规则，分类枚举妈妈坐不同座位时，小明能选的相邻座位数量，得到符合条件的结果总数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
第一步：计算总等可能情况数
妈妈先从5个座位中随机选1个，有5种选择；小明再从剩余4个座位中随机选1个，有4种选择，因此总共有$5×4=20$种等可能的选座情况。
第二步：计算座位相邻的符合条件的情况数
明确各座位的相邻座位：A的相邻座位仅B；B的相邻座位为A、C；C的相邻座位为B、D（过道两侧视为相邻）；D的相邻座位为C、F；F的相邻座位仅D。
分类枚举：
①妈妈选A时，小明仅选B符合相邻，共1种情况；
②妈妈选B时，小明选A、C符合相邻，共2种情况；
③妈妈选C时，小明选B、D符合相邻，共2种情况；
④妈妈选D时，小明选C、F符合相邻，共2种情况；
⑤妈妈选F时，小明仅选D符合相邻，共1种情况。
符合条件的总情况数为$1+2+2+2+1=8$种。
第三步：计算概率
根据概率公式，$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
简单事件概率计算，分类枚举法，分步计数原理
【点评】
本题结合实际乘车场景考查概率的简单应用，解题的核心是准确理解相邻规则，分类计数时做到不重不漏，是概率应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是两步随机事件的概率计算问题，解题思路如下：首先计算妈妈和小明选座的所有等可能结果总数，再结合“过道两侧视为相邻”的规则，分类枚举妈妈坐不同座位时，小明能选的相邻座位数量，得到符合条件的结果总数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算即可。
【解析】
第一步：计算总等可能情况数
妈妈先从5个座位中随机选1个，有5种选择；小明再从剩余4个座位中随机选1个，有4种选择，因此总共有$5×4=20$种等可能的选座情况。
第二步：计算座位相邻的符合条件的情况数
明确各座位的相邻座位：A的相邻座位仅B；B的相邻座位为A、C；C的相邻座位为B、D（过道两侧视为相邻）；D的相邻座位为C、F；F的相邻座位仅D。
分类枚举：
①妈妈选A时，小明仅选B符合相邻，共1种情况；
②妈妈选B时，小明选A、C符合相邻，共2种情况；
③妈妈选C时，小明选B、D符合相邻，共2种情况；
④妈妈选D时，小明选C、F符合相邻，共2种情况；
⑤妈妈选F时，小明仅选D符合相邻，共1种情况。
符合条件的总情况数为$1+2+2+2+1=8$种。
第三步：计算概率
根据概率公式，$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
简单事件概率计算，分类枚举法，分步计数原理
【点评】
本题结合实际乘车场景考查概率的简单应用，解题的核心是准确理解相邻规则，分类计数时做到不重不漏，是概率应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
