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一、注意提公因式后不要忘了“1”
1. 分解因式：
(1) $x^2 - 2xy + x$；
(2) $m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$。
1. 分解因式：
(1) $x^2 - 2xy + x$；
(2) $m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$。
答案
1. (1) 原式$=x · x + x · (-2y) + x · 1 = x(x - 2y + 1)$. (2) 原式$=(m - 2)(m^2 - 2m + 1) = (m - 2)(m - 1)^2$.
解析
【分析】
分解因式优先使用提公因式法，解题思路如下：
(1) 先观察多项式$x^2 - 2xy + x$的各项，确定公因式为$x$，提取公因式时每一项都要除以公因式，最后一项$x$除以$x$得到1，不能遗漏这个“1”；
(2) 观察多项式$m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$，三项都含有公因式$(m-2)$，先提取公因式，再检查剩余的多项式$m^2-2m+1$，符合完全平方公式的特征，需要继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2xy + x$分解因式：
将各项改写为公因式与另一因式的乘积形式：
$x^2 - 2xy + x = x· x + x·(-2y) + x·1$
提取公因式$x$，得：$x(x - 2y + 1)$
(2) 对$m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$分解因式：
提取公因式$(m-2)$，得：
$(m - 2)(m^2 - 2m + 1)$
其中$m^2 - 2m + 1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=m$，$b=1$），因此$m^2 - 2m + 1=(m-1)^2$，代入得：
原式$=(m - 2)(m - 1)^2$
【答案】
(1) $x(x - 2y + 1)$；(2) $(m - 2)(m - 1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心易错点有两个：一是提取公因式时容易遗漏单独成项的“1”；二是提取公因式后未检查剩余因式，没有分解到最简形式，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.75
分解因式优先使用提公因式法，解题思路如下：
(1) 先观察多项式$x^2 - 2xy + x$的各项，确定公因式为$x$，提取公因式时每一项都要除以公因式，最后一项$x$除以$x$得到1，不能遗漏这个“1”；
(2) 观察多项式$m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$，三项都含有公因式$(m-2)$，先提取公因式，再检查剩余的多项式$m^2-2m+1$，符合完全平方公式的特征，需要继续分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2xy + x$分解因式：
将各项改写为公因式与另一因式的乘积形式：
$x^2 - 2xy + x = x· x + x·(-2y) + x·1$
提取公因式$x$，得：$x(x - 2y + 1)$
(2) 对$m^2(m - 2) - 2m(m - 2) + (m - 2)$分解因式：
提取公因式$(m-2)$，得：
$(m - 2)(m^2 - 2m + 1)$
其中$m^2 - 2m + 1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=m$，$b=1$），因此$m^2 - 2m + 1=(m-1)^2$，代入得：
原式$=(m - 2)(m - 1)^2$
【答案】
(1) $x(x - 2y + 1)$；(2) $(m - 2)(m - 1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心易错点有两个：一是提取公因式时容易遗漏单独成项的“1”；二是提取公因式后未检查剩余因式，没有分解到最简形式，解题时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.75
二、注意识别公式法的系数
2.分解因式：
(1)$4(a+b)^2 - 1$；
(2)$36x^2 - 48xy + 16y^2$。
2.分解因式：
(1)$4(a+b)^2 - 1$；
(2)$36x^2 - 48xy + 16y^2$。
答案
2. (1) 原式$=[2(a + b)]^2 - 1^2 = (2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)$. (2) 原式$=4(9x^2 - 12xy + 4y^2) = 4[(3x)^2 - 2 × 3x · 2y + (2y)^2] = 4(3x - 2y)^2$.
解析
【分析】
这两道因式分解题均考查公式法的应用，解题思路如下：
(1) 观察式子为两项，且两项都可写成平方形式、符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先将$4(a+b)^2$变形为$[2(a+b)]^2$、$1$变形为$1^2$，再代入平方差公式化简即可。
(2) 先观察式子的公因式，三项系数的最大公因数是4，先提取公因式4，再看剩余的三项式，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，将$9x^2$变形为$(3x)^2$、$4y^2$变形为$(2y)^2$，验证中间项符合公式要求后代入即可完成分解。
【解析】
(1) 原式转化为平方差标准形式：
$=[2(a + b)]^2 - 1^2$
代入平方差公式得：
$=(2(a+b)+1)(2(a+b)-1)$
去括号化简得：
$=(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)$
(2) 第一步提取公因式4：
$=4(9x^2 - 12xy + 4y^2)$
将括号内式子变形为完全平方形式：
$=4[(3x)^2 - 2 × 3x · 2y + (2y)^2]$
代入完全平方差公式得：
$=4(3x - 2y)^2$
【答案】
(1) $(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)$；(2) $4(3x - 2y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
因式分解要遵循“一提二套三查”的步骤：先判断是否有公因式，有公因式优先提取，再根据多项式项数选择对应公式（两项选平方差公式，三项选完全平方公式），最后检查分解是否彻底、是否符合要求。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题均考查公式法的应用，解题思路如下：
(1) 观察式子为两项，且两项都可写成平方形式、符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先将$4(a+b)^2$变形为$[2(a+b)]^2$、$1$变形为$1^2$，再代入平方差公式化简即可。
(2) 先观察式子的公因式，三项系数的最大公因数是4，先提取公因式4，再看剩余的三项式，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构特征，将$9x^2$变形为$(3x)^2$、$4y^2$变形为$(2y)^2$，验证中间项符合公式要求后代入即可完成分解。
【解析】
(1) 原式转化为平方差标准形式：
$=[2(a + b)]^2 - 1^2$
代入平方差公式得：
$=(2(a+b)+1)(2(a+b)-1)$
去括号化简得：
$=(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)$
(2) 第一步提取公因式4：
$=4(9x^2 - 12xy + 4y^2)$
将括号内式子变形为完全平方形式：
$=4[(3x)^2 - 2 × 3x · 2y + (2y)^2]$
代入完全平方差公式得：
$=4(3x - 2y)^2$
【答案】
(1) $(2a + 2b + 1)(2a + 2b - 1)$；(2) $4(3x - 2y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
因式分解要遵循“一提二套三查”的步骤：先判断是否有公因式，有公因式优先提取，再根据多项式项数选择对应公式（两项选平方差公式，三项选完全平方公式），最后检查分解是否彻底、是否符合要求。
【难度系数】
0.8
三、注意提取正确的公因式
3.分解因式：
(1) $-4m^4n -16m^2n^3 -16m^3n^2$；
(2) $6a(1-b)^2 -2(b-1)^2$。
3.分解因式：
(1) $-4m^4n -16m^2n^3 -16m^3n^2$；
(2) $6a(1-b)^2 -2(b-1)^2$。
答案
3. (1) 原式$=-4m^2n(m^2 + 4n^2 + 4mn) = -4m^2n(m + 2n)^2$. (2) 原式$=(b - 1)^2(6a - 2) = 2(b - 1)^2(3a - 1)$.
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步提取公因式，第二步套用乘法公式，第三步检查是否分解彻底。
(1) 首先观察多项式首项为负，优先提取负号，再找各项系数的最大公约数为4，相同字母m的最低次幂是2次、n的最低次幂是1次，因此公因式为$-4m^2n$；提取公因式后得到的剩余多项式整理后符合完全平方公式的形式，需要继续分解。
(2) 由偶次幂的性质可知$(1-b)^2=(b-1)^2$，因此可确定公因式为$2(b-1)^2$，提取公因式后还要检查剩余部分是否还有公因式可提，保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$-4m^2n$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4m^2n(m^2 + 4n^2 + 4mn)\end{aligned}$
再对括号内的多项式用完全平方公式分解：$m^2 + 4mn + 4n^2=(m+2n)^2$，因此最终结果为$-4m^2n(m+2n)^2$。
(2) 先将$(1-b)^2$变形为$(b-1)^2$，原式改写为$6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$，再提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(b - 1)^2(6a - 2)\\&=2(b-1)^2(3a - 1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4m^2n(m + 2n)^2$；(2) $2(b - 1)^2(3a - 1)$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、偶次幂的性质
【点评】
本题是因式分解的常规题型，核心是准确识别公因式，需注意首项为负时优先提取负号，以及互为相反数的偶次幂可转化为相同因式的技巧，提取公因式后要检查剩余多项式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：第一步提取公因式，第二步套用乘法公式，第三步检查是否分解彻底。
(1) 首先观察多项式首项为负，优先提取负号，再找各项系数的最大公约数为4，相同字母m的最低次幂是2次、n的最低次幂是1次，因此公因式为$-4m^2n$；提取公因式后得到的剩余多项式整理后符合完全平方公式的形式，需要继续分解。
(2) 由偶次幂的性质可知$(1-b)^2=(b-1)^2$，因此可确定公因式为$2(b-1)^2$，提取公因式后还要检查剩余部分是否还有公因式可提，保证分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式$-4m^2n$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-4m^2n(m^2 + 4n^2 + 4mn)\end{aligned}$
再对括号内的多项式用完全平方公式分解：$m^2 + 4mn + 4n^2=(m+2n)^2$，因此最终结果为$-4m^2n(m+2n)^2$。
(2) 先将$(1-b)^2$变形为$(b-1)^2$，原式改写为$6a(b-1)^2 - 2(b-1)^2$，再提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(b - 1)^2(6a - 2)\\&=2(b-1)^2(3a - 1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4m^2n(m + 2n)^2$；(2) $2(b - 1)^2(3a - 1)$
【知识点】
提公因式法因式分解、完全平方公式、偶次幂的性质
【点评】
本题是因式分解的常规题型，核心是准确识别公因式，需注意首项为负时优先提取负号，以及互为相反数的偶次幂可转化为相同因式的技巧，提取公因式后要检查剩余多项式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
四、注意分辨是因式分解还是整式乘法
4.分解因式：
(1)$(5a+3b)^2 - (3a+5b)^2$；
(2)$(a+1)^3 - 2(1+a)^2 + a + 1$。
4.分解因式：
(1)$(5a+3b)^2 - (3a+5b)^2$；
(2)$(a+1)^3 - 2(1+a)^2 + a + 1$。
答案
4. (1) 原式$=[(5a + 3b) + (3a + 5b)][(5a + 3b) - (3a + 5b)] = (8a + 8b)(2a - 2b) = 16(a + b)(a - b)$. (2) 原式$=(a + 1)[(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1] = (a + 1)[(a + 1) - 1]^2 = a^2(a + 1)$.
解析
【分析】
(1) 观察式子是两个整式的平方相减，符合平方差公式的结构特征，可先将$5a+3b$和$3a+5b$分别看作整体，套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$展开，再合并同类项，最后提取公因式，分解到不能再分解为止。
(2) 观察式子各项都含有公因式$(a+1)$，先提取公因式$(a+1)$，再看剩余部分的结构，符合完全平方公式的特征，套用完全平方公式化简即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 原式$=[(5a + 3b) + (3a + 5b)][(5a + 3b) - (3a + 5b)]$
$=(5a+3b+3a+5b)(5a+3b-3a-5b)$
$=(8a + 8b)(2a - 2b)$
$=8(a+b)×2(a-b)$
$=16(a + b)(a - b)$
(2) 原式$=(a + 1)^3 - 2(a + 1)^2 + (a + 1)$
$=(a + 1)[(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1]$
$=(a + 1)[(a + 1) - 1]^2$
$=(a+1)· a^2$
$=a^2(a + 1)$
【答案】
(1) $16(a+b)(a-b)$；(2) $a^2(a+1)$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，解题时需先观察式子特征，优先提取公因式，再根据剩余部分的结构匹配对应的乘法公式，分解过程中可运用整体思想简化运算，最终结果要保证每一个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子是两个整式的平方相减，符合平方差公式的结构特征，可先将$5a+3b$和$3a+5b$分别看作整体，套用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$展开，再合并同类项，最后提取公因式，分解到不能再分解为止。
(2) 观察式子各项都含有公因式$(a+1)$，先提取公因式$(a+1)$，再看剩余部分的结构，符合完全平方公式的特征，套用完全平方公式化简即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 原式$=[(5a + 3b) + (3a + 5b)][(5a + 3b) - (3a + 5b)]$
$=(5a+3b+3a+5b)(5a+3b-3a-5b)$
$=(8a + 8b)(2a - 2b)$
$=8(a+b)×2(a-b)$
$=16(a + b)(a - b)$
(2) 原式$=(a + 1)^3 - 2(a + 1)^2 + (a + 1)$
$=(a + 1)[(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1]$
$=(a + 1)[(a + 1) - 1]^2$
$=(a+1)· a^2$
$=a^2(a + 1)$
【答案】
(1) $16(a+b)(a-b)$；(2) $a^2(a+1)$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，解题时需先观察式子特征，优先提取公因式，再根据剩余部分的结构匹配对应的乘法公式，分解过程中可运用整体思想简化运算，最终结果要保证每一个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
五、注意分辨因式分解是否彻底
5.分解因式：
(1)$x^2 y^4 - x^6$；
(2)$m^4 -18m^2 +81$；
(3)$x^2(x-y)+9(y-x)$。
5.分解因式：
(1)$x^2 y^4 - x^6$；
(2)$m^4 -18m^2 +81$；
(3)$x^2(x-y)+9(y-x)$。
答案
5. (1) 原式$=x^2(y^4 - x^4) = x^2(y^2 + x^2)(y^2 - x^2) = x^2(y^2 + x^2)(y + x)(y - x)$. (2) 原式$=(m^2)^2 - 2 · m^2 · 9 + 9^2 = (m^2 - 9)^2 = [(m + 3)(m - 3)]^2 = (m + 3)^2(m - 3)^2$. (3) 原式$=(x - y)(x^2 - 9) = (x - y)(x + 3)(x - 3)$.
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的核心步骤：①先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；②再看提取公因式后剩余的多项式的结构，两项优先匹配平方差公式，三项优先匹配完全平方公式，套用对应公式分解；③最后检查每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止，同时注意互为相反数的因式变形时的符号处理。
各小题具体思路：
(1) 先提取两项公因式$x^2$，剩余的$y^4-x^4$是平方差结构，第一次套用平方差公式后得到的$y^2-x^2$仍为平方差结构，需再次分解彻底；
(2) 原式为三项式，符合完全平方公式特征，先套用完全平方公式分解，得到的$m^2-9$是平方差结构，需再次套用平方差公式后按乘方规则化简；
(3) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，即可提取公因式$(x-y)$，剩余的$x^2-9$是平方差结构，再套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式，再两次套用平方差公式：
原式$=x^2(y^4 - x^4) = x^2(y^2 + x^2)(y^2 - x^2) = x^2(y^2 + x^2)(y + x)(y - x)$
(2) 先套用完全平方公式，再套用平方差公式化简：
原式$=(m^2)^2 - 2 · m^2 · 9 + 9^2 = (m^2 - 9)^2 = [(m + 3)(m - 3)]^2 = (m + 3)^2(m - 3)^2$
(3) 先变形统一公因式，再提取公因式后套用平方差公式：
原式$=x^2(x-y)-9(x-y)=(x - y)(x^2 - 9) = (x - y)(x + 3)(x - 3)$
【答案】
(1) $x^2(y^2 + x^2)(y + x)(y - x)$
(2) $(m + 3)^2(m - 3)^2$
(3) $(x - y)(x + 3)(x - 3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题型，主要考查因式分解的规范操作流程，易错点为分解不彻底、公因式变形时符号出错，解题时要养成最后检查所有因式是否可再分解的习惯，避免出现半途而废的错误。
【难度系数】
0.7
因式分解需遵循“一提二套三查”的核心步骤：①先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；②再看提取公因式后剩余的多项式的结构，两项优先匹配平方差公式，三项优先匹配完全平方公式，套用对应公式分解；③最后检查每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止，同时注意互为相反数的因式变形时的符号处理。
各小题具体思路：
(1) 先提取两项公因式$x^2$，剩余的$y^4-x^4$是平方差结构，第一次套用平方差公式后得到的$y^2-x^2$仍为平方差结构，需再次分解彻底；
(2) 原式为三项式，符合完全平方公式特征，先套用完全平方公式分解，得到的$m^2-9$是平方差结构，需再次套用平方差公式后按乘方规则化简；
(3) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，即可提取公因式$(x-y)$，剩余的$x^2-9$是平方差结构，再套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式，再两次套用平方差公式：
原式$=x^2(y^4 - x^4) = x^2(y^2 + x^2)(y^2 - x^2) = x^2(y^2 + x^2)(y + x)(y - x)$
(2) 先套用完全平方公式，再套用平方差公式化简：
原式$=(m^2)^2 - 2 · m^2 · 9 + 9^2 = (m^2 - 9)^2 = [(m + 3)(m - 3)]^2 = (m + 3)^2(m - 3)^2$
(3) 先变形统一公因式，再提取公因式后套用平方差公式：
原式$=x^2(x-y)-9(x-y)=(x - y)(x^2 - 9) = (x - y)(x + 3)(x - 3)$
【答案】
(1) $x^2(y^2 + x^2)(y + x)(y - x)$
(2) $(m + 3)^2(m - 3)^2$
(3) $(x - y)(x + 3)(x - 3)$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题型，主要考查因式分解的规范操作流程，易错点为分解不彻底、公因式变形时符号出错，解题时要养成最后检查所有因式是否可再分解的习惯，避免出现半途而废的错误。
【难度系数】
0.7
