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1. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的相似比是
1:2
，周长之比是1:2
，面积之比是1:4
。答案
1:2;1:2;1:4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“DE是△ABC的中位线”切入，先回忆三角形中位线的性质，可得到DE与BC的平行关系和长度比例关系，由此可判定△ADE与△ABC相似，得到二者的相似比。再结合相似三角形的对应性质：周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，就可以依次求出对应的比值。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴相似比为$DE:BC=1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此$△ ADE$与$△ ABC$的周长之比为$1:2$；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此二者的面积之比为$(1:2)^2=1:4$。
【答案】
$1:2$;$1:2$;$1:4$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查的是中位线性质和相似三角形性质的结合应用，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先从已知条件“DE是△ABC的中位线”切入，先回忆三角形中位线的性质，可得到DE与BC的平行关系和长度比例关系，由此可判定△ADE与△ABC相似，得到二者的相似比。再结合相似三角形的对应性质：周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，就可以依次求出对应的比值。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴$∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴相似比为$DE:BC=1:2$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，因此$△ ADE$与$△ ABC$的周长之比为$1:2$；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此二者的面积之比为$(1:2)^2=1:4$。
【答案】
$1:2$;$1:2$;$1:4$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查的是中位线性质和相似三角形性质的结合应用，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 两个相似三角形的相似比为$2:3$，它们的面积之差为15，则这两个三角形的面积之和是（
A.39
B.75
C.76
D.40
A
）。A.39
B.75
C.76
D.40
答案
A
解析
【分析】
本题考查相似三角形的面积相关计算，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先由已知的相似比推导出两个三角形的面积比；再根据面积差的条件，采用设参数的方式建立方程求解参数，最后代入计算两个三角形的面积之和即可。
【解析】
解：
∵ 两个相似三角形的相似比为$2:3$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 这两个三角形的面积比为$(2:3)^2=4:9$
设两个三角形的面积分别为$4x$、$9x$（$x＞0$）
由题意得面积之差为15，可列方程：
$9x - 4x = 15$
解得：$5x=15$，$x=3$
则两个三角形的面积之和为：
$4x + 9x = 13x = 13×3=39$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积比性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，通过设参数的方法可以快速建立等量关系求解，计算量较小，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的面积相关计算，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先由已知的相似比推导出两个三角形的面积比；再根据面积差的条件，采用设参数的方式建立方程求解参数，最后代入计算两个三角形的面积之和即可。
【解析】
解：
∵ 两个相似三角形的相似比为$2:3$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 这两个三角形的面积比为$(2:3)^2=4:9$
设两个三角形的面积分别为$4x$、$9x$（$x＞0$）
由题意得面积之差为15，可列方程：
$9x - 4x = 15$
解得：$5x=15$，$x=3$
则两个三角形的面积之和为：
$4x + 9x = 13x = 13×3=39$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积比性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，通过设参数的方法可以快速建立等量关系求解，计算量较小，不易出错。
【难度系数】
0.8
3. 某地图上$1\ \mathrm{cm}^2$面积表示实际面积$900\ \mathrm{m}^2$，则该地图的比例尺是（
A.$1:30$
B.$1:3000$
C.$1:900$
D.$1:9000000$
B
）。A.$1:30$
B.$1:3000$
C.$1:900$
D.$1:9000000$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确：比例尺是图上长度与实际长度的比值，属于长度比；其次地图和实际地域是相似图形，结合相似图形的性质：面积比等于相似比（即比例尺）的平方，因此需要先统一单位算出面积比，再对面积比开平方得到长度的比例尺，注意不能直接把面积比当作比例尺，也不能忽略单位换算。
【解析】
解：设该地图的比例尺为$1:x$（$x$为图上$1\ \mathrm{cm}$对应的实际长度，单位：$\mathrm{cm}$）
1. 统一单位：
$\because 1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
$\therefore$ 实际面积$900\ \mathrm{m}^2=900×(100\ \mathrm{cm})^2=9000000\ \mathrm{cm}^2$
2. 根据相似图形面积比等于相似比的平方列等式：
图上面积与实际面积的比等于比例尺的平方，即：
$(\dfrac{1}{x})^2=\dfrac{1\ \mathrm{cm}^2}{9000000\ \mathrm{cm}^2}$
化简得：$\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{9000000}$
解得$x=\sqrt{9000000}=3000$（长度为正，舍去负根）
因此该地图的比例尺为$1:3000$。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似图形的性质
2. 比例尺的定义
【点评】
本题的易错点有两处：一是直接将面积比当作比例尺选D，二是未统一单位直接对900开平方选A，解题时要牢记比例尺是长度比，结合相似图形面积和相似比的关系计算，同时要注意单位统一。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：比例尺是图上长度与实际长度的比值，属于长度比；其次地图和实际地域是相似图形，结合相似图形的性质：面积比等于相似比（即比例尺）的平方，因此需要先统一单位算出面积比，再对面积比开平方得到长度的比例尺，注意不能直接把面积比当作比例尺，也不能忽略单位换算。
【解析】
解：设该地图的比例尺为$1:x$（$x$为图上$1\ \mathrm{cm}$对应的实际长度，单位：$\mathrm{cm}$）
1. 统一单位：
$\because 1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}$
$\therefore$ 实际面积$900\ \mathrm{m}^2=900×(100\ \mathrm{cm})^2=9000000\ \mathrm{cm}^2$
2. 根据相似图形面积比等于相似比的平方列等式：
图上面积与实际面积的比等于比例尺的平方，即：
$(\dfrac{1}{x})^2=\dfrac{1\ \mathrm{cm}^2}{9000000\ \mathrm{cm}^2}$
化简得：$\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{9000000}$
解得$x=\sqrt{9000000}=3000$（长度为正，舍去负根）
因此该地图的比例尺为$1:3000$。
【答案】
B
【知识点】
1. 相似图形的性质
2. 比例尺的定义
【点评】
本题的易错点有两处：一是直接将面积比当作比例尺选D，二是未统一单位直接对900开平方选A，解题时要牢记比例尺是长度比，结合相似图形面积和相似比的关系计算，同时要注意单位统一。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$AD:AB=2:3$。
（1）若$△ ADE$的周长为6，求$△ ABC$的周长。
（2）若$S_{\mathrm{梯形}BCED}=20$，求$S_{△ ADE}$。
（1）若$△ ADE$的周长为6，求$△ ABC$的周长。
（2）若$S_{\mathrm{梯形}BCED}=20$，求$S_{△ ADE}$。
答案
(1) 9 (2) 16
解析
【分析】
已知DE平行于BC，首先根据“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”可判定△ADE∽△ABC，得到相似比为AD:AB=2:3。（1）问求△ABC的周长，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质列式求解；（2）问求△ADE的面积，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方得到两个三角形的面积比，再结合梯形BCED的面积等于△ABC与△ADE的面积差，列方程计算即可。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
（1）
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$，
将$C_{△ ADE}=6$代入得：$\frac{6}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$，
解得$C_{△ ABC}=6×\frac{3}{2}=9$。
（2）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
设$S_{△ ADE}=4x$，则$S_{△ ABC}=9x$，
∵$S_{梯形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=20$，
∴$9x-4x=20$，解得$x=4$，
∴$S_{△ ADE}=4x=4×4=16$。
【答案】
（1）$\boxed{9}$；（2）$\boxed{16}$
【知识点】
1. 平行线判定相似三角形
2. 相似三角形周长比性质
3. 相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先通过平行线判定三角形相似，再结合相似比对应周长比、面积比的关系列式计算，注意区分周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，避免混淆两类性质导致计算错误。
【难度系数】
0.8
已知DE平行于BC，首先根据“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似”可判定△ADE∽△ABC，得到相似比为AD:AB=2:3。（1）问求△ABC的周长，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质列式求解；（2）问求△ADE的面积，先利用相似三角形面积比等于相似比的平方得到两个三角形的面积比，再结合梯形BCED的面积等于△ABC与△ADE的面积差，列方程计算即可。
【解析】
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$。
（1）
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$，
将$C_{△ ADE}=6$代入得：$\frac{6}{C_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$，
解得$C_{△ ABC}=6×\frac{3}{2}=9$。
（2）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
设$S_{△ ADE}=4x$，则$S_{△ ABC}=9x$，
∵$S_{梯形BCED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=20$，
∴$9x-4x=20$，解得$x=4$，
∴$S_{△ ADE}=4x=4×4=16$。
【答案】
（1）$\boxed{9}$；（2）$\boxed{16}$
【知识点】
1. 平行线判定相似三角形
2. 相似三角形周长比性质
3. 相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先通过平行线判定三角形相似，再结合相似比对应周长比、面积比的关系列式计算，注意区分周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，避免混淆两类性质导致计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$Rt△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的高线。已知$S_{△ ACD}:S_{△ CBD}=4:9$，$AC=6$，求$△ ABC$的周长和面积。
答案
由题意易证$△ ACD∽△ CBD$。因为$S_{△ ACD}:S_{△ CBD}=4:9$，所以$AC:CB=2:3$，得$BC=9$，则$AB=3\sqrt{13}$。所以$△ ABC$的周长为$6+9+3\sqrt{13}=15+3\sqrt{13}$，面积是$\frac{1}{2}×6×9=27$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，由此可想到该模型中△ACD与△CBD相似。首先证明两个三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，由已知的面积比推导出对应边AC与BC的比值，代入AC=6求出BC的长度，再用勾股定理计算斜边AB的长度，最后分别计算三角形的周长和面积即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$S_{△ ACD}:S_{△ CBD}=4:9$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴相似比为$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，
将AC=6代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$，解得BC=9。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∴△ABC的周长为$AC+BC+AB=6+9+3\sqrt{13}=15+3\sqrt{13}$，
△ABC的面积为$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×9=27$。
【答案】
周长为$15+3\sqrt{13}$，面积为27
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用，解题关键是识别直角三角形斜边上的高构成的相似三角形模型，结合面积比得到边长关系，再结合勾股定理求解，熟练掌握相关性质和模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：Rt△ABC中CD是斜边AB上的高，由此可想到该模型中△ACD与△CBD相似。首先证明两个三角形相似，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，由已知的面积比推导出对应边AC与BC的比值，代入AC=6求出BC的长度，再用勾股定理计算斜边AB的长度，最后分别计算三角形的周长和面积即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$S_{△ ACD}:S_{△ CBD}=4:9$，相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴相似比为$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，
将AC=6代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$，解得BC=9。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$，
∴△ABC的周长为$AC+BC+AB=6+9+3\sqrt{13}=15+3\sqrt{13}$，
△ABC的面积为$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×6×9=27$。
【答案】
周长为$15+3\sqrt{13}$，面积为27
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用，解题关键是识别直角三角形斜边上的高构成的相似三角形模型，结合面积比得到边长关系，再结合勾股定理求解，熟练掌握相关性质和模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
