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6. 如图，在$△ ABC$中，$AC=2$，$BC=4$，$D$为$BC$边上一点，且$∠ CAD=∠ B$。若$△ ADC$的面积为3，则$△ ABD$的面积为________。
（第6题）
（第6题）答案
9。提示: 因为$∠CAD=∠B$，$∠ACD=∠BCA$，所以$△ ACD∽△ BCA$，所以$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=(\frac{AC}{BC})^2$，所以$\frac{3}{S_{△ BCA}}=\frac{1}{4}$，解得$△ BCA$的面积为12，所以$△ ABD$的面积为$12-3=9$。
解析
【分析】
首先从已知角相等的条件入手，∠CAD=∠B，且△ACD和△BCA存在公共角∠C，可根据相似三角形的判定定理推出两三角形相似。再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算出大三角形△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，就能得到△ABD的面积。
【解析】
解：在$△ ACD$和$△ BCA$中：
$\because ∠CAD=∠B$，$∠ACD=∠BCA$（公共角相等）
$\therefore △ ACD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=(\frac{AC}{BC})^2$
将$AC=2$，$BC=4$，$S_{△ ACD}=3$代入上式：
$\frac{3}{S_{△ BCA}}=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$
解得$S_{△ BCA}=12$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCA}-S_{△ ACD}=12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的面积性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是通过两组等角快速识别相似三角形，再利用面积比与相似比的关系求解，整体逻辑清晰，计算难度低，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
首先从已知角相等的条件入手，∠CAD=∠B，且△ACD和△BCA存在公共角∠C，可根据相似三角形的判定定理推出两三角形相似。再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，先计算出大三角形△ABC的面积，最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，就能得到△ABD的面积。
【解析】
解：在$△ ACD$和$△ BCA$中：
$\because ∠CAD=∠B$，$∠ACD=∠BCA$（公共角相等）
$\therefore △ ACD ∽ △ BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=(\frac{AC}{BC})^2$
将$AC=2$，$BC=4$，$S_{△ ACD}=3$代入上式：
$\frac{3}{S_{△ BCA}}=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$
解得$S_{△ BCA}=12$
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCA}-S_{△ ACD}=12-3=9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的面积性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是通过两组等角快速识别相似三角形，再利用面积比与相似比的关系求解，整体逻辑清晰，计算难度低，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
7.（多选题）如图，点D，E，F，G为$△ ABC$两边上的点，且$DE// FG// BC$。若DE，FG将$△ ABC$的面积三等分，则下列结论正确的是（
A.$\frac{DF}{FB}=1$
B.$\frac{AD}{FB}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{AD}{DF}=\sqrt{2}+1$
BD
）。A.$\frac{DF}{FB}=1$
B.$\frac{AD}{FB}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
C.$\frac{AD}{DB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{AD}{DF}=\sqrt{2}+1$
答案
BD。提示: 因为 DE, FG 将$△ ABC$的面积三等分, 所以设$△ ADE,△ AFG,△ ABC$的面积分别为$a,2a,3a$。因为$DE// FG// BC$, 所以$△ ADE∽△ AFG∽△ ABC$,所以$\frac{a}{2a}=(\frac{AD}{AF})^2=(\frac{DE}{FG})^2,\frac{a}{3a}=(\frac{AD}{AB})^2,\frac{2a}{3a}=(\frac{AF}{AB})^2$, 所以$AF=\sqrt{2}AD,AB=\sqrt{3}AD,BF=(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD,DF=(\sqrt{2}-1)AD,BD=(\sqrt{3}-1)AD$, 所以$\frac{AD}{FB}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2},\frac{AD}{DF}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
已知DE//FG//BC，可先推出△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合DE、FG将△ABC面积三等分，得到三个三角形的面积比为1:2:3；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出对应边的比例关系，将各线段用AD表示后，逐一计算选项中的比值即可判断正误。
【解析】
设△ADE、△AFG、△ABC的面积分别为a、2a、3a。
∵ DE//FG//BC，
∴ △ADE∽△AFG∽△ABC。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AFG}}=(\frac{AD}{AF})^2=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，解得$AF=\sqrt{2}AD$；
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，解得$AB=\sqrt{3}AD$。
由此可得各线段长度：
$DF=AF-AD=\sqrt{2}AD-AD=(\sqrt{2}-1)AD$，
$FB=AB-AF=\sqrt{3}AD-\sqrt{2}AD=(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD$，
$DB=AB-AD=\sqrt{3}AD-AD=(\sqrt{3}-1)AD$。
逐一判断选项：
A选项：$\frac{DF}{FB}=\frac{(\sqrt{2}-1)AD}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})≠1$，A错误；
B选项：$\frac{AD}{FB}=\frac{AD}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$（分母有理化），B正确；
C选项：$\frac{AD}{DB}=\frac{AD}{(\sqrt{3}-1)AD}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，C错误；
D选项：$\frac{AD}{DF}=\frac{AD}{(\sqrt{2}-1)AD}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$（分母有理化），D正确。
【答案】
BD
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题目，解题核心是利用面积比得到相似比，通过设参数表示各线段长度后计算比值，需要注意分母有理化的正确运算，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
已知DE//FG//BC，可先推出△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合DE、FG将△ABC面积三等分，得到三个三角形的面积比为1:2:3；接下来利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出对应边的比例关系，将各线段用AD表示后，逐一计算选项中的比值即可判断正误。
【解析】
设△ADE、△AFG、△ABC的面积分别为a、2a、3a。
∵ DE//FG//BC，
∴ △ADE∽△AFG∽△ABC。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AFG}}=(\frac{AD}{AF})^2=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，解得$AF=\sqrt{2}AD$；
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$，解得$AB=\sqrt{3}AD$。
由此可得各线段长度：
$DF=AF-AD=\sqrt{2}AD-AD=(\sqrt{2}-1)AD$，
$FB=AB-AF=\sqrt{3}AD-\sqrt{2}AD=(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD$，
$DB=AB-AD=\sqrt{3}AD-AD=(\sqrt{3}-1)AD$。
逐一判断选项：
A选项：$\frac{DF}{FB}=\frac{(\sqrt{2}-1)AD}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})≠1$，A错误；
B选项：$\frac{AD}{FB}=\frac{AD}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})AD}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$（分母有理化），B正确；
C选项：$\frac{AD}{DB}=\frac{AD}{(\sqrt{3}-1)AD}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，C错误；
D选项：$\frac{AD}{DF}=\frac{AD}{(\sqrt{2}-1)AD}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$（分母有理化），D正确。
【答案】
BD
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形面积性质、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题目，解题核心是利用面积比得到相似比，通过设参数表示各线段长度后计算比值，需要注意分母有理化的正确运算，避免计算出错。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,$BC=2,S_{△ ABC}=1$。$P$是$BC$上任意一点(点$P$与点$B,C$不重合),$□ AFPE$的顶点$F,E$分别在$AB,AC$上。设$BP=x$,$□ AFPE$的面积为$y$。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式。
(2) 上述函数有最大或最小值吗?若有,求当$x$取何值时,$y$有最大或最小值;若没有,请说明理由。
(1) 求$y$关于$x$的函数表达式。
(2) 上述函数有最大或最小值吗?若有,求当$x$取何值时,$y$有最大或最小值;若没有,请说明理由。
答案
(1) 由$△ BFP∽△ BAC$,得$\frac{S_{△ BFP}}{S_{△ BAC}}=(\frac{x}{2})^2$,即$S_{△ BFP}=\frac{x^2}{4}$。同理$S_{△ PEC}=\frac{(2-x)^2}{4}$。所以$y=S_{△ ABC}-S_{△ BFP}-S_{△ PEC}=1-\frac{x^2}{4}-\frac{(2-x)^2}{4}$,即$y=-\frac{x^2}{2}+x(0＜x＜2)$。
(2) $y=-\frac{x^2}{2}+x=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,所以当$x=1$时,$y$有最大值,为$\frac{1}{2}$。
(2) $y=-\frac{x^2}{2}+x=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,所以当$x=1$时,$y$有最大值,为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求平行四边形AFPE的面积可采用总面积减部分面积的思路：已知△ABC的总面积，先根据平行四边形对边平行的性质，证得△BFP、△PEC都与△BAC相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别用含x的式子表示两个小三角形的面积，用大三角形面积减去两个小三角形面积即可得到y与x的函数关系式，注意x的取值范围是0＜x＜2。
(2) 判断二次函数的最值时，先将第一问得到的函数解析式配方，结合二次项系数的符号判断抛物线开口方向，再结合自变量的取值范围，即可确定最值的情况。
【解析】
(1)
∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF//AC，PE//AB，
∴△BFP∽△BAC，△PEC∽△BAC。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△BFP}}{S_{△ABC}}=(\frac{BP}{BC})^2=(\frac{x}{2})^2$，已知$S_{△ABC}=1$，
∴$S_{△BFP}=\frac{x^2}{4}$。
同理可得PC=BC-BP=2-x，
$\frac{S_{△PEC}}{S_{△ABC}}=(\frac{PC}{BC})^2=(\frac{2-x}{2})^2$，
∴$S_{△PEC}=\frac{(2-x)^2}{4}$。
则平行四边形AFPE的面积：
$y=S_{△ABC}-S_{△BFP}-S_{△PEC}=1-\frac{x^2}{4}-\frac{(2-x)^2}{4}$，
化简得$y=-\frac{1}{2}x^2+x$，其中$0＜x＜2$。
(2) 将函数解析式配方得：
$y=-\frac{1}{2}x^2+x=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$，
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且x=1在$0＜x＜2$范围内，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x(0＜x＜2)$
(2) 有最大值，当$x=1$时，$y$的最大值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形与二次函数结合的综合题，解题的关键是灵活运用相似三角形面积比与相似比的关系表示出相关图形的面积，再结合二次函数的性质求解最值，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求平行四边形AFPE的面积可采用总面积减部分面积的思路：已知△ABC的总面积，先根据平行四边形对边平行的性质，证得△BFP、△PEC都与△BAC相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，分别用含x的式子表示两个小三角形的面积，用大三角形面积减去两个小三角形面积即可得到y与x的函数关系式，注意x的取值范围是0＜x＜2。
(2) 判断二次函数的最值时，先将第一问得到的函数解析式配方，结合二次项系数的符号判断抛物线开口方向，再结合自变量的取值范围，即可确定最值的情况。
【解析】
(1)
∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF//AC，PE//AB，
∴△BFP∽△BAC，△PEC∽△BAC。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△BFP}}{S_{△ABC}}=(\frac{BP}{BC})^2=(\frac{x}{2})^2$，已知$S_{△ABC}=1$，
∴$S_{△BFP}=\frac{x^2}{4}$。
同理可得PC=BC-BP=2-x，
$\frac{S_{△PEC}}{S_{△ABC}}=(\frac{PC}{BC})^2=(\frac{2-x}{2})^2$，
∴$S_{△PEC}=\frac{(2-x)^2}{4}$。
则平行四边形AFPE的面积：
$y=S_{△ABC}-S_{△BFP}-S_{△PEC}=1-\frac{x^2}{4}-\frac{(2-x)^2}{4}$，
化简得$y=-\frac{1}{2}x^2+x$，其中$0＜x＜2$。
(2) 将函数解析式配方得：
$y=-\frac{1}{2}x^2+x=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$，
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且x=1在$0＜x＜2$范围内，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x(0＜x＜2)$
(2) 有最大值，当$x=1$时，$y$的最大值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形与二次函数结合的综合题，解题的关键是灵活运用相似三角形面积比与相似比的关系表示出相关图形的面积，再结合二次函数的性质求解最值，较好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
