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1. 如图,已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,根据相似的定义,我们有哪些结论?(从对应边上看,从对应角上看)
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论？
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论？
答案
从对应边上看：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，即对应边成比例；从对应角上看：$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，即对应角相等。除此之外，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
解析
【分析】
解题时首先从相似三角形的定义出发思考：相似三角形的定义本身就包含了对应边和对应角的特征，可直接推导对应边、对应角的结论；再延伸回忆相似三角形的相关性质，依次梳理对应特殊线段、周长、面积的相关结论即可。
【解析】
1. 根据相似三角形的定义推导结论：
（1）对应边层面：相似三角形的对应边成比例，因此可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$；
（2）对应角层面：相似三角形的对应角相等，因此可得$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$。
2. 结合相似三角形的性质，可得定义外的其他结论：
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【答案】
从对应边上看：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，即对应边成比例；从对应角上看：$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，即对应角相等。除此之外，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【知识点】
相似三角形定义；相似三角形性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对相似三角形的定义和基础性质的理解与记忆，相关结论是解决所有相似三角形综合题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先从相似三角形的定义出发思考：相似三角形的定义本身就包含了对应边和对应角的特征，可直接推导对应边、对应角的结论；再延伸回忆相似三角形的相关性质，依次梳理对应特殊线段、周长、面积的相关结论即可。
【解析】
1. 根据相似三角形的定义推导结论：
（1）对应边层面：相似三角形的对应边成比例，因此可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$；
（2）对应角层面：相似三角形的对应角相等，因此可得$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$。
2. 结合相似三角形的性质，可得定义外的其他结论：
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【答案】
从对应边上看：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，即对应边成比例；从对应角上看：$∠A=∠A'$，$∠B=∠B'$，$∠C=∠C'$，即对应角相等。除此之外，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【知识点】
相似三角形定义；相似三角形性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对相似三角形的定义和基础性质的理解与记忆，相关结论是解决所有相似三角形综合题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
教科书第 14 页探究.
若 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$,相似比为 $k$,则它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?
(1) 如图,分别作 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$ 的对应高 $AD$ 和 $A'D'$,对应高 $AD$ 与 $A'D'$ 的比和相似比 $k$ 有什么关系? 试写出推导过程.
(2) 类似地,相似三角形对应中线、对应角平分线的比与相似比有什么关系? 试写出推导过程.
【归纳总结】一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比.
(3) 思考:相似三角形面积的比有什么关系?
根据上面的结论和三角形的面积公式,可以得到
若 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$,相似比为 $k$,则它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?
(1) 如图,分别作 $△ ABC ∽ △ A'B'C'$ 的对应高 $AD$ 和 $A'D'$,对应高 $AD$ 与 $A'D'$ 的比和相似比 $k$ 有什么关系? 试写出推导过程.
(2) 类似地,相似三角形对应中线、对应角平分线的比与相似比有什么关系? 试写出推导过程.
【归纳总结】一般地,相似三角形对应线段的比等于相似比.
(3) 思考:相似三角形面积的比有什么关系?
根据上面的结论和三角形的面积公式,可以得到
答案
(1) 对应高的比等于相似比k。推导过程：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，又
∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(2) 相似三角形对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k。以中线为例推导：设AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，则BD=$\frac{1}{2}$BC，B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，∠B=∠B'，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=k$，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$；角平分线同理可证对应比等于相似比k。
(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，$S_{△A'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'·A'D'$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC·AD}{\frac{1}{2}B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}=k·k=k^2$。
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，又
∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(2) 相似三角形对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k。以中线为例推导：设AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，则BD=$\frac{1}{2}$BC，B'D'=$\frac{1}{2}$B'C'，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，∠B=∠B'，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=k$，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$；角平分线同理可证对应比等于相似比k。
(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，$S_{△A'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'·A'D'$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC·AD}{\frac{1}{2}B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}=k·k=k^2$。
解析
【分析】
本题围绕相似三角形的线段比与面积比展开探究，解题思路清晰：(1)探究对应高的比时，可利用相似三角形对应角相等的性质，结合高的定义得到两个直角相等，证明包含对应高的小三角形相似，即可推出高的比等于相似比；(2)探究对应中线、角平分线的比时，思路与对应高类似，结合中线、角平分线的定义，找到对应边的比例关系或对应角的相等关系，证明包含对应线段的小三角形相似，即可得到对应线段比等于相似比；(3)探究面积比时，直接代入三角形面积公式，将底和高的比都替换为相似比，计算即可得到面积比与相似比的关系。
【解析】
(1) 对应高的比等于相似比$k$，推导过程：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，
∴$∠ B = ∠ B'$，
又
∵$AD ⊥ BC$，$A'D' ⊥ B'C'$，
∴$∠ ADB = ∠ A'D'B' = 90°$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
(2) 相似三角形对应中线、对应角平分线的比都等于相似比$k$。
①对应中线推导：设$AD$、$A'D'$分别是$BC$、$B'C'$边上的中线，则$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，
∴$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$，$∠ B = ∠ B'$，
∴$\frac{BD}{B'D'} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'} = k$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
②对应角平分线同理可证：利用相似三角形对应角相等，结合角平分线定义得到一组对应角相等，结合$∠ B = ∠ B'$证明小三角形相似，即可推出对应角平分线的比等于相似比$k$。
(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方，推导过程：
由三角形面积公式得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD$，$S_{△ A'B'C'} = \frac{1}{2}B'C' · A'D'$，
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2}BC · AD}{\frac{1}{2}B'C' · A'D'} = \frac{BC}{B'C'} · \frac{AD}{A'D'} = k · k = k^2$。
【答案】
(1) 对应高的比等于相似比$k$；
(2) 对应中线、对应角平分线的比都等于相似比$k$；
(3) 面积的比等于相似比的平方。（推导过程均见解析）
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积公式
【点评】
本题是相似三角形性质的基础探究题，通过逐步推导对应线段比和面积比的规律，帮助学生深刻理解相似三角形的核心性质，为后续利用相似解决几何计算、证明类问题打下坚实基础。
【难度系数】
0.7
本题围绕相似三角形的线段比与面积比展开探究，解题思路清晰：(1)探究对应高的比时，可利用相似三角形对应角相等的性质，结合高的定义得到两个直角相等，证明包含对应高的小三角形相似，即可推出高的比等于相似比；(2)探究对应中线、角平分线的比时，思路与对应高类似，结合中线、角平分线的定义，找到对应边的比例关系或对应角的相等关系，证明包含对应线段的小三角形相似，即可得到对应线段比等于相似比；(3)探究面积比时，直接代入三角形面积公式，将底和高的比都替换为相似比，计算即可得到面积比与相似比的关系。
【解析】
(1) 对应高的比等于相似比$k$，推导过程：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，
∴$∠ B = ∠ B'$，
又
∵$AD ⊥ BC$，$A'D' ⊥ B'C'$，
∴$∠ ADB = ∠ A'D'B' = 90°$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
(2) 相似三角形对应中线、对应角平分线的比都等于相似比$k$。
①对应中线推导：设$AD$、$A'D'$分别是$BC$、$B'C'$边上的中线，则$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，
∴$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$，$∠ B = ∠ B'$，
∴$\frac{BD}{B'D'} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'} = k$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
②对应角平分线同理可证：利用相似三角形对应角相等，结合角平分线定义得到一组对应角相等，结合$∠ B = ∠ B'$证明小三角形相似，即可推出对应角平分线的比等于相似比$k$。
(3) 相似三角形面积的比等于相似比的平方，推导过程：
由三角形面积公式得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD$，$S_{△ A'B'C'} = \frac{1}{2}B'C' · A'D'$，
∴$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2}BC · AD}{\frac{1}{2}B'C' · A'D'} = \frac{BC}{B'C'} · \frac{AD}{A'D'} = k · k = k^2$。
【答案】
(1) 对应高的比等于相似比$k$；
(2) 对应中线、对应角平分线的比都等于相似比$k$；
(3) 面积的比等于相似比的平方。（推导过程均见解析）
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积公式
【点评】
本题是相似三角形性质的基础探究题，通过逐步推导对应线段比和面积比的规律，帮助学生深刻理解相似三角形的核心性质，为后续利用相似解决几何计算、证明类问题打下坚实基础。
【难度系数】
0.7
