【例】下面是小黄同学对多项式$(x^2 -6x +8)(x^2 -6x +10)+1$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 -6x = y$.
∴原式$=(y+8)(y+10)+1$(第一步)
$=y^2 +18y +81$(第二步)
$=(y+9)^2$(第三步)
$=(x^2 -6x +9)^2$.(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ()
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻底”或“不彻底”);若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果: .
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^2 -2)(x^2 -6)+4$进行因式分解.

1. C
2. 不彻底，$(x-3)^4$
3. 解:设 $x^2 - 2 = y$. 则原式 $= y(y-4)+4 = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2 = (x^2 - 2 - 2)^2 = (x^2 - 4)^2 = (x+2)^2(x-2)^2$.

【分析】
(1) 解题时先回忆因式分解的三种常见方法，观察第二步到第三步的式子变形：$y^2+18y+81$转化为$(y+9)^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构特征，即可判断对应的方法。
(2) 因式分解的核心要求是分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，第四步得到的$(x^2-6x+9)^2$中，括号内的$x^2-6x+9$仍可利用完全平方公式继续分解，因此原结果不彻底，进一步化简即可得到最终结果。
(3) 模仿题干的换元法，观察待分解多项式$(x^2-2)(x^2-6)+4$，两个括号内都含有$x^2$项，可设$x^2-2=y$，则$x^2-6=y-4$，代入原式后先展开整理，再用公式分解，最后回代$x$的代数式，继续分解到不能分解即可。
【解析】
(1) 第二步结果$y^2+18y+81$到第三步$(y+9)^2$，完全符合完全平方公式的形式，因此选C。
(2) 第四步的$(x^2-6x+9)^2$中，$x^2-6x+9=(x-3)^2$，因此原式可进一步化简为$[(x-3)^2]^2=(x-3)^4$，所以原分解结果不彻底。
(3) 按换元法步骤分解：
设$x^2 - 2 = y$，则$x^2-6=y-4$，
原式$= y(y-4)+4$
$= y^2 - 4y + 4$
$= (y-2)^2$
回代$y=x^2-2$得：
原式$=(x^2 - 2 - 2)^2 = (x^2 - 4)^2$
再用平方差公式分解$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此最终结果为$[(x+2)(x-2)]^2=(x+2)^2(x-2)^2$。
【答案】
(1) C
(2) 不彻底，$(x-3)^4$
(3) 解:设 $x^2 - 2 = y$. 则原式 $= y(y-4)+4 = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2 = (x^2 - 2 - 2)^2 = (x^2 - 4)^2 = (x+2)^2(x-2)^2$.
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题重点考查换元法在多项式因式分解中的应用，换元法可以将结构复杂的多项式简化，降低分解难度，解题时要注意因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

1. 下列变形是因式分解的是 （）

A.$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
B.$x^2 - 2x +1 = x(x-2)+1$
C.$x+1 = x(1+\frac{1}{x})$
D.$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

1. D

【分析】
要判断一个变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，该变形需要同时满足三个要求：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积；③左右两边为恒等变形。解题时只需将每个选项对照这三个要求逐一排查即可。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：右边的结果是$x(x-2)$与1的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的结果要求，故B错误；
选项C：右边的$\frac{1}{x}$属于分式，不是整式，不符合“几个整式的积”的要求，故C错误；
选项D：左边$a^2-b^2$是多项式，右边$(a+b)(a-b)$是两个整式的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的三个核心特征，注意区分整式乘法和因式分解，同时要警惕结果中出现分式的陷阱，紧扣定义即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

2. 多项式$x^2y+2xy$与$x^2y-4y$的公因式是（）

A.$y$
B.$x+2$
C.$x-2$
D.$y(x+2)$

2. D

【分析】
要找两个多项式的公因式，我们可以先分别对两个多项式进行因式分解，再提取它们共同含有的因式即可。解题步骤分为三步：第一步对第一个多项式因式分解，第二步对第二个多项式因式分解（注意分解到不能再分解为止），第三步对比两个分解后的式子，找出公共因式。
【解析】
先分别对两个多项式因式分解：
1. 对多项式$x^2y+2xy$提公因式：
$x^2y+2xy = xy(x+2)$
2. 对多项式$x^2y-4y$因式分解，先提公因式$y$，再用平方差公式分解：
$x^2y-4y = y(x^2-4) = y(x+2)(x-2)$
对比两个分解后的式子，公共的因式为$y(x+2)$，因此公因式是$y(x+2)$。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定，提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查公因式的识别，解题核心是熟练掌握因式分解的基本方法，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，才能准确找出公因式。
【难度系数】
0.8

3. 把多项式$x^2 - 3x$分解因式的结果是 （）

A.$x(x+3)$
B.$x(x-3)$
C.$(x+3)^2$
D.$(x+3)(x-3)$

3. B

【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式的各项，确定各项的公因式：多项式$x^2 - 3x$的两项都含有公因式$x$；第二步提取公因式，将多项式写成公因式乘剩余部分的形式；第三步还可以通过整式乘法验证分解结果是否正确，再匹配对应选项即可。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x$分解因式：
1. 确定公因式：两项$x^2$和$-3x$的公共因式为$x$；
2. 提取公因式：$x^2 - 3x = x· x - x·3 = x(x-3)$；
3. 对比选项，与B选项一致。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的基本应用，解题时需先准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后可通过整式乘法反向验算，避免出现提取后剩余项写错的问题。
【难度系数】
0.9

4.已知多项式$a^2 - 2a + 1$，无论$a$取何值，它的值一定是（）

A.正数
B.非正数
C.负数
D.非负数

4. D

【分析】
拿到这道题首先观察多项式的结构，发现它符合完全平方公式的形式，解题思路为：第一步利用完全平方公式对多项式进行因式分解，第二步根据任意实数的平方具有非负性的性质，判断因式分解后式子的取值范围，即可得到答案。
【解析】
首先对多项式$a^2 - 2a + 1$因式分解：
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$a^2 - 2a + 1 = a^2 - 2· a·1 + 1^2 = (a-1)^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即对任意实数$a$，都有$(a-1)^2 ≥ 0$
∴ 无论$a$取何值，多项式$a^2 - 2a + 1$的值一定是非负数。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题是基础型考题，核心是识别多项式的完全平方结构，结合平方的非负性即可快速判断取值范围，难度较低。
【难度系数】
0.9

5.若$x^2 -kx +9$是完全平方式，则k的值是（）

A.$\pm 3$
B.$3$
C.$\pm 6$
D.$6$

5. C

【分析】
解题思路：首先回忆完全平方式的结构特征，完全平方式有和的平方、差的平方两种形式，结构为“首平方，尾平方，两倍首尾乘积放中央，符号可正可负”。本题先确定式子的首项对应$a=x$，尾项9对应$b^2=3^2$即$b=\pm3$，再根据中间项的对应关系列等式求解k，注意不要遗漏两种情况。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。
已知$x^2 -kx +9$是完全平方式：
1. 确定首尾平方项：首项$x^2=(x)^2$，尾项$9=3^2$，对应$a=x$，$b=\pm3$；
2. 匹配中间项：中间项$-kx=\pm 2ab=\pm 2· x· 3=\pm6x$；
3. 求解k：对比系数得$-k=\pm6$，因此$k=\pm6$。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查完全平方式的结构，解题时需注意完全平方包含和、差两种形式，切勿只考虑单种符号导致漏解。
【难度系数】
0.7

6. 已知$a,b,c$是三角形的三边长，那么式子$(a - b)^2 - c^2$的值 （）

A.大于 0
B.小于 0
C.等于 0
D.不能确定

6. B

【分析】首先观察待判断的式子，是两个平方项作差的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步可以先利用平方差公式对式子进行因式分解。再结合三角形三边的关系，分别判断分解得到的两个因式的正负性，最后根据乘法符号法则就能确定整个式子的正负，从而选出正确选项。
【解析】首先利用平方差公式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2 = (a-b + c)(a-b - c)$
∵$a$、$b$、$c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
∴$a + c ＞ b$，即$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$；
同时$b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。
两个因式一个为正、一个为负，乘积为负，
∴$(a-b)^2 - c^2 ＜ 0$。
【答案】B
【知识点】平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】本题将因式分解与三角形三边关系结合考查，解题的核心是先通过因式分解将原式转化为两个一次因式乘积的形式，再结合三边关系判断因式的符号，即可快速得到结果。
【难度系数】0.7

7.已知$x - y = 6$，则$x^2 - y^2 - 12y =$.

7. 36

【分析】
本题已知$x-y$的值，要求多项式的值，首先观察多项式中的$x^2-y^2$符合平方差公式的结构，因此第一步优先利用平方差公式对$x^2-y^2$因式分解，再将已知的$x-y=6$代入分解后的式子，对式子进行化简，最后将$x-y$作为整体代入化简后的结果即可求出答案，不需要单独求解$x$、$y$的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：首先利用平方差公式对原式变形：
$x^2 - y^2 - 12y = (x-y)(x+y) - 12y$
将$x-y=6$代入上式，得：
$=6(x+y)-12y$
展开并合并同类项：
$=6x + 6y - 12y$
$=6x - 6y$
提取公因式，转化为含$x-y$的形式：
$=6(x-y)$
再次将$x-y=6$代入，得：
$=6×6=36$
【答案】
36
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题的解题核心是灵活运用平方差公式对多项式进行变形，再通过整体代入已知条件求值，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数式求值中的便捷性。
【难度系数】
0.7

8.【新中考·结论】在多项式$x^2+\frac{1}{4}$中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是.(只写一个符合条件的单项式)

8. x(答案不唯一)

【分析】
解题前先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，展开后共三项，包含两个同号的平方项，以及一个$\pm2$倍的两数乘积项。题目给出的多项式$x^2+\frac{1}{4}$已经有两个平方项，我们可以把$x^2$对应公式里的$a^2$，$\frac{1}{4}$对应公式里的$b^2$，求出对应的乘积项即可，也可考虑其他构造完全平方的情况，任选一个符合条件的单项式作答即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
将已知多项式中的$x^2$看作$a^2$，即$a=x$，$\frac{1}{4}$看作$b^2$，即$b=\frac{1}{2}$，
则公式中的中间项为$\pm2ab=\pm2× x×\frac{1}{2}=\pm x$，
因此添加单项式$x$后，多项式变为$x^2+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2$，可使用完全平方公式因式分解，符合题目要求。
【答案】
x（答案不唯一）
【知识点】
1.完全平方公式 2.因式分解的应用
【点评】
本题为开放型试题，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需明确完全平方展开式的三项构成，灵活对应已有项求解缺失项，注意乘积项存在正负两种可能，任选其一作答即可。
【难度系数】
0.8

9.计算:
(1)$38.5^2 - 36.5^2 =$ ；
(2)$48^2 + 48×24 + 12^2 =$ ；
(3)$13.2×1.34 + 13.2×10.66 - 26.4 =$ 。

9. (1) 150 (2) 3 600 (3) 132

【分析】
这三道计算题均可通过因式分解的方法实现简便运算，无需硬算：
(1) 观察到算式是两个数的平方差形式，直接套用平方差公式计算即可；
(2) 先将中间项变形，可发现算式符合完全平方和公式的结构，套用公式简化计算；
(3) 先把26.4转化为13.2×2，再提取公因式13.2，合并剩余项后即可快速算出结果。
【解析】
(1) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算：
$38.5^2 - 36.5^2 = (38.5 - 36.5)×(38.5 + 36.5) = 2×75 = 150$
(2) 先变形中间项，再利用完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$计算：
$48×24 = 2×48×12$，因此原式$= 48^2 + 2×48×12 + 12^2 = (48 + 12)^2 = 60^2 = 3600$
(3) 先统一公因式，再提取公因式计算：
$26.4 = 13.2×2$，因此原式$= 13.2×1.34 + 13.2×10.66 - 13.2×2 = 13.2×(1.34 + 10.66 - 2) = 13.2×10 = 132$
【答案】
(1) 150；(2) 3600；(3) 132
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，提取公因式法
【点评】
本题考查利用因式分解进行简便运算，熟练掌握乘法公式的结构特征、灵活运用提取公因式的方法，能有效提高计算效率、减少计算失误，是简便运算类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8

10. 把下列各式分解因式：
(1)$x^2 - x^4$；
(2)$-a^3 + 2a^2 - a$；
(3)$9(x+y)^2 -6(x+y)+1$；
(4)利用因式分解计算：$99^2 +198 +1$.

(1)解:原式$=x^2(1-x^2)=x^2(1+x)(1-x)$；(2)解:原式$=-a(a^2-2a+1)=-a(a-1)^2$；(3)解:原式$=[3(x+y)]^2-6(x+y)+1=(3x+3y-1)^2$；(4)解:原式$=99^2+2×99×1+1=(99+1)^2=100^2=10000$

【分析】
本题考查因式分解及因式分解的应用，解题思路如下：
(1) 先观察式子，两项都含有公因式$x^2$，先提取公因式，再看剩余的$1-x^2$符合平方差公式特征，继续用平方差公式分解，注意分解要彻底；
(2) 式子首项为负，先提取负号和公因式$-a$，剩余的$a^2-2a+1$符合完全平方公式特征，再用完全平方公式分解即可；
(3) 把$x+y$看作一个整体，式子符合完全平方差公式的结构特征，直接套用完全平方公式分解，最后整理括号内的式子即可；
(4) 观察计算式，$198$可拆为$2×99×1$，原式正好符合完全平方和公式的结构，利用公式凑整计算，比直接计算更简便。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$x^2$，第二步利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
原式$=x^2(1-x^2)=x^2(1+x)(1-x)$
(2) 第一步提取公因式$-a$，第二步利用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
原式$=-a(a^2-2a+1)=-a(a-1)^2$
(3) 将$x+y$看作整体，利用完全平方差公式分解：
原式$=[3(x+y)]^2-2×3(x+y)×1+1^2=[3(x+y)-1]^2=(3x+3y-1)^2$
(4) 拆分中间项，利用完全平方和公式简便计算：
原式$=99^2+2×99×1+1^2=(99+1)^2=100^2=10000$
【答案】
(1)$x^2(1+x)(1-x)$；(2)$-a(a-1)^2$；(3)$(3x+3y-1)^2$；(4)$10000$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解的基础考点，解题时需遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再根据式子特征套用对应公式，最后检查是否分解彻底；涉及整体的式子要注意运用整体思想简化运算，利用因式分解简便计算时要先观察式子特征，凑出公式结构再计算。
【难度系数】
0.8