1.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,$BE ⊥ AD$于点E.探究$∠ ABE$,$∠ DBE$,$∠ C$之间的数量关系.

解:延长 BE 交 AC 于点 F,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE. 又
∵AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°,
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABE=∠AFE,
∵∠AFE = ∠DBE + ∠C,
∴∠ABE=∠DBE+∠C.

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 60°$，$∠ BAC$与$∠ BCA$的平分线$AD$，$CE$分别交$BC$和$AB$于点$D$，$E$，$AD$与$CE$相交于点$F$，求证：$AE + CD = AC$.

证明:
∵∠B = 60°,
∴∠BAC + ∠BCA = 180°- 60°= 120°,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAC = $\frac{1}{2}$∠BAC, ∠FCA = $\frac{1}{2}$∠BCA,
∴∠FAC + ∠FCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA) = $\frac{1}{2}$×120°= 60°,
∴∠AFC = 120°,∠AFE = 60°,在 AC 上截取 AG = AE,连接 GF,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAE=∠FAG,∠FCG = ∠FCD,
∴△AEF ≌ △AGF(SAS),
∴∠AFG=∠AFE=60°,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
∴△CDF≌△CGF(ASA),
∴CD=CG,
∴AE+CD=AG+CG=AC.
∴AE+CD=AC.

3. 如图，$△ ABC$中，D为BC的中点.
(1)求证:$AB+AC＞2AD$；
(2)若$AB=5$，$AC=3$，求AD的取值范围.

(1)证明: 延长 AD 至 E,使 DE = AD,连接 BE.
∵D 为 BC 的中点,
∴BD=CD. 在△ADC 和△EDB 中,$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC ≌ △EDB(SAS).
∴ AC = BE. 在△ABE 中,AB+BE＞AE,
∴AB+AC＞2AD.
(2)解:
∵AB=5,AC=3,
∴5-3＜2AD＜5+3.
∴1＜AD＜4.

4.【大单元整合】已知在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB=AC$，将$△ ABC$放在平面直角坐标系中，如图所示。
(1)如图①，若$A(1,0)$，$B(0,3)$，求$C$点坐标。
(2)如图②，若$A(1,3)$，$B(-1,0)$，则$C$点坐标为。

(1)解:作 CD⊥x 轴于点 D. 则∠CAD + ∠ACD = 90°,
∵∠BAC = 90°,
∴∠BAO + ∠CAD = 90°,
∴∠BAO=∠ACD. 在 △ABO 和 △CAD 中,$\begin{cases} ∠AOB=∠ADC=90°, \\ ∠BAO=∠ACD, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABO≌△CAD(AAS),
∴BO=AD,OA=CD.
∵A(1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3,
∴AD=3,CD=1,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(4,1).
(2)(4,1)