6. (2025·广东广州海珠二模) 如图，$AB · AE = AD · AC$，且 $∠ 1 = ∠ 2$. 求证：$△ ABC ∽ △ ADE$.

证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE，
即 ∠DAE = ∠BAC。
又∵ $AB · AE = AD · AC$，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠BAC = ∠DAE\end{array} $
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$。

【分析】
要证明△ABC∽△ADE，优先考虑相似三角形的判定定理，本题适合用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法解题。第一步先推导两个三角形的对应夹角相等：已知∠1=∠2，两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到∠DAE=∠BAC；第二步处理乘积式条件：利用比例的基本性质，把AB·AE=AD·AC转化为比例式，得到两组对应边的比值相等；最后结合等角和边的比例关系，即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠BAE = ∠2 + ∠BAE，
即 ∠DAE = ∠BAC。
又
∵ $AB · AE = AD · AC$，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠BAC = ∠DAE\end{cases}$
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的基本性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，核心考查对相似判定定理的应用，解题的关键是熟练将乘积式转化为比例式，同时通过角的等量关系推导对应等角，掌握基础判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 如图，AC ⊥ AB，BE ⊥ AB，AB = 10，AC = 2. 用一把三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D. 若BD = 8，则AP的长为.

7. 2或8

【分析】
解题思路如下：首先观察图形，AC、BE都垂直于AB，可得∠A和∠B均为直角；由三角尺直角顶点在P，可知∠CPD=90°，根据同角的余角相等，可推出∠ACP=∠BPD，进而证明△ACP与△BPD相似。接着设AP的长为x，用含x的式子表示出PB的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到AP的长度，注意检验解是否符合线段取值要求。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，BE⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ACP + ∠APC = 90°。
∵∠CPD=90°，
∴∠APC + ∠BPD = 180° - 90°=90°，
∴∠ACP=∠BPD，
∴△ACP∽△BPD（两角分别相等的两个三角形相似）。
设AP=x，则PB=AB - AP=10 - x，
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AC}{PB}=\frac{AP}{BD}$，
将AC=2，BD=8代入得：$\frac{2}{10-x}=\frac{x}{8}$，
交叉相乘得：$x(10-x)=16$，
整理得：$x^2-10x+16=0$，
因式分解得：$(x-2)(x-8)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=8$。
经检验，$x=2$和$x=8$均符合线段长度的取值要求，均为方程的解。
【答案】
2或8
【知识点】
相似三角形的判定与性质；余角的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一线三等角（直角）的典型相似题型，解题核心是通过角度互余关系证明三角形相似，再结合相似性质列方程求解，需注意解出的结果要验证是否符合实际几何意义，本题两个解均满足线段长度要求，需全部保留。
【难度系数】
0.7

8. (2025·陕西西安模拟)如图,在△ABC中,D在AB边上,连接CD,AC = 4,AD = 2,BD = 6.求证:△ACD ∽ △ABC.

证明：
∵ AD = 2，BD = 6，
∴ AB = AD + BD = 2 + 6 = 8。
∵ AC = 4，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$。
又∵ ∠A = ∠A，
∴ △ACD ∽ △ABC。

【分析】
要证明△ACD∽△ABC，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹公共角∠A的两组对应边成比例，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$即可。解题时先利用线段和的关系求出AB的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后结合公共角，就能依据判定定理完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD = 2，BD = 6，
∴ AB = AD + BD = 2 + 6 = 8。
∵ AC = 4，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$。
又
∵ ∠A是△ACD和△ABC的公共角，即∠A = ∠A，
∴ 根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ACD ∽ △ABC。
【答案】
证明：
∵ AD = 2，BD = 6，
∴ AB = AD + BD = 2 + 6 = 8。
∵ AC = 4，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$。
又
∵ ∠A = ∠A，
∴ △ACD ∽ △ABC。
【知识点】
相似三角形的判定、线段和差计算、比例计算
【点评】
本题属于相似证明的基础题，侧重考查对相似三角形判定定理的理解和应用，解题时要善于观察图形中的公共角等隐含条件，结合已知边长计算验证边的比例关系即可求解。
【难度系数】
0.8

1. 两个三角形相似有哪些判定方法？
2. 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？

1. 判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似；⑤斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
2. 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，即全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

【分析】
本题为相似三角形相关的基础概念题。第1问可按适用场景分类梳理判定方法：先回忆基础的平行线判定结论，再梳理普通三角形的三类通用判定，最后补充直角三角形的特殊判定方法，避免知识点遗漏；第2问可从两类三角形的定义对比入手分析：全等三角形要求形状、大小均完全相同，相似三角形仅要求形状相同、边长对应成比例，由此推导两者的从属关系即可。
【解析】
1. 逐一梳理相似三角形的判定方法：
① 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
② 两角分别相等的两个三角形相似；
③ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④ 三边成比例的两个三角形相似；
⑤ 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
2. 对比全等三角形与相似三角形的特征推导关系：
全等三角形的相似比为1，属于特殊的相似三角形，因此全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形只有当相似比为1时才是全等三角形，即相似三角形不一定是全等三角形。
【答案】
1. 判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似；⑤斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
2. 全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，即全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。
【知识点】
相似三角形的判定；全等与相似的关系
【点评】
本题是相似章节的基础考查题，所涉及的知识点是后续解决相似相关证明、计算类问题的核心基础，需要牢固记忆、准确区分。
【难度系数】
0.9