2. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=3√3,∠B=30°.有一个直径为3的圆,其圆心O在BC边上移动.若⊙O与BA相切,则BO的长为()

A.$2\sqrt{3}$
B.$3$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4$

2. B

【分析】
解答本题的思路如下：第一步，根据圆与直线相切的性质，可知圆心到切线的距离等于圆的半径，先算出圆的半径长度；第二步，过圆心作AB的垂线，得到含30°角的直角三角形；第三步，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求出BO的长度。
【解析】
已知⊙O的直径为3，因此⊙O的半径为$\frac{3}{2}=1.5$。
设⊙O与BA边相切于点E，连接OE，根据切线的性质可得：$OE⊥ AB$，即$△ BOE$为直角三角形，$∠ OEB=90°$。
在$Rt△ BOE$中，$∠ B=30°$，由含30°角的直角三角形的性质可知：30°角对的直角边等于斜边的一半，即$OE=\frac{1}{2}BO$。
代入$OE=1.5$，可得$BO=2× OE=2×1.5=3$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的核心是通过切线性质构造出特殊直角三角形，再结合特殊角的边角关系计算线段长度，是圆与三角形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

3.直线$ l $与半径为$ r $的$ \odot O $相交，且点$ O $到直线$ l $的距离为6，则$ r $的取值范围是（）

A.$ r ＜ 6 $
B.$ r = 6 $
C.$ r ＞ 6 $
D.$ r ≥ 6 $

3. C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆直线与圆的三种位置关系对应的判定条件：我们通过圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系来判断位置关系。题目已经给出直线和圆相交，且圆心O到直线l的距离d=6，我们只要对应相交的数量关系就能求出r的取值范围。
【解析】
设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r。
直线与圆的位置关系判定规则：
1. 直线与圆相离 ⇔ d ＞ r；
2. 直线与圆相切 ⇔ d = r；
3. 直线与圆相交 ⇔ d ＜ r。
已知直线l与⊙O相交，且d=6，代入相交的判定条件得：6 ＜ r，即r ＞ 6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查直线和圆相交时圆心到直线的距离与半径的大小关系，熟练掌握三类位置关系对应的数量结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 如图，$\odot O$ 的半径$OC=5\ \mathrm{cm}$，直线$l ⊥ OC$，垂足为点$H$，且$l$交$\odot O$于$A$，$B$两点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，当$l$沿$OC$所在直线向下平移$\mathrm{cm}$时，与$\odot O$相切，向上平移$\mathrm{cm}$时，与$\odot O$相切。

4. 2 8

【分析】
要解决本题，首先需明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。解题思路如下：1. 利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再结合勾股定理算出当前圆心O到直线l的距离OH；2. 分别分析向下、向上平移到相切时的位置，计算平移距离：向下平移时，直线最终与圆相切于点C，平移距离为OC与OH的差；向上平移时，直线最终移到O点上方且到O的距离等于半径，平移距离为OH与半径的和。
【解析】
连接OA，
∵ 直线$l⊥OC$，OC为$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理得：$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=5\ \mathrm{cm}$，$AH=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$。
直线与$\odot O$相切时，圆心O到直线的距离等于半径$5\ \mathrm{cm}$：
1. 向下平移时，直线沿OC向下移动至过点C时与圆相切，平移距离为$OC-OH=5-3=2\ \mathrm{cm}$；
2. 向上平移时，直线沿OC向上移动至O点上方、到O的距离为$5\ \mathrm{cm}$时与圆相切，平移距离为$OH+5=3+5=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2；8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆相切的判定
【点评】
本题是圆的性质与直线和圆位置关系的综合基础题，解题的关键是先求出圆心到直线的现有距离，再结合相切的条件计算平移长度，解题过程中注意分两种平移情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

1. 直线和圆有个公共点时，我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，并且当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于。

1. 1
2. 半径

【分析】
本题考查圆的切线相关基础概念，解题时可先回忆直线与圆的三类位置关系的特征：首先按公共点个数区分，相交对应2个公共点，相切对应1个公共点，相离对应0个公共点；再结合相切的性质，明确圆心到直线的距离和半径的大小关系为相等，即可得出两个空的答案。
【解析】
根据直线与圆相切的定义：当直线和圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线；再根据直线与圆相切的性质，此时圆心到直线的距离等于圆的半径。因此第一个空填1，第二个空填半径。
【答案】
1；半径
【知识点】
切线的定义；直线与圆相切的性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对直线和圆相切相关定义、性质的掌握程度，只要熟练记忆直线与圆位置关系的相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 圆的切线有条，其判定方法如下.
（1）根据切线的定义：.
（2）根据圆心到直线的距离 $ d $ 与半径 $ r $ 的大小关系：.

1. 无数
（1） 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
（2） 当d=r时，直线是圆的切线

【分析】
本题考查圆的切线的基础概念与判定方法，解题时直接回忆相关知识点即可：首先，圆上有无数个点，每个点都能作出1条对应的切线，因此可得出切线的总数量；其次两个判定方法分别从公共点个数、距离与半径的数量关系两个角度识记，直接对应填写即可。
【解析】
1. 圆上有无数个不同的点，过每个点都可以作1条与圆只有唯一公共点的直线（即该点处的切线），因此圆的切线有无数条。
（1）根据切线的定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）根据位置关系的数量判定：若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d=r时，直线与圆相切，即直线是圆的切线。
【答案】
无数
（1）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线
（2）当d=r时，直线是圆的切线
【知识点】
圆的切线概念；切线的判定方法
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对圆的切线相关基础知识点的记忆，只要熟练掌握课本基础内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.如图,直线$ l $与$ \odot O $相切于点$ A $.连接$ O、A $两点,得到过切点$ A $的半径$ OA $.
思考:$ \odot O $的半径$ OA $与过点$ A $的切线$ l $有什么关系？

【归纳总结】切线的性质：
符号语言：
∵ 直线$ l $是$ \odot O $的切线,切点为$ A $
∴ $ l ⊥ OA $

圆的切线垂直于过切点的半径

【分析】
要探究半径OA与切线l的位置关系，首先回忆直线与圆相切的特征：直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。已知A是切线l与⊙O的切点，OA是半径，那么圆心O到l的距离就等于OA的长度，而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度，因此可推出OA就是O到l的垂线段，进而得到二者的垂直关系。
【解析】
∵ 直线l是⊙O的切线，切点为A
∴ 圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径长度，即距离等于OA的长度
又
∵ 点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度
∴ OA是圆心O到直线l的垂线段
∴ OA⊥l
即可归纳得到对应结论。
【答案】
圆的切线垂直于过切点的半径
【知识点】
切线的性质；直线与圆相切的特征
【点评】
本题是切线性质的基础探究题，核心是结合直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的特征，推导得到切线和过切点半径的位置关系，该性质是解决切线相关几何题的核心基础，需熟练记忆并应用。
【难度系数】
0.9