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7.若多项式$(2x)^n - 81$能分解成$(4x^2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)$，则$n=$（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
7. B
解析
【分析】
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解，解题时先观察右侧因式的特点，发现后两个因式符合平方差公式的结构，先利用平方差公式计算后两个因式的乘积，再将得到的结果与第一个因式继续用平方差公式计算，最终将右侧化简为与左侧结构相同的形式，对比即可求出n的值。
【解析】
先利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=2x$，$b=3$，可得：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
再计算$(4x^2+9)(4x^2-9)$，再次套用平方差公式，此时$a=4x^2$，$b=9$：
$(4x^2+9)(4x^2-9)=(4x^2)^2-9^2=16x^4-81$
将化简结果变形为与左侧$(2x)^n -81$相同的形式：
$16x^4=2^4· x^4=(2x)^4$，因此右侧化简结果为$(2x)^4 -81$
对比左右两侧可得$n=4$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的乘方
【点评】
本题解题的关键是观察因式的结构特征，灵活运用平方差公式简化计算，不需要逐项展开所有因式，通过公式快速得到最高次项的次数即可求出答案，需注意幂的运算规则的正确应用。
【难度系数】
0.8
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解，解题时先观察右侧因式的特点，发现后两个因式符合平方差公式的结构，先利用平方差公式计算后两个因式的乘积，再将得到的结果与第一个因式继续用平方差公式计算，最终将右侧化简为与左侧结构相同的形式，对比即可求出n的值。
【解析】
先利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=2x$，$b=3$，可得：
$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9$
再计算$(4x^2+9)(4x^2-9)$，再次套用平方差公式，此时$a=4x^2$，$b=9$：
$(4x^2+9)(4x^2-9)=(4x^2)^2-9^2=16x^4-81$
将化简结果变形为与左侧$(2x)^n -81$相同的形式：
$16x^4=2^4· x^4=(2x)^4$，因此右侧化简结果为$(2x)^4 -81$
对比左右两侧可得$n=4$
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；整式乘法；幂的乘方
【点评】
本题解题的关键是观察因式的结构特征，灵活运用平方差公式简化计算，不需要逐项展开所有因式，通过公式快速得到最高次项的次数即可求出答案，需注意幂的运算规则的正确应用。
【难度系数】
0.8
8.(2024·哈尔滨期末)若$a,b,c$是三角形的三边之长,则代数式$a^2+2bc - c^2 - b^2$的值(
A.小于 0
B.大于 0
C.等于 0
D.以上三种情况均有可能
B
)A.小于 0
B.大于 0
C.等于 0
D.以上三种情况均有可能
答案
8. B
解析
【分析】
要判断代数式的正负，首先可通过因式分解将代数式变形为几个因式乘积的形式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断每个因式的正负，最终得到整个代数式的符号。具体步骤：先把代数式中含b、c的项整理为完全平方的形式，再用平方差公式分解因式，最后代入三边关系判断符号。
【解析】
先对代数式进行变形因式分解：
$\begin{aligned}a^2+2bc - c^2 - b^2&=a^2-(b^2-2bc + c^2)\\&=a^2-(b - c)^2\\&=(a + b - c)(a - b + c)\end{aligned}$
因为a、b、c是三角形的三边，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得：
$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$。
两个正数相乘，乘积为正，因此代数式的值大于0。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是整式变形与三角形性质结合的典型考题，解题核心是熟练运用完全平方公式和平方差公式对代数式正确因式分解，再结合三边关系判断符号，解题时要注意分组分解的技巧。
【难度系数】
0.7
要判断代数式的正负，首先可通过因式分解将代数式变形为几个因式乘积的形式，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断每个因式的正负，最终得到整个代数式的符号。具体步骤：先把代数式中含b、c的项整理为完全平方的形式，再用平方差公式分解因式，最后代入三边关系判断符号。
【解析】
先对代数式进行变形因式分解：
$\begin{aligned}a^2+2bc - c^2 - b^2&=a^2-(b^2-2bc + c^2)\\&=a^2-(b - c)^2\\&=(a + b - c)(a - b + c)\end{aligned}$
因为a、b、c是三角形的三边，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得：
$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$；
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$。
两个正数相乘，乘积为正，因此代数式的值大于0。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，三角形三边关系，平方差公式
【点评】
本题是整式变形与三角形性质结合的典型考题，解题核心是熟练运用完全平方公式和平方差公式对代数式正确因式分解，再结合三边关系判断符号，解题时要注意分组分解的技巧。
【难度系数】
0.7
9.【新中考·新运算型阅读理解题】对于非零的两个实数$a,b$,规定$a\otimes b=a^3 - ab$,那么将$a\otimes25$进行分解因式的结果为
$a(a+5)(a-5)$
.答案
9. $a(a+5)(a-5)$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，将$a\otimes25$中的$b$替换为25，转化为我们熟悉的代数式；接下来对得到的代数式进行因式分解，因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再看剩余部分能否套用公式，最后检查是否分解到不能再分解的程度即可。
【解析】
第一步，根据新运算规则$a\otimes b=a^3 - ab$，将$b=25$代入得：
$a\otimes25=a^3 - a×25=a^3 -25a$
第二步，对$a^3 -25a$因式分解：
① 先提取公因式$a$，可得：$a^3 -25a=a(a^2 -25)$
② 观察$a^2 -25$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=5$，因此：
$a^2 -25=(a+5)(a-5)$
③ 综上，$a\otimes25=a(a+5)(a-5)$
【答案】
$a(a+5)(a-5)$
【知识点】
新定义运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是新定义与因式分解结合的基础题型，重点考查对新规则的转化能力和因式分解的步骤掌握，需注意因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，将$a\otimes25$中的$b$替换为25，转化为我们熟悉的代数式；接下来对得到的代数式进行因式分解，因式分解遵循“一提二套三查”的步骤：先提取公因式，再看剩余部分能否套用公式，最后检查是否分解到不能再分解的程度即可。
【解析】
第一步，根据新运算规则$a\otimes b=a^3 - ab$，将$b=25$代入得：
$a\otimes25=a^3 - a×25=a^3 -25a$
第二步，对$a^3 -25a$因式分解：
① 先提取公因式$a$，可得：$a^3 -25a=a(a^2 -25)$
② 观察$a^2 -25$符合平方差公式$m^2 -n^2=(m+n)(m-n)$的形式，其中$m=a$，$n=5$，因此：
$a^2 -25=(a+5)(a-5)$
③ 综上，$a\otimes25=a(a+5)(a-5)$
【答案】
$a(a+5)(a-5)$
【知识点】
新定义运算，因式分解，平方差公式
【点评】
本题是新定义与因式分解结合的基础题型，重点考查对新规则的转化能力和因式分解的步骤掌握，需注意因式分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
10.【教材 P132 习题 T3 变式】分解因式：
(1)$18a^3 - 27a^4 - 3a^2$；
(2)$(2m - n)^2 - 169(m + n)^2$。
(1)$18a^3 - 27a^4 - 3a^2$；
(2)$(2m - n)^2 - 169(m + n)^2$。
答案
(1) 解:原式$=3a^2(6a-9a^2-1)=-3a^2(9a^2-6a+1)=-3a^2(3a-1)^2$；
(2) 解:原式$=(2m-n)^2-[13(m+n)]^2=[2m-n+13(m+n)][2m-n-13(m+n)]=(15m+12n)(-11m-14n)=-3(5m+4n)(11m+14n)$。
(2) 解:原式$=(2m-n)^2-[13(m+n)]^2=[2m-n+13(m+n)][2m-n-13(m+n)]=(15m+12n)(-11m-14n)=-3(5m+4n)(11m+14n)$。
解析
【分析】
(1) 求解$18a^3 - 27a^4 - 3a^2$的因式分解时，先观察多项式的公因式：各项系数的最大公约数是3，相同字母$a$的最低次幂为$a^2$，因此先提取公因式$3a^2$，再对余下的多项式整理，发现符合完全平方公式结构，调整符号后套用公式继续分解，直到不能再分解为止。
(2) 求解$(2m - n)^2 - 169(m + n)^2$的因式分解时，可发现式子为两个平方项作差的结构，符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，将$2m-n$和$13(m+n)$分别看作公式中的$A$和$B$，先套用平方差公式拆分，再对拆分后的两个括号合并同类项，提取公因式后整理即可。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3a^2$：
原式$=3a^2(6a-9a^2-1)$
调整括号内项的顺序，将最高次项系数化为正数：
$=-3a^2(9a^2-6a+1)$
括号内的二次三项式符合完全平方公式，进一步分解得：
$=-3a^2(3a-1)^2$
(2) 第一步改写为平方差标准形式：
原式$=(2m-n)^2-[13(m+n)]^2$
套用平方差公式拆分：
$=[2m-n+13(m+n)][2m-n-13(m+n)]$
分别展开两个括号、合并同类项：
$=(15m+12n)(-11m-14n)$
提取公因式并整理符号得：
$=-3(5m+4n)(11m+14n)$
【答案】
(1) $-3a^2(3a-1)^2$；
(2) $-3(5m+4n)(11m+14n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题要遵循“一提二套三查”的原则：先提取公因式，再根据多项式结构选择对应公式，最后检查是否分解彻底，运算过程中要注意符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$18a^3 - 27a^4 - 3a^2$的因式分解时，先观察多项式的公因式：各项系数的最大公约数是3，相同字母$a$的最低次幂为$a^2$，因此先提取公因式$3a^2$，再对余下的多项式整理，发现符合完全平方公式结构，调整符号后套用公式继续分解，直到不能再分解为止。
(2) 求解$(2m - n)^2 - 169(m + n)^2$的因式分解时，可发现式子为两个平方项作差的结构，符合平方差公式$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，将$2m-n$和$13(m+n)$分别看作公式中的$A$和$B$，先套用平方差公式拆分，再对拆分后的两个括号合并同类项，提取公因式后整理即可。
【解析】
(1) 第一步提取公因式$3a^2$：
原式$=3a^2(6a-9a^2-1)$
调整括号内项的顺序，将最高次项系数化为正数：
$=-3a^2(9a^2-6a+1)$
括号内的二次三项式符合完全平方公式，进一步分解得：
$=-3a^2(3a-1)^2$
(2) 第一步改写为平方差标准形式：
原式$=(2m-n)^2-[13(m+n)]^2$
套用平方差公式拆分：
$=[2m-n+13(m+n)][2m-n-13(m+n)]$
分别展开两个括号、合并同类项：
$=(15m+12n)(-11m-14n)$
提取公因式并整理符号得：
$=-3(5m+4n)(11m+14n)$
【答案】
(1) $-3a^2(3a-1)^2$；
(2) $-3(5m+4n)(11m+14n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题要遵循“一提二套三查”的原则：先提取公因式，再根据多项式结构选择对应公式，最后检查是否分解彻底，运算过程中要注意符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
11.【教材P132习题T7变式】$3^{12} - 1$可以被22和30之间的整数整除，求这个数.
03 素养练 学科素养培育
03 素养练 学科素养培育
答案
解:原式$=(3^6)^2-1=(3^6-1)(3^6+1)=(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)$,$\because 3^3-1=26,3^3+1=28$,$\therefore$ 这个数是26或28。
解析
【分析】
要判断$3^{12}-1$能被22到30之间的哪个整数整除，可先利用因式分解将原式拆分为多个整式乘积的形式，再计算各因式的整数值，筛选出符合范围的结果即可。本题中$3^{12}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可反复运用平方差公式逐步分解高次式，再计算低次因式的数值判断是否符合要求。
【解析】
利用平方差公式对原式逐步分解：
$\begin{aligned}3^{12}-1&=(3^6)^2-1^2\\&=(3^6-1)(3^6+1)\\&=(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)\end{aligned}$
计算低次因式的数值：
$3^3-1=27-1=26$，$3^3+1=27+1=28$，
26和28均在22到30的范围内，符合要求。
【答案】
26或28
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解和整除问题结合考查，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构，灵活对高次幂的差式进行分解，能很好地检验学生对公式的运用熟练度和计算能力。
【难度系数】
0.7
要判断$3^{12}-1$能被22到30之间的哪个整数整除，可先利用因式分解将原式拆分为多个整式乘积的形式，再计算各因式的整数值，筛选出符合范围的结果即可。本题中$3^{12}-1$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可反复运用平方差公式逐步分解高次式，再计算低次因式的数值判断是否符合要求。
【解析】
利用平方差公式对原式逐步分解：
$\begin{aligned}3^{12}-1&=(3^6)^2-1^2\\&=(3^6-1)(3^6+1)\\&=(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)\end{aligned}$
计算低次因式的数值：
$3^3-1=27-1=26$，$3^3+1=27+1=28$，
26和28均在22到30的范围内，符合要求。
【答案】
26或28
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题将因式分解和整除问题结合考查，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构，灵活对高次幂的差式进行分解，能很好地检验学生对公式的运用熟练度和计算能力。
【难度系数】
0.7
12.【新中考·解题方法型阅读理解题】
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换
元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^2 - 4x + 1)(x^2 - 4x + 7) + 9$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 - 4x = y$,则
原式$=(y+1)(y+7)+9$……第一步
$=y^2 + 8y + 16$……第二步
$=(y+4)^2$……第三步
$=(x^2 - 4x + 4)^2$.……第四步
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的
A.提公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:
(3)请你用换元法对多项式$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2)+1$进行因式分解.
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换
元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^2 - 4x + 1)(x^2 - 4x + 7) + 9$进行因式分解的过程.
解:设$x^2 - 4x = y$,则
原式$=(y+1)(y+7)+9$……第一步
$=y^2 + 8y + 16$……第二步
$=(y+4)^2$……第三步
$=(x^2 - 4x + 4)^2$.……第四步
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的
C
.A.提公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:
$(x-2)^4$
.(3)请你用换元法对多项式$(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2)+1$进行因式分解.
答案
12. (1) C
(2) $(x-2)^4$
(3) 解:设$x^2+2x=y$,则原式$=y(y+2)+1=y^2+2y+1=(y+1)^2=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4$。
(2) $(x-2)^4$
(3) 解:设$x^2+2x=y$,则原式$=y(y+2)+1=y^2+2y+1=(y+1)^2=(x^2+2x+1)^2=(x+1)^4$。
解析
【分析】
本题是围绕换元法因式分解的阅读理解题，解题思路如下：
(1) 先回忆三类因式分解方法的特征：提公因式法是提取公共因式，平方差公式对应$a^2-b^2$的结构，完全平方公式对应$a^2\pm2ab+b^2$的结构。观察第二步到第三步的式子变形特征，匹配对应方法即可选对答案。
(2) 因式分解要求分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，小涵的结果中$x^2-4x+4$还可继续用完全平方公式分解，结合幂的乘方法则化简即可得到最终结果。
(3) 参照材料中的换元法步骤，先找到多项式中重复出现的整体$x^2+2x$，设其为$y$，将原式转化为关于$y$的多项式完成因式分解，再换回关于$x$的式子，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 第二步的式子为$y^2 + 8y + 16$，可整理为$y^2 + 2× y×4 + 4^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，因此第二步到第三步运用了完全平方公式法，选C。
(2) 小涵得到的结果为$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$，代入得：$(x^2 - 4x + 4)^2=[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+2x=y$，则：
$\begin{aligned}原式&=y(y+2)+1\\&=y^2 + 2y + 1\\&=(y+1)^2\end{aligned}$
将$y=x^2+2x$代回得：
原式$=(x^2 + 2x + 1)^2$
又$x^2 + 2x + 1=(x+1)^2$，因此：
原式$=[(x+1)^2]^2=(x+1)^4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{(x-2)^4}$
(3) $\boldsymbol{(x+1)^4}$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解的原则
【点评】
本题属于方法应用型阅读理解题，通过给出换元法示例考查学生对新方法的理解和迁移运用能力，解题时要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现结果不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
本题是围绕换元法因式分解的阅读理解题，解题思路如下：
(1) 先回忆三类因式分解方法的特征：提公因式法是提取公共因式，平方差公式对应$a^2-b^2$的结构，完全平方公式对应$a^2\pm2ab+b^2$的结构。观察第二步到第三步的式子变形特征，匹配对应方法即可选对答案。
(2) 因式分解要求分解到每一个多项式因式都不能再分解为止，小涵的结果中$x^2-4x+4$还可继续用完全平方公式分解，结合幂的乘方法则化简即可得到最终结果。
(3) 参照材料中的换元法步骤，先找到多项式中重复出现的整体$x^2+2x$，设其为$y$，将原式转化为关于$y$的多项式完成因式分解，再换回关于$x$的式子，继续分解到最简即可。
【解析】
(1) 第二步的式子为$y^2 + 8y + 16$，可整理为$y^2 + 2× y×4 + 4^2$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，因此第二步到第三步运用了完全平方公式法，选C。
(2) 小涵得到的结果为$(x^2 - 4x + 4)^2$，其中$x^2 - 4x + 4=(x-2)^2$，代入得：$(x^2 - 4x + 4)^2=[(x-2)^2]^2=(x-2)^4$。
(3) 设$x^2+2x=y$，则：
$\begin{aligned}原式&=y(y+2)+1\\&=y^2 + 2y + 1\\&=(y+1)^2\end{aligned}$
将$y=x^2+2x$代回得：
原式$=(x^2 + 2x + 1)^2$
又$x^2 + 2x + 1=(x+1)^2$，因此：
原式$=[(x+1)^2]^2=(x+1)^4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{(x-2)^4}$
(3) $\boldsymbol{(x+1)^4}$
【知识点】
换元法因式分解，完全平方公式，因式分解的原则
【点评】
本题属于方法应用型阅读理解题，通过给出换元法示例考查学生对新方法的理解和迁移运用能力，解题时要注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，避免出现结果不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
