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4. 计算：$\frac{3x^2}{y^3} · \frac{y}{x} =$ 。
答案
解：
$\frac{3x^2}{y^3} · \frac{y}{x} = \frac{3x^2 · y}{y^3 · x} = \frac{3x}{y^2}$
最终结果：$\frac{3x}{y^2}$
$\frac{3x^2}{y^3} · \frac{y}{x} = \frac{3x^2 · y}{y^3 · x} = \frac{3x}{y^2}$
最终结果：$\frac{3x}{y^2}$
5. 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分： $· ( -\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ) ÷ \dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x + 1}{x - 1}$。求被手遮住部分的代数式的最简形式。
答案
解：设被手遮住部分的代数式为$A$，
根据题意得：
$A · (-\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
因此
$\begin{aligned}A&=\frac{x+1}{x-1} · \frac{x}{x+1} ÷ (-\frac{x^2-1}{x^2-2x+1})\\&=\frac{x}{x-1} ÷ (-\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2})\\&=\frac{x}{x-1} ÷ (-\frac{x+1}{x-1})\\&=\frac{x}{x-1} · (-\frac{x-1}{x+1})\\&=-\frac{x}{x+1}\end{aligned}$
答：被手遮住部分的代数式的最简形式为$-\dfrac{x}{x+1}$。
根据题意得：
$A · (-\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x-1}$
因此
$\begin{aligned}A&=\frac{x+1}{x-1} · \frac{x}{x+1} ÷ (-\frac{x^2-1}{x^2-2x+1})\\&=\frac{x}{x-1} ÷ (-\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2})\\&=\frac{x}{x-1} ÷ (-\frac{x+1}{x-1})\\&=\frac{x}{x-1} · (-\frac{x-1}{x+1})\\&=-\frac{x}{x+1}\end{aligned}$
答：被手遮住部分的代数式的最简形式为$-\dfrac{x}{x+1}$。
6. 计算：$(xy - x^2) ÷ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy} · \frac{x - y}{x^2}$
答案
解：
原式 $= x(y - x) · \frac{xy}{(x - y)^2} · \frac{x - y}{x^2}$
$= -x(x - y) · \frac{xy}{(x - y)^2} · \frac{x - y}{x^2}$
$= \frac{-x · xy · (x - y)^2}{x^2 · (x - y)^2}$
$= -y$
原式 $= x(y - x) · \frac{xy}{(x - y)^2} · \frac{x - y}{x^2}$
$= -x(x - y) · \frac{xy}{(x - y)^2} · \frac{x - y}{x^2}$
$= \frac{-x · xy · (x - y)^2}{x^2 · (x - y)^2}$
$= -y$
7. 计算$(-\dfrac{3}{m})^2 · \dfrac{m}{9}$的结果是（）
A.$-\dfrac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\dfrac{1}{m}$
D.$m$
A.$-\dfrac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\dfrac{1}{m}$
D.$m$
答案
C
解析
先计算乘方运算：$(-\dfrac{3}{m})^2=\dfrac{9}{m^2}$，再计算分式乘法：$\dfrac{9}{m^2}·\dfrac{m}{9}=\dfrac{9m}{9m^2}$，约分后得$\dfrac{1}{m}$。
8. 化简 $ x^3 ÷ ( \dfrac{x^3}{y} )^2 $ 的结果是 （）
A.$ \dfrac{x^6}{y^2} $
B.$ x^3 y^2 $
C.$ \dfrac{y^2}{x^3} $
D.$ x^2 y^6 $
A.$ \dfrac{x^6}{y^2} $
B.$ x^3 y^2 $
C.$ \dfrac{y^2}{x^3} $
D.$ x^2 y^6 $
答案
C
解析
先计算分式的乘方：$(\frac{x^3}{y})^2 = \frac{(x^3)^2}{y^2} = \frac{x^6}{y^2}$，再将除法转化为乘法：$x^3 ÷ \frac{x^6}{y^2} = x^3 · \frac{y^2}{x^6}$，约分后得到结果为$\frac{y^2}{x^3}$。
9. 计算$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})$的结果是（）
A.$-\dfrac{8a}{b^4}$
B.$\dfrac{8a}{b^4}$
C.$-\dfrac{16a}{b^4}$
D.$\dfrac{16a}{b^4}$
A.$-\dfrac{8a}{b^4}$
B.$\dfrac{8a}{b^4}$
C.$-\dfrac{16a}{b^4}$
D.$\dfrac{16a}{b^4}$
答案
A
解析
先分别计算各分式的乘方：
$(-\dfrac{2a}{b^2})^2=\dfrac{(2a)^2}{(b^2)^2}=\dfrac{4a^2}{b^4}$，
$(\dfrac{2b}{a})^2=\dfrac{(2b)^2}{a^2}=\dfrac{4b^2}{a^2}$，
再将除法转化为乘法：除以$(-\dfrac{2b^2}{a})$等价于乘以$(-\dfrac{a}{2b^2})$，
依次相乘并约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{4a^2}{b^4}·\dfrac{4b^2}{a^2}·(-\dfrac{a}{2b^2})\\=&\dfrac{16}{b^2}·(-\dfrac{a}{2b^2})\\=&-\dfrac{8a}{b^4}\end{aligned}$
$(-\dfrac{2a}{b^2})^2=\dfrac{(2a)^2}{(b^2)^2}=\dfrac{4a^2}{b^4}$，
$(\dfrac{2b}{a})^2=\dfrac{(2b)^2}{a^2}=\dfrac{4b^2}{a^2}$，
再将除法转化为乘法：除以$(-\dfrac{2b^2}{a})$等价于乘以$(-\dfrac{a}{2b^2})$，
依次相乘并约分：
$\begin{aligned}&\dfrac{4a^2}{b^4}·\dfrac{4b^2}{a^2}·(-\dfrac{a}{2b^2})\\=&\dfrac{16}{b^2}·(-\dfrac{a}{2b^2})\\=&-\dfrac{8a}{b^4}\end{aligned}$
10. 计算：
(1) $( \dfrac{x^2 y}{-z^2} )^3 ÷ ( \dfrac{x^3}{-z} )$；
(2) $( -\dfrac{a^2}{b} )^2 · ( -\dfrac{b^2}{a} )^3 ÷ ( -\dfrac{b}{a} )^4$；
(3) $( \dfrac{a - b}{ab} )^2 · ( \dfrac{-a}{b - a} )^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2}$。
(1) $( \dfrac{x^2 y}{-z^2} )^3 ÷ ( \dfrac{x^3}{-z} )$；
(2) $( -\dfrac{a^2}{b} )^2 · ( -\dfrac{b^2}{a} )^3 ÷ ( -\dfrac{b}{a} )^4$；
(3) $( \dfrac{a - b}{ab} )^2 · ( \dfrac{-a}{b - a} )^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2}$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{(x^2y)^3}{(-z^2)^3} · \frac{-z}{x^3}$
$=\frac{x^6y^3}{-z^6} · \frac{-z}{x^3}$
$=\frac{x^6y^3 · z}{z^6 · x^3}$
$=\frac{x^3y^3}{z^5}$
(2) 原式$=\frac{a^4}{b^2} · (-\frac{b^6}{a^3}) · \frac{a^4}{b^4}$
$=-\frac{a^4 · b^6 · a^4}{b^2 · a^3 · b^4}$
$=-a^5$
(3) 原式$=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \frac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2-b^2)$
$=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \frac{a^3}{(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
$=\frac{a(a+b)}{b^2}$
$=\frac{a^2+ab}{b^2}$
(1) 原式$=\frac{(x^2y)^3}{(-z^2)^3} · \frac{-z}{x^3}$
$=\frac{x^6y^3}{-z^6} · \frac{-z}{x^3}$
$=\frac{x^6y^3 · z}{z^6 · x^3}$
$=\frac{x^3y^3}{z^5}$
(2) 原式$=\frac{a^4}{b^2} · (-\frac{b^6}{a^3}) · \frac{a^4}{b^4}$
$=-\frac{a^4 · b^6 · a^4}{b^2 · a^3 · b^4}$
$=-a^5$
(3) 原式$=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \frac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2-b^2)$
$=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \frac{a^3}{(a-b)^3} · (a-b)(a+b)$
$=\frac{a(a+b)}{b^2}$
$=\frac{a^2+ab}{b^2}$
