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5. 已知:如图，AB//A'B'，BC//B'C'。求证:△ABC∽△A'B'C'。
答案
证明：
∵ $AB// A'B'$，
∴ $∠ OAB = ∠ OA'B'$，$∠ OBA = ∠ OB'A'$，
∴ $△ OAB ∽ △ OA'B'$，
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OB}{OB'}$。
∵ $BC// B'C'$，
∴ $∠ OCB = ∠ OC'B'$，$∠ OBC = ∠ OB'C'$，
∴ $△ OBC ∽ △ OB'C'$，
∴ $\frac{BC}{B'C'} = \frac{OB}{OB'} = \frac{OC}{OC'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$。
又∵ $∠ O$是$△ OAC$和$△ OA'C'$的公共角，且$\frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$，
∴ $△ OAC ∽ △ OA'C'$，
∴ $\frac{AC}{A'C'} = \frac{OA}{OA'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$。
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
∵ $AB// A'B'$，
∴ $∠ OAB = ∠ OA'B'$，$∠ OBA = ∠ OB'A'$，
∴ $△ OAB ∽ △ OA'B'$，
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OB}{OB'}$。
∵ $BC// B'C'$，
∴ $∠ OCB = ∠ OC'B'$，$∠ OBC = ∠ OB'C'$，
∴ $△ OBC ∽ △ OB'C'$，
∴ $\frac{BC}{B'C'} = \frac{OB}{OB'} = \frac{OC}{OC'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$。
又∵ $∠ O$是$△ OAC$和$△ OA'C'$的公共角，且$\frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$，
∴ $△ OAC ∽ △ OA'C'$，
∴ $\frac{AC}{A'C'} = \frac{OA}{OA'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$。
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△ABC∽△A'B'C'，可采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先结合已知的两组平行条件，利用平行线同位角相等的性质，分别证明△OAB∽△OA'B'、△OBC∽△OB'C'，得到AB与A'B'、BC与B'C'的比例关系，同时得到$\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}$；再利用公共角∠O证明△OAC∽△OA'C'，得到AC与A'C'的比例；最后通过比例的传递性得到△ABC和△A'B'C'的三边对应成比例，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB// A'B'$，
∴ $∠ OAB = ∠ OA'B'$，$∠ OBA = ∠ OB'A'$，
∴ $△ OAB ∽ △ OA'B'$，
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OB}{OB'}$。
∵ $BC// B'C'$，
∴ $∠ OCB = ∠ OC'B'$，$∠ OBC = ∠ OB'C'$，
∴ $△ OBC ∽ △ OB'C'$，
∴ $\frac{BC}{B'C'} = \frac{OB}{OB'} = \frac{OC}{OC'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$。
又
∵ $∠ O$是$△ OAC$和$△ OA'C'$的公共角，且$\frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$，
∴ $△ OAC ∽ △ OA'C'$，
∴ $\frac{AC}{A'C'} = \frac{OA}{OA'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$。
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC∽△A'B'C'，得证。
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，比例的等量代换
【点评】
本题是共顶点平行线类相似证明的典型题，核心是通过平行线推导得到基础的相似三角形，再借助比例的传递性得到待证三角形的三边比例关系，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC∽△A'B'C'，可采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。首先结合已知的两组平行条件，利用平行线同位角相等的性质，分别证明△OAB∽△OA'B'、△OBC∽△OB'C'，得到AB与A'B'、BC与B'C'的比例关系，同时得到$\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}$；再利用公共角∠O证明△OAC∽△OA'C'，得到AC与A'C'的比例；最后通过比例的传递性得到△ABC和△A'B'C'的三边对应成比例，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB// A'B'$，
∴ $∠ OAB = ∠ OA'B'$，$∠ OBA = ∠ OB'A'$，
∴ $△ OAB ∽ △ OA'B'$，
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OB}{OB'}$。
∵ $BC// B'C'$，
∴ $∠ OCB = ∠ OC'B'$，$∠ OBC = ∠ OB'C'$，
∴ $△ OBC ∽ △ OB'C'$，
∴ $\frac{BC}{B'C'} = \frac{OB}{OB'} = \frac{OC}{OC'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$。
又
∵ $∠ O$是$△ OAC$和$△ OA'C'$的公共角，且$\frac{OA}{OA'} = \frac{OC}{OC'}$，
∴ $△ OAC ∽ △ OA'C'$，
∴ $\frac{AC}{A'C'} = \frac{OA}{OA'}$。
∴ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$。
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
△ABC∽△A'B'C'，得证。
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，比例的等量代换
【点评】
本题是共顶点平行线类相似证明的典型题，核心是通过平行线推导得到基础的相似三角形，再借助比例的传递性得到待证三角形的三边比例关系，解题时要注意对应边的比例关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
6. 如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长相等的正方形。则∠1+∠2=
（第6题）
45°
。（第6题）答案
6. $45°$。提示:设正方形的边长为$a$,则$AC=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
因为$\frac{CA}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$,所以$\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$。因为$∠ ACF=∠ GCA$,所以$△ ACF∽△ GCA$,所以$∠ 1=∠ CAF$。因为$∠ CAF+∠ 2=45°$,所以$∠ 1+∠ 2=45°$。
因为$\frac{CA}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2},\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$,所以$\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$。因为$∠ ACF=∠ GCA$,所以$△ ACF∽△ GCA$,所以$∠ 1=∠ CAF$。因为$∠ CAF+∠ 2=45°$,所以$∠ 1+∠ 2=45°$。
解析
【分析】
要求∠1+∠2的度数，可通过角的转化求解。首先设正方形的边长为参数，计算相关线段的长度，尝试证明包含∠1、∠2的三角形相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠1转化为和它相等的角，再结合正方形的性质计算两角之和。第一步设每个正方形的边长为a，先求出线段AC、CF、CG的长度；第二步验证△ACF和△GCA的边成比例，且有公共夹角，证明两三角形相似；第三步利用相似性质得到∠1=∠CAF，再结合三角形外角性质和正方形对角线的角度特征，即可得到∠1+∠2的度数。
【解析】
设每个正方形的边长为$a$，
在正方形$ABCD$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
由图可得：$CF=a$，$CG=2a$，
则$\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
因此$\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$，
又因为$∠ACF=∠GCA$（公共角），
所以$△ ACF ∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
所以$∠1=∠CAF$（相似三角形对应角相等），
因为$∠ACB$是$△ ACF$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ACB=∠CAF+∠2$，
又因为正方形对角线平分内角，所以$∠ACB=45°$，
因此$∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何角度计算中的典型应用，解题核心是通过设参数计算线段长度，构造相似三角形实现角的转化，将未知角度和转化为已知的特殊角，对学生的线段计算、相似判定的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求∠1+∠2的度数，可通过角的转化求解。首先设正方形的边长为参数，计算相关线段的长度，尝试证明包含∠1、∠2的三角形相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠1转化为和它相等的角，再结合正方形的性质计算两角之和。第一步设每个正方形的边长为a，先求出线段AC、CF、CG的长度；第二步验证△ACF和△GCA的边成比例，且有公共夹角，证明两三角形相似；第三步利用相似性质得到∠1=∠CAF，再结合三角形外角性质和正方形对角线的角度特征，即可得到∠1+∠2的度数。
【解析】
设每个正方形的边长为$a$，
在正方形$ABCD$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
由图可得：$CF=a$，$CG=2a$，
则$\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
因此$\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$，
又因为$∠ACF=∠GCA$（公共角），
所以$△ ACF ∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
所以$∠1=∠CAF$（相似三角形对应角相等），
因为$∠ACB$是$△ ACF$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ACB=∠CAF+∠2$，
又因为正方形对角线平分内角，所以$∠ACB=45°$，
因此$∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形在几何角度计算中的典型应用，解题核心是通过设参数计算线段长度，构造相似三角形实现角的转化，将未知角度和转化为已知的特殊角，对学生的线段计算、相似判定的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7.（多选题）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个三角形框架的一边长为2，则它的另外两边长可以是（
A.2.5,3
B.2.4,3.2
C.1.6,2.4
D.$\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
ACD
）。A.2.5,3
B.2.4,3.2
C.1.6,2.4
D.$\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
答案
7. ACD。提示:题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应,所以应分别讨论：
①若边长为2的边与边长为4的边相对应,则另两边为2.5和3；
②若边长为2的边与边长为5的边相对应,则另两边为1.6和2.4；
③若边长为2的边与边长为6的边相对应,则另两边为$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{3}$。
①若边长为2的边与边长为4的边相对应,则另两边为2.5和3；
②若边长为2的边与边长为5的边相对应,则另两边为1.6和2.4；
③若边长为2的边与边长为6的边相对应,则另两边为$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
两个形状相同的三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，对应边成比例。由于题目未明确边长为2的边与原三角形的哪条边是对应边，因此需要分三种情况逐一讨论：分别令2对应原三角形的4、5、6边，计算每种相似比下另外两条边的长度，再与选项对比即可得出正确答案。
【解析】
解：
∵两个三角形框架形状相同，
∴两个三角形相似，对应边成比例，分三种情况讨论：
① 当边长为2的边与原三角形边长为4的边对应时，相似比$k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
则另外两边长分别为：$5×\frac{1}{2}=2.5$，$6×\frac{1}{2}=3$，对应选项A；
② 当边长为2的边与原三角形边长为5的边对应时，相似比$k=\frac{2}{5}$，
则另外两边长分别为：$4×\frac{2}{5}=1.6$，$6×\frac{2}{5}=2.4$，对应选项C；
③ 当边长为2的边与原三角形边长为6的边对应时，相似比$k=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
则另外两边长分别为：$4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，对应选项D。
选项B的数值不符合上述任何一种情况，故排除。
【答案】
ACD
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，比例计算
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题核心是明确对应边不唯一时要分情况讨论，易错点是遗漏对应情况导致漏选，计算得到边长后也可通过三角形三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
两个形状相同的三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，对应边成比例。由于题目未明确边长为2的边与原三角形的哪条边是对应边，因此需要分三种情况逐一讨论：分别令2对应原三角形的4、5、6边，计算每种相似比下另外两条边的长度，再与选项对比即可得出正确答案。
【解析】
解：
∵两个三角形框架形状相同，
∴两个三角形相似，对应边成比例，分三种情况讨论：
① 当边长为2的边与原三角形边长为4的边对应时，相似比$k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
则另外两边长分别为：$5×\frac{1}{2}=2.5$，$6×\frac{1}{2}=3$，对应选项A；
② 当边长为2的边与原三角形边长为5的边对应时，相似比$k=\frac{2}{5}$，
则另外两边长分别为：$4×\frac{2}{5}=1.6$，$6×\frac{2}{5}=2.4$，对应选项C；
③ 当边长为2的边与原三角形边长为6的边对应时，相似比$k=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
则另外两边长分别为：$4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，对应选项D。
选项B的数值不符合上述任何一种情况，故排除。
【答案】
ACD
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，比例计算
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题核心是明确对应边不唯一时要分情况讨论，易错点是遗漏对应情况导致漏选，计算得到边长后也可通过三角形三边关系验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
8. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似,“马”应落在的位置是(
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
B
)。A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
答案
8. B
解析
【分析】要判断两个三角形相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。第一步先设小正方形边长为1，用勾股定理计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长，得出三边的比值；第二步分别计算马落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长，求出三边比值，和已知三角形的比值对比，比值相同的即为正确选项。
【解析】设每个小正方形的边长为1。
首先计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长：
相到兵的距离：$2$
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
因此该三角形三边从小到大的比值为 $2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
已知车和炮的距离为1，当马落在②处时，计算“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长：
车到炮的距离：$1$
炮到马的距离：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
车到马的距离：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
因此该三角形三边从小到大的比值为 $1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边比值相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知此时两个三角形相似。
逐一验证其他位置，均不满足三边比值相等，因此“马”应落在②处。
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【点评】本题将象棋规则和相似三角形的判定结合，需要先通过勾股定理准确计算各边长度，再通过对比三边比例判断是否相似，解题时要注意将边长按从小到大排序后再对比比例，避免对应边匹配出错。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1。
首先计算“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边长：
相到兵的距离：$2$
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$
因此该三角形三边从小到大的比值为 $2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
已知车和炮的距离为1，当马落在②处时，计算“马”“车”“炮”构成的三角形的三边长：
车到炮的距离：$1$
炮到马的距离：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
车到马的距离：$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
因此该三角形三边从小到大的比值为 $1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$，和“帅”“相”“兵”构成的三角形的三边比值相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知此时两个三角形相似。
逐一验证其他位置，均不满足三边比值相等，因此“马”应落在②处。
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【点评】本题将象棋规则和相似三角形的判定结合，需要先通过勾股定理准确计算各边长度，再通过对比三边比例判断是否相似，解题时要注意将边长按从小到大排序后再对比比例，避免对应边匹配出错。
【难度系数】0.7
