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3. 如图，O是$△ ABC$内的一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，试猜想$△ ABC$与$△ DEF$的关系，并证明你的结论.
答案
猜想：△DEF ∽ △ABC，相似比为1:2。
证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，可得DE = 1/2 AB，即DE/AB = 1/2。
同理可得：E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，EF/BC = 1/2；D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，DF/AC = 1/2。
∴ DE/AB = EF/BC = DF/AC = 1/2，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△DEF ∽ △ABC。
证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，可得DE = 1/2 AB，即DE/AB = 1/2。
同理可得：E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，EF/BC = 1/2；D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，DF/AC = 1/2。
∴ DE/AB = EF/BC = DF/AC = 1/2，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△DEF ∽ △ABC。
解析
【分析】
看到题目中存在多个中点的已知条件时，首先联想三角形中位线定理：三角形的中位线等于对应第三边的一半。本题中D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可分别得到△OAB、△OBC、△OAC的中位线，进而推导出△DEF的三边与△ABC三边的比例关系，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，就能证明两个三角形的关系。
【解析】
猜想：△DEF ∽ △ABC，相似比为1:2。
证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，可得DE = $\frac{1}{2}$AB，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$。
同理可得：E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$；D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，$\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△DEF ∽ △ABC。
【答案】
△DEF ∽ △ABC，相似比为1:2。
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题的解题核心是借助中点条件，利用三角形中位线定理得到两个三角形对应边的比例关系，再结合相似三角形的判定定理完成证明，属于常规基础题型，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
看到题目中存在多个中点的已知条件时，首先联想三角形中位线定理：三角形的中位线等于对应第三边的一半。本题中D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，可分别得到△OAB、△OBC、△OAC的中位线，进而推导出△DEF的三边与△ABC三边的比例关系，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，就能证明两个三角形的关系。
【解析】
猜想：△DEF ∽ △ABC，相似比为1:2。
证明：
∵ D、E分别是OA、OB的中点，
∴ DE是△OAB的中位线，可得DE = $\frac{1}{2}$AB，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$。
同理可得：E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$；D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，$\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△DEF ∽ △ABC。
【答案】
△DEF ∽ △ABC，相似比为1:2。
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题的解题核心是借助中点条件，利用三角形中位线定理得到两个三角形对应边的比例关系，再结合相似三角形的判定定理完成证明，属于常规基础题型，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
1. (2025·重庆江北月考) 若△ABC的三边长分别是3,5,6, 则与△ABC相似的△DEF的三边长可能是(
A.DE=6,DF=8,EF=10
B.DE=9,EF=18,DF=25
C.DE=1,EF=2,DF=2.5
D.DE=6,DF=10,EF=12
D
)A.DE=6,DF=8,EF=10
B.DE=9,EF=18,DF=25
C.DE=1,EF=2,DF=2.5
D.DE=6,DF=10,EF=12
答案
1. D
解析
【分析】
解题核心依据是“三边对应成比例的两个三角形相似”这一相似三角形判定定理。思考步骤如下：①先将原△ABC的三边长按从小到大排序，得到其三边的比例关系；②将每个选项中△DEF的三边长也按从小到大排序，化简得到对应三边的比例；③逐一比对选项的三边比例是否与原三角形的三边比例完全相同，相同即为符合要求的答案。排序是为了避免对应边匹配错误，确保比例计算的对应性。
【解析】
已知△ABC三边长为3,5,6，按从小到大排序后，三边比为3:5:6。
相似三角形的三边需对应成比例，逐个分析选项：
A. 三边长为6,8,10，从小到大排序后比为6:8:10=3:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
B. 三边长为9,18,25，从小到大排序后比为9:18:25，与3:5:6不相等，不符合要求；
C. 三边长为1,2,2.5，从小到大排序后比为1:2:2.5=2:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
D. 三边长为6,10,12，从小到大排序后比为6:10:12=3:5:6，与△ABC三边比完全相等，两个三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题主要考查相似三角形的三边判定规则，解题时先对三边排序再计算比值可有效降低错误率，是对相似三角形基础判定的考查。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是“三边对应成比例的两个三角形相似”这一相似三角形判定定理。思考步骤如下：①先将原△ABC的三边长按从小到大排序，得到其三边的比例关系；②将每个选项中△DEF的三边长也按从小到大排序，化简得到对应三边的比例；③逐一比对选项的三边比例是否与原三角形的三边比例完全相同，相同即为符合要求的答案。排序是为了避免对应边匹配错误，确保比例计算的对应性。
【解析】
已知△ABC三边长为3,5,6，按从小到大排序后，三边比为3:5:6。
相似三角形的三边需对应成比例，逐个分析选项：
A. 三边长为6,8,10，从小到大排序后比为6:8:10=3:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
B. 三边长为9,18,25，从小到大排序后比为9:18:25，与3:5:6不相等，不符合要求；
C. 三边长为1,2,2.5，从小到大排序后比为1:2:2.5=2:4:5，与3:5:6不相等，不符合要求；
D. 三边长为6,10,12，从小到大排序后比为6:10:12=3:5:6，与△ABC三边比完全相等，两个三角形相似，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比的化简
【点评】
本题主要考查相似三角形的三边判定规则，解题时先对三边排序再计算比值可有效降低错误率，是对相似三角形基础判定的考查。
【难度系数】
0.8
2.（2025·浙江丽水期末）如图，四个三角形的顶点都在正方形网格的格点上，下列各组三角形中相似的是(
A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
B
)A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
答案
2. B
解析
【分析】
要判断网格中的两个三角形是否相似，可先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再验证两个三角形的三边是否对应成比例，若三边对应成比例，则两个三角形相似，按照这个思路逐一分析各组三角形即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
三角形①的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
三角形③的三边长：$1$，$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
计算对应边的比值：$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可知①和③的三边对应成比例，因此①和③相似，其余组三角形的三边均不满足对应成比例，故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形判定的典型题型，解题关键是借助勾股定理准确求出各三角形的边长，再根据三边成比例的判定规则判断相似，能有效考查学生的计算能力和对相似三角形判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的两个三角形是否相似，可先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再验证两个三角形的三边是否对应成比例，若三边对应成比例，则两个三角形相似，按照这个思路逐一分析各组三角形即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算四个三角形的三边长：
三角形①的三边长：$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
三角形③的三边长：$1$，$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
计算对应边的比值：$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，可知①和③的三边对应成比例，因此①和③相似，其余组三角形的三边均不满足对应成比例，故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形判定的典型题型，解题关键是借助勾股定理准确求出各三角形的边长，再根据三边成比例的判定规则判断相似，能有效考查学生的计算能力和对相似三角形判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. (2025·广西梧州苍梧期末) 如图，锐角△ABC中，BE，CD是高，它们相交于O，则图中与△BOD相似的三角形有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3. B
解析
【分析】
要找出与△BOD相似的三角形，首先明确已知条件：BE、CD是锐角△ABC的高，可得△BOD是直角三角形（∠BDO=90°）。根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似”，我们只需找出含有直角，且有一组锐角与△BOD的锐角相等的三角形即可，逐一分析角的等量关系即可做到不漏解。
【解析】
∵BE、CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，BE⊥AC，即$∠ BDO=∠ ADC=∠ BEC=∠ BEA=90°$。
① 证明$△ BOD ∽ △ COE$：
$∠ BOD$与$∠ COE$是对顶角，故$∠ BOD=∠ COE$，
又$∠ BDO=∠ CEO=90°$，根据两角对应相等的两个三角形相似，得$△ BOD ∽ △ COE$；
② 证明$△ BOD ∽ △ BAE$：
$∠ OBD$和$∠ ABE$是公共角，即$∠ OBD=∠ ABE$，
又$∠ BDO=∠ BEA=90°$，同理得$△ BOD ∽ △ BAE$；
③ 证明$△ BOD ∽ △ CAD$：
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD+∠ BOD=90°$，在$Rt△ COE$中，$∠ ACD+∠ COE=90°$，
∵$∠ BOD=∠ COE$，根据同角的余角相等，得$∠ OBD=∠ ACD$，
又$∠ BDO=∠ ADC=90°$，同理得$△ BOD ∽ △ CAD$。
综上，共有3个三角形与△BOD相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要结合直角三角形的直角特征，利用对顶角相等、公共角相等、同角的余角相等找出对应相等的角，即可快速判定相似三角形，解题时注意不要漏找符合条件的三角形。
【难度系数】
0.6
要找出与△BOD相似的三角形，首先明确已知条件：BE、CD是锐角△ABC的高，可得△BOD是直角三角形（∠BDO=90°）。根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似”，我们只需找出含有直角，且有一组锐角与△BOD的锐角相等的三角形即可，逐一分析角的等量关系即可做到不漏解。
【解析】
∵BE、CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，BE⊥AC，即$∠ BDO=∠ ADC=∠ BEC=∠ BEA=90°$。
① 证明$△ BOD ∽ △ COE$：
$∠ BOD$与$∠ COE$是对顶角，故$∠ BOD=∠ COE$，
又$∠ BDO=∠ CEO=90°$，根据两角对应相等的两个三角形相似，得$△ BOD ∽ △ COE$；
② 证明$△ BOD ∽ △ BAE$：
$∠ OBD$和$∠ ABE$是公共角，即$∠ OBD=∠ ABE$，
又$∠ BDO=∠ BEA=90°$，同理得$△ BOD ∽ △ BAE$；
③ 证明$△ BOD ∽ △ CAD$：
在$Rt△ BOD$中，$∠ OBD+∠ BOD=90°$，在$Rt△ COE$中，$∠ ACD+∠ COE=90°$，
∵$∠ BOD=∠ COE$，根据同角的余角相等，得$∠ OBD=∠ ACD$，
又$∠ BDO=∠ ADC=90°$，同理得$△ BOD ∽ △ CAD$。
综上，共有3个三角形与△BOD相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要结合直角三角形的直角特征，利用对顶角相等、公共角相等、同角的余角相等找出对应相等的角，即可快速判定相似三角形，解题时注意不要漏找符合条件的三角形。
【难度系数】
0.6
4. (2025·广东汕头月考)如图,在4×1的格子中,每个小正方形的顶点叫作格点,以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形,△ABC就是一个格点三角形,现从格点D,E,F,G中选取一个格点,与点B,C连接成格点三角形,能使该格点三角形与△ABC相似的格点是(
A.点 D
B.点 E
C.点 F
D.点 G
C
)A.点 D
B.点 E
C.点 F
D.点 G
答案
4. C
解析
【分析】
我们可以先设每个小正方形的边长为1，先通过勾股定理算出△ABC的三边长，化简得到三边的比值；再分别计算点D、E、F、G分别与B、C构成的三角形的三边长，得到对应三边的比值，结合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理逐一判断，即可得到正确答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长度：
AB=2，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
接下来分别验证各选项：
1. 选点D时，△DBC的三边为：$DC=3$，$DB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，和△ABC的比值不符，不相似；
2. 选点E时，△EBC的三边为：$EC=2$，$EB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$，和△ABC的比值不符，不相似；
3. 选点F时，△FBC的三边为：$FC=1$，$BC=\sqrt{2}$，$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，和△ABC的三边比值完全相同，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知△FBC∽△ABC；
4. 选点G时，△GBC的三边为：$GB=2$，$GC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$，和△ABC的比值不符，不相似。
综上，能使新格点三角形与△ABC相似的格点是点F。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查格点三角形相似的判断，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再结合相似三角形的判定定理验证，解题过程体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
我们可以先设每个小正方形的边长为1，先通过勾股定理算出△ABC的三边长，化简得到三边的比值；再分别计算点D、E、F、G分别与B、C构成的三角形的三边长，得到对应三边的比值，结合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理逐一判断，即可得到正确答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先计算△ABC的三边长度：
AB=2，$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
接下来分别验证各选项：
1. 选点D时，△DBC的三边为：$DC=3$，$DB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，和△ABC的比值不符，不相似；
2. 选点E时，△EBC的三边为：$EC=2$，$EB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$，和△ABC的比值不符，不相似；
3. 选点F时，△FBC的三边为：$FC=1$，$BC=\sqrt{2}$，$FB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，和△ABC的三边比值完全相同，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知△FBC∽△ABC；
4. 选点G时，△GBC的三边为：$GB=2$，$GC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{2}:2=1:1:\sqrt{2}$，和△ABC的比值不符，不相似。
综上，能使新格点三角形与△ABC相似的格点是点F。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查格点三角形相似的判断，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的边长，再结合相似三角形的判定定理验证，解题过程体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
5. 如图，已知$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，$∠ BAD = 20°$，$∠ DAE = 60°$，则$∠ DAC$的度数为
40°
。答案
5. 40°
解析
【分析】
首先观察已知条件给出了三组对应边成比例，根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，可先证明△ABC∽△ADE；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE=60°；最后根据角的和差关系，∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入已知的∠BAD的度数，做差即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵ $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ BAC = ∠ DAE = 60°$（相似三角形的对应角相等）。
又
∵ $∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC$，$∠ BAD=20°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 60° - 20° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是通过三边成比例判定三角形相似，再利用相似的性质得到对应角相等，结合角的和差关系即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件给出了三组对应边成比例，根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，可先证明△ABC∽△ADE；再利用相似三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAE=60°；最后根据角的和差关系，∠BAC=∠BAD+∠DAC，代入已知的∠BAD的度数，做差即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵ $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AE}$，
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ $∠ BAC = ∠ DAE = 60°$（相似三角形的对应角相等）。
又
∵ $∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC$，$∠ BAD=20°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 60° - 20° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是通过三边成比例判定三角形相似，再利用相似的性质得到对应角相等，结合角的和差关系即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. (2025·浙江杭州拱墅期末)如图,在$6×6$的方格中,点$A,B,C,D,E$均在格点上,若$△ ABC$与$△ DEP_i(i=1,2,3,4)$相似,则符合条件的是(
A.点$P_1$
B.点$P_2$
C.点$P_3$
D.点$P_4$
C
)A.点$P_1$
B.点$P_2$
C.点$P_3$
D.点$P_4$
答案
6. C
解析
【分析】
要判断△ABC与△DEP_i相似，可先通过勾股定理计算△ABC的各边长度，得到三边的比值，再计算DE的长度，最后逐一计算4个P点构成的△DEP_i的三边长度，验证其三边比值是否与△ABC的三边比值一致，一致则符合相似条件。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:BC:AB=\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 计算DE的长度：
$DE=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 验证各P点对应的△DEP_i的边长比：
对P₃：
$DP_3=\sqrt{(2-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{5}$，
$EP_3=\sqrt{(5-1)^2+(6-4)^2}=2\sqrt{5}$，
因此△DEP₃的三边比为$DP_3:EP_3:DE=\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEP₃。
其余P点计算后三边比均不满足1:2:√5，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形的典型考题，核心是利用勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证，解题时注意边的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC与△DEP_i相似，可先通过勾股定理计算△ABC的各边长度，得到三边的比值，再计算DE的长度，最后逐一计算4个P点构成的△DEP_i的三边长度，验证其三边比值是否与△ABC的三边比值一致，一致则符合相似条件。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ABC的三边比为$AC:BC:AB=\sqrt{2}:2\sqrt{2}:\sqrt{10}=1:2:\sqrt{5}$。
2. 计算DE的长度：
$DE=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 验证各P点对应的△DEP_i的边长比：
对P₃：
$DP_3=\sqrt{(2-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{5}$，
$EP_3=\sqrt{(5-1)^2+(6-4)^2}=2\sqrt{5}$，
因此△DEP₃的三边比为$DP_3:EP_3:DE=\sqrt{5}:2\sqrt{5}:5=1:2:\sqrt{5}$，与△ABC的三边比相等，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEP₃。
其余P点计算后三边比均不满足1:2:√5，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是网格中相似三角形的典型考题，核心是利用勾股定理准确计算各边长度，再结合相似三角形的判定定理验证，解题时注意边的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
7. (2025·四川遂宁中考) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC = 5$，结合尺规
作图痕迹提供的信息，可得线段$AQ$的长为（
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$6$
D.$\dfrac{120}{13}$
作图痕迹提供的信息，可得线段$AQ$的长为（
A
）A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.$6$
D.$\dfrac{120}{13}$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件出发，先用勾股定理求出AC的长度；再识别尺规作图的含义：一是BH为∠ABC的角平分线，二是BQ与AQ垂直；接着通过延长AQ交BC延长线构造全等三角形，得到等腰△ABM，利用全等性质得到BM的长度和Q为AM中点，进而求出CM的长度，再用勾股定理求AM，最后得到AQ的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
由尺规作图痕迹可知：$BQ$平分$∠ ABC$，且$BQ⊥ AQ$。
延长$AQ$交$BC$的延长线于点$M$。
在$△ ABQ$和$△ MBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ MBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ MQB=90°\end{cases}$
$\therefore △ ABQ≌△ MBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BM=13$，$AQ=MQ=\frac{1}{2}AM$，
$\therefore CM=BM-BC=13-5=8$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ ACM=90°$，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AM=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，角平分线作图，全等三角形判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题关键是准确识别作图痕迹的含义，通过构造全等三角形转化线段关系，考查了几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的直角三角形条件出发，先用勾股定理求出AC的长度；再识别尺规作图的含义：一是BH为∠ABC的角平分线，二是BQ与AQ垂直；接着通过延长AQ交BC延长线构造全等三角形，得到等腰△ABM，利用全等性质得到BM的长度和Q为AM中点，进而求出CM的长度，再用勾股定理求AM，最后得到AQ的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
由尺规作图痕迹可知：$BQ$平分$∠ ABC$，且$BQ⊥ AQ$。
延长$AQ$交$BC$的延长线于点$M$。
在$△ ABQ$和$△ MBQ$中：
$\begin{cases}∠ ABQ=∠ MBQ \\BQ=BQ \\∠ AQB=∠ MQB=90°\end{cases}$
$\therefore △ ABQ≌△ MBQ(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=BM=13$，$AQ=MQ=\frac{1}{2}AM$，
$\therefore CM=BM-BC=13-5=8$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ ACM=90°$，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$，
$\therefore AQ=\frac{1}{2}AM=2\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，角平分线作图，全等三角形判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题关键是准确识别作图痕迹的含义，通过构造全等三角形转化线段关系，考查了几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
