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9. 如图,在每个小正方形的边长为1的网格图中,$Rt△ ABC$是格点三角形(三角形的顶点都在格点上)。
(1) 在图中画出与$Rt△ ABC$相似且边长放大到$\sqrt{2}$倍的格点三角形。
(2) 在图中画出与$Rt△ ABC$相似且面积最大的格点三角形。
(1) 在图中画出与$Rt△ ABC$相似且边长放大到$\sqrt{2}$倍的格点三角形。
(2) 在图中画出与$Rt△ ABC$相似且面积最大的格点三角形。
答案
9. (1) 略
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=1,BC=2$,所以$AB=\sqrt{5}$,$AC:BC=1:2$,所以与$\mathrm{Rt}△ ABC$相似的格点三角形的两直角边的比为$1:2$。若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8。但在$6×6$的网格图中,最长线段为$6\sqrt{2}$,画不出端点都在格点上且长为8的线段,故最短直角边长应小于4。可画出边长为$\sqrt{10},2\sqrt{10},5\sqrt{2}$的格点三角形。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=1,BC=2$,所以$AB=\sqrt{5}$,$AC:BC=1:2$,所以与$\mathrm{Rt}△ ABC$相似的格点三角形的两直角边的比为$1:2$。若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8。但在$6×6$的网格图中,最长线段为$6\sqrt{2}$,画不出端点都在格点上且长为8的线段,故最短直角边长应小于4。可画出边长为$\sqrt{10},2\sqrt{10},5\sqrt{2}$的格点三角形。
解析
【分析】
解决本题首先需要明确原直角三角形的边长和直角边比例：(1) 要画边长放大到$\sqrt{2}$倍的相似三角形，根据相似三角形性质，新三角形各边为原边长乘$\sqrt{2}$，且直角边比例仍为1:2，结合格点线段的长度特征即可构造符合要求的三角形；(2) 要画面积最大的相似格点三角形，面积最大对应边长最大，需结合6×6网格的线段长度限制，排除无法画出的边长，找到最大的符合直角边1:2比例的格点三角形边长即可。
【解析】
(1) 先计算原$\mathrm{Rt}△ ABC$的边长：由网格小正方形边长为1，得$AC=1$，$BC=2$，$∠ C=90°$，因此$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，两直角边比$AC:BC=1:2$。
将边长放大$\sqrt{2}$倍后，新三角形三边长分别为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$，直角边比仍为1:2。选取格点作为直角顶点，分别构造长度为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$且夹角为$90°$的两条线段，连接端点即可得到所求格点三角形。
(2) 要使相似三角形面积最大，则边长需尽可能大，且两直角边比仍为1:2。
6×6网格中最长格点线段为网格对角线，长度为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。若设相似三角形短直角边长为$k$，则长直角边长为$2k$，斜边长为$\sqrt{5}k$。
若$k=4$，则长直角边为8，长度为8的线段需要8个单位的横向或纵向跨度，网格仅6个单位跨度，无法画出该格点线段；
尝试$k=\sqrt{10}$（$\sqrt{10}=\sqrt{3^2+1^2}$，为格点线段），则长直角边为$2\sqrt{10}=\sqrt{6^2+2^2}$，也为格点线段，斜边为$\sqrt{5}×\sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}＜6\sqrt{2}$，三个顶点均可落在格点上，此时三角形面积最大。
【答案】
(1) 略
(2) 可画出三边长为$\sqrt{10},2\sqrt{10},5\sqrt{2}$的格点三角形（画法不唯一）
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的应用，解题时既要运用相似的比例性质，也要考虑网格的实际限制，能有效提升数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要明确原直角三角形的边长和直角边比例：(1) 要画边长放大到$\sqrt{2}$倍的相似三角形，根据相似三角形性质，新三角形各边为原边长乘$\sqrt{2}$，且直角边比例仍为1:2，结合格点线段的长度特征即可构造符合要求的三角形；(2) 要画面积最大的相似格点三角形，面积最大对应边长最大，需结合6×6网格的线段长度限制，排除无法画出的边长，找到最大的符合直角边1:2比例的格点三角形边长即可。
【解析】
(1) 先计算原$\mathrm{Rt}△ ABC$的边长：由网格小正方形边长为1，得$AC=1$，$BC=2$，$∠ C=90°$，因此$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，两直角边比$AC:BC=1:2$。
将边长放大$\sqrt{2}$倍后，新三角形三边长分别为$1×\sqrt{2}=\sqrt{2}$，$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{5}×\sqrt{2}=\sqrt{10}$，直角边比仍为1:2。选取格点作为直角顶点，分别构造长度为$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$且夹角为$90°$的两条线段，连接端点即可得到所求格点三角形。
(2) 要使相似三角形面积最大，则边长需尽可能大，且两直角边比仍为1:2。
6×6网格中最长格点线段为网格对角线，长度为$\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。若设相似三角形短直角边长为$k$，则长直角边长为$2k$，斜边长为$\sqrt{5}k$。
若$k=4$，则长直角边为8，长度为8的线段需要8个单位的横向或纵向跨度，网格仅6个单位跨度，无法画出该格点线段；
尝试$k=\sqrt{10}$（$\sqrt{10}=\sqrt{3^2+1^2}$，为格点线段），则长直角边为$2\sqrt{10}=\sqrt{6^2+2^2}$，也为格点线段，斜边为$\sqrt{5}×\sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}＜6\sqrt{2}$，三个顶点均可落在格点上，此时三角形面积最大。
【答案】
(1) 略
(2) 可画出三边长为$\sqrt{10},2\sqrt{10},5\sqrt{2}$的格点三角形（画法不唯一）
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，格点作图
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的应用，解题时既要运用相似的比例性质，也要考虑网格的实际限制，能有效提升数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
