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11.已知$xy=15$，且满足$(x^2y-xy^2)-(x-y)=28$.
(1)求$x-y$的值；
(2)求$x^2+y^2$，$x+y$的值.
(1)求$x-y$的值；
(2)求$x^2+y^2$，$x+y$的值.
答案
11. 解:(1)$(x^2 y-xy^2)-(x-y)=28xy(x-y)-(x-y)=28(x-y)(xy-1)=28. \because xy=15,\therefore 14(x-y)=28. \therefore x-y=2$;(2)$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=2^2+2×15=34$;$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=34+2×15=64,\therefore x+y=\pm8$
解析
【分析】
(1) 求解x-y的值时，先观察已知等式左边的多项式，前两项$x^2y-xy^2$含有公因式$xy$，先提取公因式，可发现整个式子存在公因式$(x-y)$，将等式因式分解后，代入已知的$xy=15$，即可直接求出$x-y$的值。
(2) 求$x^2+y^2$时，利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入已求出的$x-y$和已知的$xy$的值计算即可；求$x+y$时，先利用完全平方公式求出$(x+y)^2$的值，再开平方得到结果，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}(x^2y-xy^2)-(x-y)&=28\\xy(x-y)-(x-y)&=28\\(x-y)(xy-1)&=28\end{aligned}$
将$xy=15$代入上式，得：
$(x-y)×(15-1)=28$
即$14(x-y)=28$，解得$x-y=2$。
(2) 计算$x^2+y^2$，利用完全平方公式变形：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$
代入$x-y=2$，$xy=15$，得：
$x^2+y^2=2^2+2×15=4+30=34$
计算$x+y$，先求$(x+y)^2$：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
代入$x^2+y^2=34$，$xy=15$，得：
$(x+y)^2=34+2×15=34+30=64$
开平方得$x+y=\pm8$。
【答案】
(1) $x-y=2$；
(2) $x^2+y^2=34$，$x+y=\pm8$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查因式分解的应用和完全平方公式的变形，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，以及完全平方公式的常见变形形式，求解$x+y$时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
(1) 求解x-y的值时，先观察已知等式左边的多项式，前两项$x^2y-xy^2$含有公因式$xy$，先提取公因式，可发现整个式子存在公因式$(x-y)$，将等式因式分解后，代入已知的$xy=15$，即可直接求出$x-y$的值。
(2) 求$x^2+y^2$时，利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入已求出的$x-y$和已知的$xy$的值计算即可；求$x+y$时，先利用完全平方公式求出$(x+y)^2$的值，再开平方得到结果，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}(x^2y-xy^2)-(x-y)&=28\\xy(x-y)-(x-y)&=28\\(x-y)(xy-1)&=28\end{aligned}$
将$xy=15$代入上式，得：
$(x-y)×(15-1)=28$
即$14(x-y)=28$，解得$x-y=2$。
(2) 计算$x^2+y^2$，利用完全平方公式变形：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$
代入$x-y=2$，$xy=15$，得：
$x^2+y^2=2^2+2×15=4+30=34$
计算$x+y$，先求$(x+y)^2$：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
代入$x^2+y^2=34$，$xy=15$，得：
$(x+y)^2=34+2×15=34+30=64$
开平方得$x+y=\pm8$。
【答案】
(1) $x-y=2$；
(2) $x^2+y^2=34$，$x+y=\pm8$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题重点考查因式分解的应用和完全平方公式的变形，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，以及完全平方公式的常见变形形式，求解$x+y$时要注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
12.龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统,现场观众可以看到李白带你云游长安、大熊猫花花上春晚教学八段锦…AR与AI的技术融合让人耳目一新,淇淇同学深受智能技术触动,发明了一个智能关联盒.当输入数或式时,盒子会直接加4后输出.
(1)第一次淇淇输入为$n+2$,则关联盒输出为
(2)在(1)的条件下,若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽,输出的式子作为长,其面积记作$S_1$,把第二次输入的式子作为长方形乙的宽,输出的式子作为长,其面积记作$S_2$.
①请用含$n$的代数式分别表示$S_1$和$S_2$(结果化成多项式的形式);
②淇淇发现$S_2+4$可以化为一个完全平方式,请解释说明.
(1)第一次淇淇输入为$n+2$,则关联盒输出为
n+6
;若关联盒第二次输出为$n+8$,则淇淇输入的是n+4
$(n＞0)$;(2)在(1)的条件下,若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽,输出的式子作为长,其面积记作$S_1$,把第二次输入的式子作为长方形乙的宽,输出的式子作为长,其面积记作$S_2$.
①请用含$n$的代数式分别表示$S_1$和$S_2$(结果化成多项式的形式);
②淇淇发现$S_2+4$可以化为一个完全平方式,请解释说明.
答案
12. (1) n+6 n+4 (2) ①$S_1=(n+2)(n+6)=n^2+8n+12$,$S_2=(n+8)(n+4)=n^2+12n+32$. ②$S_2+4=n^2+12n+32+4=n^2+12n+36$,$\because n^2+12n+36=n^2+12n+6^2=(n+6)^2$,$\therefore S_2+4$可以化为一个完全平方式.
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 先明确关联盒的运算规则：输出=输入+4，已知输入求输出时直接将输入加4计算即可；已知输出求输入时，逆用规则用输出减4计算即可。(2) ①根据长方形面积=长×宽的公式，分别代入两个长方形对应的长和宽，再用多项式乘多项式法则展开，整理为多项式形式即可。②先计算$S_2+4$的结果，再对照完全平方公式的结构特征，验证其可化为完全平方式即可。
【解析】
(1) 第一次输入为$n+2$，根据关联盒规则，输出为$(n+2)+4=n+6$；
第二次输出为$n+8$，逆用规则可得输入为$(n+8)-4=n+4$。
(2) ① 长方形甲的宽为$n+2$，长为第一次的输出$n+6$，因此面积：
$S_1=(n+2)(n+6)=n^2+6n+2n+12=n^2+8n+12$
长方形乙的宽为第二次的输入$n+4$，长为第二次的输出$n+8$，因此面积：
$S_2=(n+4)(n+8)=n^2+8n+4n+32=n^2+12n+32$
② 计算$S_2+4$：
$S_2+4=n^2+12n+32+4=n^2+12n+36$
根据完全平方公式，$n^2+12n+36=n^2+2× n×6+6^2=(n+6)^2$，因此$S_2+4$可以化为完全平方式。
【答案】
(1) $n+6$；$n+4$
(2) ①$S_1=(n+2)(n+6)=n^2+8n+12$，$S_2=(n+8)(n+4)=n^2+12n+32$
②$S_2+4=n^2+12n+32+4=n^2+12n+36$，$\because n^2+12n+36=n^2+12n+6^2=(n+6)^2$，$\therefore S_2+4$可以化为一个完全平方式。
【知识点】
列代数式；多项式乘多项式；完全平方公式
【点评】
本题结合科技热点创设情境，趣味性较强，考查了整式的基础运算，解题关键是准确理解题目给定的运算规则，熟练掌握整式乘法法则和完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1) 先明确关联盒的运算规则：输出=输入+4，已知输入求输出时直接将输入加4计算即可；已知输出求输入时，逆用规则用输出减4计算即可。(2) ①根据长方形面积=长×宽的公式，分别代入两个长方形对应的长和宽，再用多项式乘多项式法则展开，整理为多项式形式即可。②先计算$S_2+4$的结果，再对照完全平方公式的结构特征，验证其可化为完全平方式即可。
【解析】
(1) 第一次输入为$n+2$，根据关联盒规则，输出为$(n+2)+4=n+6$；
第二次输出为$n+8$，逆用规则可得输入为$(n+8)-4=n+4$。
(2) ① 长方形甲的宽为$n+2$，长为第一次的输出$n+6$，因此面积：
$S_1=(n+2)(n+6)=n^2+6n+2n+12=n^2+8n+12$
长方形乙的宽为第二次的输入$n+4$，长为第二次的输出$n+8$，因此面积：
$S_2=(n+4)(n+8)=n^2+8n+4n+32=n^2+12n+32$
② 计算$S_2+4$：
$S_2+4=n^2+12n+32+4=n^2+12n+36$
根据完全平方公式，$n^2+12n+36=n^2+2× n×6+6^2=(n+6)^2$，因此$S_2+4$可以化为完全平方式。
【答案】
(1) $n+6$；$n+4$
(2) ①$S_1=(n+2)(n+6)=n^2+8n+12$，$S_2=(n+8)(n+4)=n^2+12n+32$
②$S_2+4=n^2+12n+32+4=n^2+12n+36$，$\because n^2+12n+36=n^2+12n+6^2=(n+6)^2$，$\therefore S_2+4$可以化为一个完全平方式。
【知识点】
列代数式；多项式乘多项式；完全平方公式
【点评】
本题结合科技热点创设情境，趣味性较强，考查了整式的基础运算，解题关键是准确理解题目给定的运算规则，熟练掌握整式乘法法则和完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
13.【观察】$(2+3)^2 - 2^2 = (2+3+2)(2+3-2) = 7×3,(4+3)^2 - 4^2 = (4+3+4)(4+3-4) = 11×3,(6+3)^2 - 6^2 = (6+3+6)(6+3-6) = 15×3,……$
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2)若设这个偶数为$2n$,试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能否被3整除；
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除.
【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除.
【验证】
(1)若这个偶数是10,通过计算说明13和10的平方差能否被3整除；
(2)若设这个偶数为$2n$,试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能否被3整除；
【延伸】
(3)试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除.
答案
1. $13^2 - 10^2 = (13+10)(13-10) = 69. 69÷3=23$，
∴能被3整除；
2. $(2n+3)^2 - (2n)^2 = (2n+3+2n)(2n+3-2n) = 3(4n+3)$，
∴能被3整除；
3. 设这个数为$n$，比$n$大9的数为$n+9$，$(n+9)^2 - n^2 = (n+9+n)(n+9-n) = 9(2n+9)$，
∴能被9整除.
∴能被3整除；
2. $(2n+3)^2 - (2n)^2 = (2n+3+2n)(2n+3-2n) = 3(4n+3)$，
∴能被3整除；
3. 设这个数为$n$，比$n$大9的数为$n+9$，$(n+9)^2 - n^2 = (n+9+n)(n+9-n) = 9(2n+9)$，
∴能被9整除.
解析
【分析】
本题核心是利用平方差公式对平方差进行因式分解，再判断分解结果是否含有指定的因数，从而判定能否被整除。解题思路如下：(1)第(1)问直接将偶数10代入，先计算13与10的平方差，利用平方差公式简化计算，再验证结果是否为3的倍数；(2)第(2)问将表示偶数的2n代入，用平方差公式分解因式，整理后观察结果是否含因数3即可；(3)第(3)问先设任意整数为n，表示出比它大9的数为n+9，同样用平方差公式分解因式，判断结果是否含因数9即可。
【解析】
(1) 当这个偶数是10时，比它大3的数是13，计算平方差：
$13^2 - 10^2 = (13+10)(13-10) = 23×3 = 69$
$69÷3 = 23$，商为整数，因此能被3整除。
(2) 设这个偶数为$2n$，则比它大3的数为$2n+3$，计算平方差：
$(2n+3)^2 - (2n)^2 = (2n+3+2n)(2n+3-2n) = 3(4n+3)$
因为$n$是整数，所以$4n+3$是整数，即结果是3的整数倍，因此能被3整除。
(3) 设这个任意整数为$n$，则比它大9的数为$n+9$，计算平方差：
$(n+9)^2 - n^2 = (n+9+n)(n+9-n) = 9(2n+9)$
因为$n$是整数，所以$2n+9$是整数，即结果是9的整数倍，因此能被9整除。
【答案】
(1) 能被3整除；
(2) 能被3整除；
(3) 能被9整除。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解应用
3. 整除判定
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，重点考查平方差公式的灵活运用，掌握利用因式分解将平方差转化为乘积形式，再判断是否含对应因数是解决这类整除问题的关键。
【难度系数】
0.75
本题核心是利用平方差公式对平方差进行因式分解，再判断分解结果是否含有指定的因数，从而判定能否被整除。解题思路如下：(1)第(1)问直接将偶数10代入，先计算13与10的平方差，利用平方差公式简化计算，再验证结果是否为3的倍数；(2)第(2)问将表示偶数的2n代入，用平方差公式分解因式，整理后观察结果是否含因数3即可；(3)第(3)问先设任意整数为n，表示出比它大9的数为n+9，同样用平方差公式分解因式，判断结果是否含因数9即可。
【解析】
(1) 当这个偶数是10时，比它大3的数是13，计算平方差：
$13^2 - 10^2 = (13+10)(13-10) = 23×3 = 69$
$69÷3 = 23$，商为整数，因此能被3整除。
(2) 设这个偶数为$2n$，则比它大3的数为$2n+3$，计算平方差：
$(2n+3)^2 - (2n)^2 = (2n+3+2n)(2n+3-2n) = 3(4n+3)$
因为$n$是整数，所以$4n+3$是整数，即结果是3的整数倍，因此能被3整除。
(3) 设这个任意整数为$n$，则比它大9的数为$n+9$，计算平方差：
$(n+9)^2 - n^2 = (n+9+n)(n+9-n) = 9(2n+9)$
因为$n$是整数，所以$2n+9$是整数，即结果是9的整数倍，因此能被9整除。
【答案】
(1) 能被3整除；
(2) 能被3整除；
(3) 能被9整除。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解应用
3. 整除判定
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，重点考查平方差公式的灵活运用，掌握利用因式分解将平方差转化为乘积形式，再判断是否含对应因数是解决这类整除问题的关键。
【难度系数】
0.75
