1.【新中考·解题方法型阅读理解题】由多项式乘法:$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行分解因式的公式:$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.示例:分解因式:$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
【问题解决】分解因式:
①$x^2+5x+4=$;
②$x^2-6x+8=$.
【拓展应用】阅读多项式$2x^2-x-3$的分解方法:
①二次项系数$2=1×2$;
②常数项$-3=-1×3=1×(-3)$;
验算:“交叉相乘之和”;

$1×3+2×(-1)=1$
$1×(-1)+2×3=5$
$1×(-3)+2×1=-1$
$1×1+2×(-3)=-5$
③发现C的“交叉相乘之和”的结果$1×(-3)+2×1=-1$,等于一次项系数$-1$.
即:$2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)$.
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相乘法.仿照以上方法,分解因式:(1)$2x^2+7x+3$;(2)$3a^2+5a-8$.

① (x+1)(x+4)
② (x-4)(x-2)
(1) 原式=(2x+1)(x+3)
(2) 原式=(3a+8)(a-1)

【分析】
解题分为两类情况思考：
1. 二次项系数为1的十字相乘：核心是找到两个数，使两数乘积等于常数项、两数之和等于一次项系数，直接套用公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$分解即可。①中找乘积为4、和为5的两个数，②中找乘积为8、和为-6的两个数即可求解。
2. 二次项系数不为1的十字相乘：先拆分二次项系数为两个正整数的乘积，再拆分常数项为两个整数的乘积，交叉相乘后求和，若结果等于一次项系数即为正确拆分，最后写成两个一次式的乘积即可。(1)中拆分二次项2和常数项3，验证交叉和为7即可；(2)拆分二次项3和常数项-8，验证交叉和为5即可。
【解析】
问题解决
① 对$x^2+5x+4$，可得$1×4=4$，$1+4=5$，满足十字相乘要求：
$x^2+5x+4=x^2+(1+4)x+1×4=(x+1)(x+4)$
② 对$x^2-6x+8$，可得$(-2)×(-4)=8$，$(-2)+(-4)=-6$，满足十字相乘要求：
$x^2-6x+8=x^2+(-2-4)x+(-2)×(-4)=(x-2)(x-4)$
拓展应用
(1) 分解$2x^2+7x+3$：
第一步：拆二次项系数：$2=1×2$；
第二步：拆常数项：$3=1×3$；
第三步：验证交叉和：$2×3 + 1×1=7$，与一次项系数一致，因此：
$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)$
(2) 分解$3a^2+5a-8$：
第一步：拆二次项系数：$3=1×3$；
第二步：拆常数项：$-8=8×(-1)$；
第三步：验证交叉和：$3×(-1) + 1×8=5$，与一次项系数一致，因此：
$3a^2+5a-8=(3a+8)(a-1)$
【答案】
① $\boldsymbol{(x+1)(x+4)}$
② $\boldsymbol{(x-2)(x-4)}$
(1) $\boldsymbol{(2x+1)(x+3)}$
(2) $\boldsymbol{(3a+8)(a-1)}$
【知识点】
十字相乘法，因式分解，整式乘法逆用
【点评】
本题重点考查十字相乘法分解因式的方法，从基础到拓展循序渐进，核心要掌握“拆分系数、交叉求和验证”的步骤，该方法是因式分解的常用技巧，熟练掌握后能有效提升因式分解的速度和准确率。
【难度系数】
0.7

2. 观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学分解因式的过程：
甲：$x^2 - xy + 4x - 4y$
$=(x^2 - xy) + (4x - 4y)$（分成两组）
$=x(x - y) + 4(x - y)$（直接提公因式）
$=(x - y)(x + 4)$。
乙：$a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$
$=a^2 - (b^2 + c^2 - 2bc)$（分成两组）
$=a^2 - (b - c)^2$（直接运用公式）
$=(a + b - c)(a - b + c)$（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1) $x^2 - 2xy + y^2 - 9$；
(2) $m^3 - 2m^2 - 4m + 8$。

(1) 原式=$(x-y)^2-9=(x-y+3)(x-y-3)$
(2) 原式=$m^2(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m^2-4)=(m-2)^2(m+2)$

【分析】
本题考查分组分解法进行因式分解，解题时需根据多项式的结构特点合理分组：
(1) 观察式子发现前三项$x^2 - 2xy + y^2$符合完全平方公式的结构，因此将前三项分为一组，剩余的常数项单独为一组，先利用完全平方公式变形，再套用平方差公式完成分解；
(2) 观察式子可两两分组，将前两项、后两项分别分为一组，两组分别提取公因式后会出现公共的因式$(m-2)$，提取公因式后剩余的$m^2-4$可继续用平方差公式分解，注意要分解到每个因式不能再分解为止。
【解析】
(1) 先将前三项分组，利用完全平方公式变形：
原式$=(x^2 - 2xy + y^2) - 9$
$=(x-y)^2 - 3^2$
再利用平方差公式分解：
$=(x-y+3)(x-y-3)$
(2) 两两分组提取公因式：
原式$=(m^3 - 2m^2) + (-4m + 8)$
$=m^2(m-2) - 4(m-2)$
提取公因式$(m-2)$：
$=(m-2)(m^2 - 4)$
再利用平方差公式分解$m^2-4$，合并同类因式：
$=(m-2)(m+2)(m-2)$
$=(m-2)^2(m+2)$
【答案】
(1) $(x-y+3)(x-y-3)$
(2) $(m-2)^2(m+2)$
【知识点】
分组分解法因式分解；完全平方公式；平方差公式
【点评】
分组分解法的核心是合理分组，分组后要保证后续可以提取公因式或者套用乘法公式，因式分解的最终结果要满足每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7

3.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读材料:将一个多项式添上某些项,使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式,这种方法叫作配方法.如果我们能将多项式通过配方,使其成为$A^2 - B^2$的形式,那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解.例如,分解因式:$x^4 + 4$.
解:$原式 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x)$.
请按照阅读材料提供的方法,分解因式:$4x^4 + 1$.

$4x^4+1=4x^4+4x^2+1-4x^2=(2x^2+1)^2-4x^2=(2x^2+1+2x)(2x^2+1-2x)$

【分析】
首先读懂材料给出的配方法因式分解的思路：先凑出完全平方式，再将多项式变形为$A^2-B^2$的结构，最后用平方差公式分解。针对$4x^4+1$，观察可得$4x^4=(2x^2)^2$，$1=1^2$，要凑完全平方需要补充中间项$4x^2$，为了不改变原式的值，补充$4x^2$的同时要减去$4x^2$，之后将前三项写成完全平方形式，整体就符合平方差公式的结构，再套用公式分解即可。
【解析】
解：$\begin{aligned}&4x^4 + 1\\=&4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2\\=&(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2\\=&(2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)\end{aligned}$
【答案】
$(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$
【知识点】
配方法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题是阅读类因式分解题，考查对新方法的理解和公式的灵活运用，解题核心是合理添项凑完全平方，注意添项后要减去相同的项保证代数式的值不变，再结合平方差公式即可完成分解。
【难度系数】
0.7