三角形相似的判定定理3：

的两个三角形相似.

几何语言：∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
直角三角形相似的判定定理：

的两个三角形相似.

几何语言：∵ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠C = ∠C' = 90°
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'

三角形相似的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。
直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

【分析】
本题考查相似三角形判定定理的识记，可结合题干给出的几何语言反推定理内容：首先看普通三角形相似的判定定理3，给出的几何语言是两个三角形三组对应边的比值相等，由此可对应出定理的核心条件是三边成比例；再看直角三角形的相似判定，几何语言明确两个三角形都是直角三角形，且斜边和一条直角边的比值相等，由此可对应出该定理的核心条件是斜边和一条直角边成比例。
【解析】
1. 对于三角形相似的判定定理3：题干给出的几何语言为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，表示△ABC和△A'B'C'的三组对应边成比例，因此该定理的完整表述为“三边成比例的两个三角形相似”，对应横线处填“三边成比例”。
2. 对于直角三角形相似的判定定理：题干给出的几何语言为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，且$∠ C=∠ C'=90°$，表示两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，因此该定理的完整表述为“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”，结合题干已限定为直角三角形的判定定理，对应横线处填“斜边和一条直角边成比例”。
【答案】
三边成比例；斜边和一条直角边成比例
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形相似判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对相似三角形判定定理的记忆和理解，配套给出的几何语言可降低识记难度，熟练掌握这些定理是解决后续相似三角形证明、计算类问题的基础。
【难度系数】
0.9

探究学习
如图,在由相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在格点上.
求证:△ABC ∽ △CED

证明：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
AB=2，AC=2√5，BC=2√2，CE=√2，CD=2，DE=√10
计算对应边的比值：
AB/CE = 2/√2 = √2，BC/CD = 2√2/2 = √2，AC/DE = 2√5/√10 = √2
可得 AB/CE = BC/CD = AC/DE
根据三边成比例的两个三角形相似，可证得△ABC ∽ △CED。

【分析】
要证明△ABC ∽ △CED，本题为格点背景的证明题，未直接给出角的等量关系，因此优先选择“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理推导。解题思路如下：首先设每个小正方形的边长为1，作为计算线段长度的单位；再借助勾股定理分别计算出△ABC和△CED三条边的长度；之后将两个三角形的边按长短对应，计算三组对应边的比值，验证比值是否相等；若三组对应边比值相等，即可依据判定定理完成证明。
【解析】
证明：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=2$，$AC=2\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$CE=\sqrt{2}$，$CD=2$，$DE=\sqrt{10}$
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{CE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$\frac{BC}{CD} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，$\frac{AC}{DE} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$
可得 $\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{DE}$
根据三边成比例的两个三角形相似，可证得$△ ABC ∽ △ CED$。
【答案】
证明：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=2$，$AC=2\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$CE=\sqrt{2}$，$CD=2$，$DE=\sqrt{10}$
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{CE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$\frac{BC}{CD} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，$\frac{AC}{DE} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$
可得 $\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{DE}$
根据三边成比例的两个三角形相似，故$△ ABC ∽ △ CED$。
【知识点】
勾股定理、相似三角形判定、格点线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的常规应用题型，结合格点背景考查了勾股定理的使用和三边成比例证相似的方法，解题的关键是准确计算各边长度、正确匹配对应边，能够有效考查学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

1.有甲、乙两个三角形木框，甲木框的三边长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，乙木框的三边长分别为$\sqrt{5},\sqrt{10},5$，则甲、乙两个三角形木框（）

A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断

1. A

【分析】
要判断两个三角形是否相似，已知两个三角形的三边长，我们可以利用相似三角形的三边判定定理解题，具体思路为：第一步先将两个三角形的三边长分别按从小到大（或从大到小）的顺序排序；第二步计算三组对应边的比值；第三步判断三组比值是否相等，若全部相等则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
首先将两个三角形的边长分别按从小到大的顺序排列：
甲三角形三边长：$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$
乙三角形三边长：$\sqrt{5},\sqrt{10},5$
计算三组对应边的比值：
最小边之比：$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
中间边之比：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
最长边之比：$\frac{\sqrt{5}}{5}$
可知三组对应边的比值完全相等，根据“三组对应边成比例的两个三角形相似”，可得甲、乙两个三角形木框一定相似。故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题时要注意先对两个三角形的边长排序，确保是对应边相比，再通过化简二次根式验证比值是否相等即可得出结论。
【难度系数】
0.8

2.（2025·安徽亳州月考）如图，已知$∠ ABC = ∠ ACD = 90°$，补充下列条件仍不能判定$△ ABC$与$△ ACD$相似的是()

A.$AC$平分$∠ BAD$
B.$AB ⊥ AD$
C.$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC}{BC}$
D.$AC^2 = BC · AD$

2. B

【分析】
要判定两个直角三角形相似，已知∠ABC=∠ACD=90°，已有一组直角对应相等，只需再补充一组角对应相等，或两组对应边成比例即可。我们逐一分析每个选项，判断是否能满足相似三角形的判定条件即可。
【解析】
已知∠ABC=∠ACD=90°，即△ABC和△ACD均为直角三角形，已有一组角对应相等。
选项A：若AC平分∠BAD，则∠BAC=∠CAD，结合∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD，不符合题意。
选项B：若AB⊥AD，可得∠BAD=90°，可推出AD//BC，得到∠ACB=∠CAD，此时仅能判定△ABC∽△DCA，无法确定对应关系满足△ABC与△ACD的相似要求，因此不能判定△ABC与△ACD相似，符合题意。
选项C：若$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{BC}$，结合∠ABC=∠ACD=90°，可推出两边对应成比例且夹角相等，能判定△ABC与△ACD相似，不符合题意。
选项D：若$AC^2=BC· AD$，变形得$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$，即两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，根据直角三角形相似的特殊判定定理，可判定△ABC与△ACD相似，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定定理，解题时要注意两个三角形的对应角、对应边的对应关系，直角三角形相似判定既可以用一般三角形的判定定理，也可以用斜边直角边对应成比例的特殊判定方法。
【难度系数】
0.7