7.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=45°$，$△ AEF$是由$△ ABC$绕点A逆时针旋转得到的，连接$BE$，$CF$交于点$D$，$AC$与$BE$交于点$O$。
(1)求证：$BE=CF$。
(2)求$∠ BDC$的度数。

7. (1)证明:
∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的,
∴AB=AE,AC=AF,∠BAC=∠EAF=45°,
∴∠BAE=∠CAF=45°+∠CAE.在 △ABE 和 △ACF 中，$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAE=∠CAF \\ AE=AF \end{cases}$,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴BE=CF.
(2)解: 由(1)得 △ABE≌△ACF,
∴∠ABE=∠ACF,
∴∠BDC=∠AOE−∠ACF=∠AOE−∠ABE=∠BAC=45°,
∴∠BDC 的度数为 45°.

8.如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC,连接OD.
(1)求证:△COD是等边三角形.
(2)当α=120°时,试判断AD与OC的位置关系,并说明理由.

8. (1)证明:
∵将△BOC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD 是等边三角形.
(2)解: AD // OC. 理由如下:
∵将△BOC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ADC，α=120°,
∴△BOC≌△ADC, ∠BOC=α=120°,
∴∠ADC = ∠BOC = 120°.
∵ ∠OCD = 60°,
∴∠ADC+∠OCD=120°+60°=180°,
∴AD//OC.

9. 在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把线段BD逆时针旋转60°得到线段BD'，连接AD'，DD'. 以点C为中心，把线段CD顺时针旋转60°得到线段CD''，连接AD''，DD''.
(1)判断∠D'BA和∠DBC的大小关系，并说明理由.
(2)求证:D'A=DC.
(3)求证:四边形AD'DD''是平行四边形.

9. (1)解:∠D'BA=∠DBC. 理由如下:
∵线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BD',
∴∠DBD'=60°,BD =BD',
∴△BDD' 为等边三角形,
∴DD' = BD.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABC=60°,BA = BC.
∵∠D'BA+∠ABD=60°,∠ABD+∠DBC=60°,
∴∠D'BA=∠DBC.
(2)证明:在△ABD' 和 △CBD 中，$\begin{cases} BA=BC \\ ∠ABD'=∠CBD \\ BD'=BD \end{cases}$,
∴△ABD' ≌△CBD(SAS),
∴D'A=DC.
(3)证明:
∵线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CD'',
∴∠DCD''=60°,CD=CD'',
∴△DCD''为等边三角形,
∴ DD'' = DC.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴∠ACB=60°,CA=CB.
∵∠D''CA+∠ACD=60°,∠ACD+∠DCB=60°,
∴∠D''CA=∠DCB.在 △ACD'' 和 △BCD 中，$\begin{cases} CA=CB \\ ∠ACD''=∠BCD \\ CD''=CD \end{cases}$,
∴△ACD''≌△BCD(SAS),
∴AD''=BD. 又
∵BD =DD',
∴DD'=AD''.
∵DD''=DC=AD',
∴四边形 AD'DD''是平行四边形.

10. 如图,在$△ OAB$中,顶点$O(0,0),A(-3,4),B(3,4)$,将$△ OAB$与正方形$ABCD$组成的图形绕点$O$顺时针旋转,每次旋转$90°$,则第2029次旋转结束时,点$D$的坐标为()

A.$(3,10)$
B.$(3,-10)$
C.$(-10,-3)$
D.$(10,3)$

10. D 解析
∵A(−3,4),B(3,4),
∴AB=3+3=6.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AD=AB=6,
∴D(−3,10).
∵每次旋转 90°,
∴每 4 次一个循环.
∵2029=4×507+1,
∴第 2029 次旋转结束时与第 1 次旋转结束时的坐标相同,
∴点 D 的坐标为(10,3).故选 D.