8.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.以上均不对

8.B

9. 如图，若$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，则对于$∠ 1$和$∠ 2$的大小关系，下列说法正确的是（）

A.一定相等
B.当$BD=CD$时相等
C.一定不相等
D.当$DE=DF$时相等

9.D

10.如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE.若∠BAC=70°，则∠BOC=.

第10题图 第10题变式图

10.$125°$

[变式]如图,已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$I$为$△ ABC$各内角平分线的交点,过点$I$作$BC$的垂线,垂足为点$H$.若$BC=6$,$AC=8$,$AB=10$,则$IH$的长为________.

【变式】2

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与外角$∠ ACE$的平分线相交于点$P$,$PD⊥ AC$于点$D$,$PH⊥ BA$于点$H$.
(1)若$PH=8\mathrm{cm}$,求点$P$到直线$BC$的距离;
(2)求证:点$P$在$∠ HAC$的平分线上.

11. (1)解：作$PQ ⊥ BE$于点$Q$，$\because BP$平分$∠ ABC, \therefore PH=PQ=8\mathrm{cm}.$ 即点$P$到直线$BC$的距离为$8\mathrm{cm}.$
(2)证明：$\because CP$平分$∠ ACE, \therefore PD=PQ.$ 而$PH=PQ, \therefore PD=PH.$ 又$\because PD ⊥ AC, PH ⊥ AH. \therefore$ 点$P$在$∠ HAC$的平分线上。

12.【核心素养·几何直观】如图，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，$BD=CD$，$BE=CF$。
(1)求证:$AD$平分$∠ BAC$；
(2)猜想$AB+AC$与$AE$之间的等量关系，并给予证明。

12. (1)证明：$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore ∠ E = ∠ DFC = ∠ AFD = 90°.$ 在$\mathrm{Rt} △ BDE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CDF$ 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt} △ BDE ≌ \mathrm{Rt} △ CDF(\mathrm{HL}), \therefore DE=DF, \therefore AD$ 平分$∠ BAC.$
(2)解：$AB+AC=2AE.$ 证明如下：$\because AD$ 平分$∠ BAC, \therefore ∠ EAD = ∠ CAD.$ 在$△ AED$ 和 $△ AFD$ 中，$\begin{cases} ∠ EAD = ∠ FAD, \\ ∠ E = ∠ AFD, \\ AD=AD, \end{cases} \therefore △ AED ≌ △ AFD(\mathrm{AAS}), \therefore AE=AF, \therefore AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AF=AE+AE=2AE,$ 即 $AB+AC=2AE.$