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1. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15^2=15×15=225=(1×2)×100+25$；
$25^2=25×25=625=(2×3)×100+25$；
$35^2=35×35=1225=(3×4)×100+25$；
……
(1)设a为整数，且$0＜a＜10$，请用含a的式子表示上述等式蕴含的一般规律；
(2)请证明(1)中得到的规律；
(3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：$53×57=3021$，$38×32=1\ 216$，$84×86=7\ 224$，$71×79=5\ 609$…….
请你用发现的规律计算$48×42$，$93×97$.(写出计算过程)
$15^2=15×15=225=(1×2)×100+25$；
$25^2=25×25=625=(2×3)×100+25$；
$35^2=35×35=1225=(3×4)×100+25$；
……
(1)设a为整数，且$0＜a＜10$，请用含a的式子表示上述等式蕴含的一般规律；
(2)请证明(1)中得到的规律；
(3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：$53×57=3021$，$38×32=1\ 216$，$84×86=7\ 224$，$71×79=5\ 609$…….
请你用发现的规律计算$48×42$，$93×97$.(写出计算过程)
答案
1. (1) 解：$(10a+5)^2=100a(a+1)+25(0＜a＜10)$；(2) 证明：$(10a+5)^2=(10a)^2+2·10a·5+5^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25(0＜a＜10)$；(3) 解：$(10a+b)(10a+10-b)=100a^2+10ab+100a+10b-10ab-b^2=100a^2+100a+10b-b^2=100a(a+1)+b(10-b)(0＜a＜10,0＜b＜10,a,b 均为正整数). \therefore 48×42=100×4×(4+1)+8×2=2\ 016,93×97=100×9×(9+1)+7×3=9\ 021.$
解析
【分析】
(1) 先观察等式结构：左边都是个位为5的两位数，若十位数字为a，则该数可表示为10a+5；右边固定为“十位数字×(十位数字+1)×100 +25”，据此可总结出一般规律。
(2) 证明规律时，利用完全平方公式将左边$(10a+5)^2$展开，再整理化简为右边的形式即可验证规律成立。
(3) 观察十位相同、个位和为10的两位数乘法特征：可将两个数表示为$10a+b$和$10a+(10-b)$，通过整式乘法化简得到通用运算规律，再将所求算式代入规律计算即可。
【解析】
(1) 结合已知例子的规律，个位为5、十位为a的两位数的平方满足：
$\boldsymbol{(10a+5)^2=100a(a+1)+25\quad(0＜a＜10)}$
(2) 证明：根据完全平方公式展开左边：
$\begin{aligned}(10a+5)^2&=(10a)^2+2·10a·5+5^2\\&=100a^2+100a+25\\&=100a(a+1)+25\end{aligned}$
左边等于右边，规律成立。
(3) 设两个两位数十位为a，个位分别为b和$10-b$（$0＜a＜10,0＜b＜10$，a、b均为正整数），则：
$\begin{aligned}(10a+b)(10a+10-b)&=100a^2+10ab+100a+10b-10ab-b^2\\&=100a^2+100a+b(10-b)\\&=100a(a+1)+b(10-b)\end{aligned}$
计算$48×42$：a=4，b=8，代入得：
$48×42=100×4×(4+1)+8×2=2000+16=2016$
计算$93×97$：a=9，b=3，代入得：
$93×97=100×9×(9+1)+3×7=9000+21=9021$
【答案】
(1) $(10a+5)^2=100a(a+1)+25(0＜a＜10)$；
(2) 证明见解析；
(3) $48×42=2016$，$93×97=9021$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，需要从特殊示例中归纳出一般规律，再结合整式运算验证规律、应用规律，既考查观察归纳能力，也检验整式运算的掌握程度，能有效培养从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察等式结构：左边都是个位为5的两位数，若十位数字为a，则该数可表示为10a+5；右边固定为“十位数字×(十位数字+1)×100 +25”，据此可总结出一般规律。
(2) 证明规律时，利用完全平方公式将左边$(10a+5)^2$展开，再整理化简为右边的形式即可验证规律成立。
(3) 观察十位相同、个位和为10的两位数乘法特征：可将两个数表示为$10a+b$和$10a+(10-b)$，通过整式乘法化简得到通用运算规律，再将所求算式代入规律计算即可。
【解析】
(1) 结合已知例子的规律，个位为5、十位为a的两位数的平方满足：
$\boldsymbol{(10a+5)^2=100a(a+1)+25\quad(0＜a＜10)}$
(2) 证明：根据完全平方公式展开左边：
$\begin{aligned}(10a+5)^2&=(10a)^2+2·10a·5+5^2\\&=100a^2+100a+25\\&=100a(a+1)+25\end{aligned}$
左边等于右边，规律成立。
(3) 设两个两位数十位为a，个位分别为b和$10-b$（$0＜a＜10,0＜b＜10$，a、b均为正整数），则：
$\begin{aligned}(10a+b)(10a+10-b)&=100a^2+10ab+100a+10b-10ab-b^2\\&=100a^2+100a+b(10-b)\\&=100a(a+1)+b(10-b)\end{aligned}$
计算$48×42$：a=4，b=8，代入得：
$48×42=100×4×(4+1)+8×2=2000+16=2016$
计算$93×97$：a=9，b=3，代入得：
$93×97=100×9×(9+1)+3×7=9000+21=9021$
【答案】
(1) $(10a+5)^2=100a(a+1)+25(0＜a＜10)$；
(2) 证明见解析；
(3) $48×42=2016$，$93×97=9021$
【知识点】
数字规律探究，完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，需要从特殊示例中归纳出一般规律，再结合整式运算验证规律、应用规律，既考查观察归纳能力，也检验整式运算的掌握程度，能有效培养从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.7
2. 小罗是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：$x-y,a-b,2,x^2-y^2,a,x+y$分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中。现将$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$因式分解，结果呈现的密码信息可能是 （
A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
A
）A.爱我中华
B.我游中华
C.中华美
D.我爱美
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先对给定的多项式进行因式分解，按照因式分解的常规顺序，先提取公因式，再观察剩余部分是否能用公式法分解，确保分解彻底；第二步找到每个分解后的因式对应的汉字，注意题干给出的因式与汉字的一一对应关系；第三步将得到的汉字组合，匹配选项即可得到答案。
【解析】
首先对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察多项式可知，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，提取后可得：
$\begin{aligned}2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)&=2(x^2-y^2)(a-b)\end{aligned}$
2. 运用平方差公式分解：$x^2-y^2$符合平方差的形式，可分解为$(x+y)(x-y)$，因此最终分解结果为：
$=2(x+y)(x-y)(a-b)$
3. 匹配对应汉字：根据题干给出的对应关系，2对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，将汉字组合可得“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，形式新颖，主要考查因式分解的基本步骤，要求学生熟练掌握提公因式法和平方差公式，同时考查信息提取与匹配的能力，属于基础类创新题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先对给定的多项式进行因式分解，按照因式分解的常规顺序，先提取公因式，再观察剩余部分是否能用公式法分解，确保分解彻底；第二步找到每个分解后的因式对应的汉字，注意题干给出的因式与汉字的一一对应关系；第三步将得到的汉字组合，匹配选项即可得到答案。
【解析】
首先对多项式$2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)$进行因式分解：
1. 提取公因式：观察多项式可知，两项都含有公因式$2(x^2-y^2)$，提取后可得：
$\begin{aligned}2a(x^2-y^2)-2b(x^2-y^2)&=2(x^2-y^2)(a-b)\end{aligned}$
2. 运用平方差公式分解：$x^2-y^2$符合平方差的形式，可分解为$(x+y)(x-y)$，因此最终分解结果为：
$=2(x+y)(x-y)(a-b)$
3. 匹配对应汉字：根据题干给出的对应关系，2对应“爱”，$a-b$对应“我”，$x+y$对应“中”，$x-y$对应“华”，将汉字组合可得“爱我中华”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，形式新颖，主要考查因式分解的基本步骤，要求学生熟练掌握提公因式法和平方差公式，同时考查信息提取与匹配的能力，属于基础类创新题。
【难度系数】
0.8
3.有一种因式分解法产生的密码，其原理如下：
将一个多项式分解因式，如：多项式 $x^4 - y^4$
因式分解的结果是 $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$。
若取 $x=9,y=9$，则各个因式的值是 $x - y=0,x + y=18,x^2 + y^2=162$，于是就可以把这三个数按从小到大排列为“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式 $9x^3 - xy^2$，若取 $x=12,y=6$，则用上述方法产生的密码是
将一个多项式分解因式，如：多项式 $x^4 - y^4$
因式分解的结果是 $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$。
若取 $x=9,y=9$，则各个因式的值是 $x - y=0,x + y=18,x^2 + y^2=162$，于是就可以把这三个数按从小到大排列为“018162”作为一个六位数的密码。对于多项式 $9x^3 - xy^2$，若取 $x=12,y=6$，则用上述方法产生的密码是
123042
。答案
3. 123042
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三个核心解题步骤：第一步对给定的多项式进行因式分解，按照因式分解的常规顺序，先提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能再分解为止；第二步将x=12、y=6代入分解后的每一个因式，计算出每个因式对应的数值；第三步将得到的所有数值按从小到大的顺序排列，拼接后就是要求的密码。
【解析】
首先对多项式$9x^3 - xy^2$因式分解：
1. 提取公因式$x$：
$9x^3 - xy^2 = x(9x^2 - y^2)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$继续分解$9x^2 - y^2$，其中$a=3x$，$b=y$：
$x(9x^2 - y^2) = x(3x - y)(3x + y)$
接下来代入$x=12$，$y=6$计算每个因式的值：
因式$x=12$
因式$3x - y = 3×12 - 6 = 30$
因式$3x + y = 3×12 + 6 = 42$
最后将三个值从小到大排列为12、30、42，拼接后得到密码123042。
【答案】
123042
【知识点】
因式分解，代数式求值
【点评】
本题将因式分解和密码设置相结合，属于应用型题目，既考查了因式分解的基本步骤（先提公因式再用公式），也考查了代数式的代入计算，解题时注意最后要把所得结果按从小到大排序后再拼接。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三个核心解题步骤：第一步对给定的多项式进行因式分解，按照因式分解的常规顺序，先提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能再分解为止；第二步将x=12、y=6代入分解后的每一个因式，计算出每个因式对应的数值；第三步将得到的所有数值按从小到大的顺序排列，拼接后就是要求的密码。
【解析】
首先对多项式$9x^3 - xy^2$因式分解：
1. 提取公因式$x$：
$9x^3 - xy^2 = x(9x^2 - y^2)$
2. 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$继续分解$9x^2 - y^2$，其中$a=3x$，$b=y$：
$x(9x^2 - y^2) = x(3x - y)(3x + y)$
接下来代入$x=12$，$y=6$计算每个因式的值：
因式$x=12$
因式$3x - y = 3×12 - 6 = 30$
因式$3x + y = 3×12 + 6 = 42$
最后将三个值从小到大排列为12、30、42，拼接后得到密码123042。
【答案】
123042
【知识点】
因式分解，代数式求值
【点评】
本题将因式分解和密码设置相结合，属于应用型题目，既考查了因式分解的基本步骤（先提公因式再用公式），也考查了代数式的代入计算，解题时注意最后要把所得结果按从小到大排序后再拼接。
【难度系数】
0.8
4.在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式$x^3 + 2x^2 - x - 2$因式分解的结果为$(x-1)(x+1)(x+2)$，当$x=18$时，$x -1=17$，$x+1=19$，$x+2=20$，此时可以得到数字密码171920，191720等.
(1)根据上述方法，当$x=21$，$y=7$时，求多项式$x^3 - xy^2$因式分解后可以形成哪些数字密码？(写出三个)
(2)若当$x=27$时，多项式$x^2 + (m - 3n)x -7n$因式分解后可以得到其中一个密码为2434，求$m,n$的值.
(1)根据上述方法，当$x=21$，$y=7$时，求多项式$x^3 - xy^2$因式分解后可以形成哪些数字密码？(写出三个)
(2)若当$x=27$时，多项式$x^2 + (m - 3n)x -7n$因式分解后可以得到其中一个密码为2434，求$m,n$的值.
答案
4. (1) 解：$x^3 - xy^2 = x(x - y)(x + y)$. 当 $x=21,y=7$ 时，$x-y=14,x+y=28$. 可得数字密码为 211428,212814,142128,142821,282114,281421(写出三个即可). (2) 解：$\because$ 密码为 2434，$\therefore$ 当 $x=27$ 时，$x^2 + (m - 3n)x - 7n = (x - 3)(x + 7)$，即 $x^2 + (m - 3n)x - 7n = x^2 + 4x - 21$.
$\therefore \begin{cases} m-3n=4,\\ -7n=-21. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=13,\\ n=3. \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} m-3n=4,\\ -7n=-21. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=13,\\ n=3. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；接着将$x=21$、$y=7$代入三个因式，计算得到每个因式对应的数值；最后将三个数值任意排列组合，即可得到不同的数字密码，任选三个写出即可。
(2) 首先根据给出的密码2434和$x=27$的条件，反推因式分解后的两个一次因式：27减24得3，因此一个因式为$(x-3)$，34减27得7，因此另一个因式为$(x+7)$；再将两个因式相乘展开，和原多项式对比，令对应项的系数相等，列出关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=21$，$y=7$时：
$x-y=21-7=14$，$x+y=21+7=28$
三个因式对应的数值为21、14、28，将三个数任意排列即可得到数字密码。
(2) 当$x=27$时得到密码2434，可知两个一次因式的值为24和34，因此因式分解结果为$(x-3)(x+7)$，可得：
$x^2 + (m - 3n)x -7n = (x-3)(x+7)$
将右侧展开得：$x^2 +4x -21$
根据多项式相等对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases} m-3n=4\\ -7n=-21 \end{cases}$
解第二个方程得$n=3$，将$n=3$代入第一个方程，解得$m=13$。
【答案】
(1) 211428、212814、142128（答案不唯一，任意三个排列均可）
(2) $m=13$，$n=3$
【知识点】
因式分解的应用、多项式恒等、解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中密码生成的实际场景考查因式分解相关知识，题目形式新颖，既需要掌握因式分解的基本方法，也需要读懂给定规则将实际问题转化为数学问题，能有效锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个一次因式的乘积；接着将$x=21$、$y=7$代入三个因式，计算得到每个因式对应的数值；最后将三个数值任意排列组合，即可得到不同的数字密码，任选三个写出即可。
(2) 首先根据给出的密码2434和$x=27$的条件，反推因式分解后的两个一次因式：27减24得3，因此一个因式为$(x-3)$，34减27得7，因此另一个因式为$(x+7)$；再将两个因式相乘展开，和原多项式对比，令对应项的系数相等，列出关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=21$，$y=7$时：
$x-y=21-7=14$，$x+y=21+7=28$
三个因式对应的数值为21、14、28，将三个数任意排列即可得到数字密码。
(2) 当$x=27$时得到密码2434，可知两个一次因式的值为24和34，因此因式分解结果为$(x-3)(x+7)$，可得：
$x^2 + (m - 3n)x -7n = (x-3)(x+7)$
将右侧展开得：$x^2 +4x -21$
根据多项式相等对应项系数相等，列方程组：
$\begin{cases} m-3n=4\\ -7n=-21 \end{cases}$
解第二个方程得$n=3$，将$n=3$代入第一个方程，解得$m=13$。
【答案】
(1) 211428、212814、142128（答案不唯一，任意三个排列均可）
(2) $m=13$，$n=3$
【知识点】
因式分解的应用、多项式恒等、解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中密码生成的实际场景考查因式分解相关知识，题目形式新颖，既需要掌握因式分解的基本方法，也需要读懂给定规则将实际问题转化为数学问题，能有效锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
