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三、解答题
8. 一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y关于x的函数表达式；(不求自变量的取值范围)
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售量不少于600件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
8. 一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y关于x的函数表达式；(不求自变量的取值范围)
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售量不少于600件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
答案
8.解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
则$\begin{cases}4k+b=1\ 000,\\5k+b=950,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-50,\\b=1\ 200,\end{cases}$
故 y 关于 x 的函数表达式为$y=-50x+1\ 200$.
(2)设这一周该商场销售这种商品的利润为 w 元，
则$w=y(x-3)=(-50x+1\ 200)(x-3)=-500(x-\dfrac{27}{2})^2+\dfrac{11\ 025}{2}$.
由题意知$3≤ x≤15$,且$-50x+1\ 200≥600$,
$\therefore 3≤ x≤12$,即自变量 x 的取值范围为$3≤ x≤12$,
又$-50＜0$,x 为正整数，
$\therefore$ 当$x=12$时,w 有最大值,最大值为 5 400.
答:这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为5 400 元,销售单价为 12 元.
则$\begin{cases}4k+b=1\ 000,\\5k+b=950,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-50,\\b=1\ 200,\end{cases}$
故 y 关于 x 的函数表达式为$y=-50x+1\ 200$.
(2)设这一周该商场销售这种商品的利润为 w 元，
则$w=y(x-3)=(-50x+1\ 200)(x-3)=-500(x-\dfrac{27}{2})^2+\dfrac{11\ 025}{2}$.
由题意知$3≤ x≤15$,且$-50x+1\ 200≥600$,
$\therefore 3≤ x≤12$,即自变量 x 的取值范围为$3≤ x≤12$,
又$-50＜0$,x 为正整数，
$\therefore$ 当$x=12$时,w 有最大值,最大值为 5 400.
答:这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为5 400 元,销售单价为 12 元.
解析
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，求函数表达式优先使用待定系数法，从表格中选取两组x、y的对应值代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数表达式。
(2) 销售利润的核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，先据此列出利润w关于售价x的二次函数表达式；再根据题目给出的售价限制和销售量限制，列不等式组求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使利润最大的x值，计算对应最大利润即可，注意x为正整数的条件。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$x=4,y=1000$和$x=5,y=950$代入得：
$\begin{cases}4k+b=1000\\5k+b=950\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-50$，
将$k=-50$代入$4k+b=1000$，得$4×(-50)+b=1000$，解得$b=1200$，
故y关于x的函数表达式为$y=-50x+1200$。
(2) 设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，单件利润为$(x-3)$元，销售量为y件，
则$w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)$，
整理得$w=-50x^2+1350x-3600=-50(x-\frac{27}{2})^2+\frac{11025}{2}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥3\\x≤15\\-50x+1200≥600\end{cases}$
解第三个不等式：$-50x≥-600$，得$x≤12$，
综上，自变量x的取值范围为$3≤x≤12$，且x为正整数。
∵二次函数$w=-50(x-\frac{27}{2})^2+\frac{11025}{2}$中，$a=-50＜0$，开口向下，对称轴为$x=\frac{27}{2}=13.5$，
∴当$x≤13.5$时，w随x的增大而增大，
结合$3≤x≤12$的范围，当x取最大值12时，w取得最大值，
将$x=12$代入w的表达式得：$w=(-50×12+1200)×(12-3)=600×9=5400$。
【答案】
(1) $y=-50x+1200$；
(2) 最大利润为5400元，售价为12元。
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类函数应用问题，融合了一次函数、二次函数与不等式的相关知识，解题时需先明确各数量间的关系，准确列出函数解析式，尤其要注意结合自变量的实际取值范围求最值，能有效考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y是x的一次函数，求函数表达式优先使用待定系数法，从表格中选取两组x、y的对应值代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到二元一次方程组，解出k、b的值即可得到函数表达式。
(2) 销售利润的核心公式为“总利润=单件利润×销售量”，先据此列出利润w关于售价x的二次函数表达式；再根据题目给出的售价限制和销售量限制，列不等式组求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使利润最大的x值，计算对应最大利润即可，注意x为正整数的条件。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$x=4,y=1000$和$x=5,y=950$代入得：
$\begin{cases}4k+b=1000\\5k+b=950\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$k=-50$，
将$k=-50$代入$4k+b=1000$，得$4×(-50)+b=1000$，解得$b=1200$，
故y关于x的函数表达式为$y=-50x+1200$。
(2) 设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，单件利润为$(x-3)$元，销售量为y件，
则$w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)$，
整理得$w=-50x^2+1350x-3600=-50(x-\frac{27}{2})^2+\frac{11025}{2}$。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥3\\x≤15\\-50x+1200≥600\end{cases}$
解第三个不等式：$-50x≥-600$，得$x≤12$，
综上，自变量x的取值范围为$3≤x≤12$，且x为正整数。
∵二次函数$w=-50(x-\frac{27}{2})^2+\frac{11025}{2}$中，$a=-50＜0$，开口向下，对称轴为$x=\frac{27}{2}=13.5$，
∴当$x≤13.5$时，w随x的增大而增大，
结合$3≤x≤12$的范围，当x取最大值12时，w取得最大值，
将$x=12$代入w的表达式得：$w=(-50×12+1200)×(12-3)=600×9=5400$。
【答案】
(1) $y=-50x+1200$；
(2) 最大利润为5400元，售价为12元。
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类函数应用问题，融合了一次函数、二次函数与不等式的相关知识，解题时需先明确各数量间的关系，准确列出函数解析式，尤其要注意结合自变量的实际取值范围求最值，能有效考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 综合与实践
问题情境:如图1,是学校操场一角的劳动基地示意图,其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分,经测量OA=10 m,OB=20 m,根据学校开展劳动教育的需要,现要对该土地进行种植区域划分,设计如下方案:
方案设计:①取OB的中点C,在△OAC的区域内种植西红柿;②过点C作OB的垂线交抛物线于点D,测得CD=17.5 m,又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角.
方案实施:学校课程中心的老师以O为原点,OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图2.
(1)请求出抛物线的表达式;
(2)为了保证种植前期幼苗的成活率,需要在抛物线上选取一点E,安装一个△ACE形状的遮阳网,如图2,请求出该遮阳网面积最大时点E的坐标;
(3)请你直接写出(2)中遮阳网面积最大时,点E到AC的距离.
问题情境:如图1,是学校操场一角的劳动基地示意图,其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分,经测量OA=10 m,OB=20 m,根据学校开展劳动教育的需要,现要对该土地进行种植区域划分,设计如下方案:
方案设计:①取OB的中点C,在△OAC的区域内种植西红柿;②过点C作OB的垂线交抛物线于点D,测得CD=17.5 m,又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角.
方案实施:学校课程中心的老师以O为原点,OB所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图2.
(1)请求出抛物线的表达式;
(2)为了保证种植前期幼苗的成活率,需要在抛物线上选取一点E,安装一个△ACE形状的遮阳网,如图2,请求出该遮阳网面积最大时点E的坐标;
(3)请你直接写出(2)中遮阳网面积最大时,点E到AC的距离.
答案
9.解:(1)设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,
由题意可知$A(0,10),B(20,0),D(10,17.5)$,
将点 A、B、D 的坐标代入$y=ax^2+bx+c$中，
得$\begin{cases}c=10,\\400a+20b+c=0,\\100a+10b+c=17.5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\b=2,\\c=10,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10$.
(2)如图,连接 OE.
设$E(x,-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)$,
$\because OA=10,\therefore S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}×10× x=5x$,
$\because OC=\dfrac{1}{2}OB=10$,
$\therefore S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)=-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50$,
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ OAE}+S_{△ OCE}-S_{△ AOC}=5x-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50-\dfrac{1}{2}×10×10=-\dfrac{5}{8}x^2+15x$.
$\because a=-\dfrac{5}{8}＜0,\therefore S_{△ ACE}$有最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15}{2×(-\dfrac{5}{8})}=12$时,$S_{△ ACE}$有最大值,最大值为$90\ \mathrm{m}^2$,此时$E(12,16)$.
(3)$\because OA=OC=10,\therefore AC=10\sqrt{2}$,
由(2)可得$S_{△ ACE}$有最大值$=90\ \mathrm{m}^2$.
设点 E 到 AC 的距离为 h,则$\dfrac{1}{2}×10\sqrt{2}· h=90$,
解得$h=9\sqrt{2}$,即点 E 到 AC 的距离为$9\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上A、B、D三个点的坐标，可设抛物线的一般式，将三个点坐标代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到解析式。
(2) 求△ACE面积最大时的点E坐标，可采用割补法表示面积：连接OE，△ACE的面积等于△OAE与△OCE的面积和减去△AOC的面积。设E点横坐标为x，用抛物线解析式表示E点纵坐标，代入面积公式得到面积关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求最值对应的x值，即可得到E点坐标。
(3) 求点E到AC的距离，先计算AC的长度，再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知最大面积和底AC的长度，反求出的高就是点E到AC的距离。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
由题意可知$A(0,10),B(20,0),D(10,17.5)$，
将点 A、B、D 的坐标代入$y=ax^2+bx+c$中，
得$\begin{cases}c=10,\\400a+20b+c=0,\\100a+10b+c=17.5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\b=2,\\c=10,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10$。
(2) 如图,连接 OE.
设$E(x,-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)$，
$\because OA=10,\therefore S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}×10× x=5x$，
$\because OC=\dfrac{1}{2}OB=10$，
$\therefore S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)=-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50$，
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ OAE}+S_{△ OCE}-S_{△ AOC}=5x-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50-\dfrac{1}{2}×10×10=-\dfrac{5}{8}x^2+15x$。
$\because a=-\dfrac{5}{8}＜0,\therefore S_{△ ACE}$有最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15}{2×(-\dfrac{5}{8})}=12$时,$S_{△ ACE}$有最大值,最大值为$90\ \mathrm{m}^2$,此时$E(12,16)$。
(3) $\because OA=OC=10,\therefore AC=10\sqrt{2}$，
由(2)可得$S_{△ ACE}$的最大值为$90\ \mathrm{m}^2$。
设点 E 到 AC 的距离为 h,则$\dfrac{1}{2}×10\sqrt{2}· h=90$，
解得$h=9\sqrt{2}$,即点 E 到 AC 的距离为$9\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10}$；
(2) 遮阳网面积最大时点E的坐标为$\boldsymbol{(12,16)}$；
(3) 点E到AC的距离为$\boldsymbol{9\sqrt{2}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动基地规划场景命题，既考察二次函数的基础计算，也考察代数与几何结合的综合解题能力，用到的割补法求面积、二次函数求最值都是常用的解题方法，能有效锻炼学生的数形结合思维。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线上A、B、D三个点的坐标，可设抛物线的一般式，将三个点坐标代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到解析式。
(2) 求△ACE面积最大时的点E坐标，可采用割补法表示面积：连接OE，△ACE的面积等于△OAE与△OCE的面积和减去△AOC的面积。设E点横坐标为x，用抛物线解析式表示E点纵坐标，代入面积公式得到面积关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求最值对应的x值，即可得到E点坐标。
(3) 求点E到AC的距离，先计算AC的长度，再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知最大面积和底AC的长度，反求出的高就是点E到AC的距离。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
由题意可知$A(0,10),B(20,0),D(10,17.5)$，
将点 A、B、D 的坐标代入$y=ax^2+bx+c$中，
得$\begin{cases}c=10,\\400a+20b+c=0,\\100a+10b+c=17.5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{8},\\b=2,\\c=10,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10$。
(2) 如图,连接 OE.
设$E(x,-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)$，
$\because OA=10,\therefore S_{△ OAE}=\dfrac{1}{2}×10× x=5x$，
$\because OC=\dfrac{1}{2}OB=10$，
$\therefore S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}×10×(-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10)=-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50$，
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ OAE}+S_{△ OCE}-S_{△ AOC}=5x-\dfrac{5}{8}x^2+10x+50-\dfrac{1}{2}×10×10=-\dfrac{5}{8}x^2+15x$。
$\because a=-\dfrac{5}{8}＜0,\therefore S_{△ ACE}$有最大值，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{15}{2×(-\dfrac{5}{8})}=12$时,$S_{△ ACE}$有最大值,最大值为$90\ \mathrm{m}^2$,此时$E(12,16)$。
(3) $\because OA=OC=10,\therefore AC=10\sqrt{2}$，
由(2)可得$S_{△ ACE}$的最大值为$90\ \mathrm{m}^2$。
设点 E 到 AC 的距离为 h,则$\dfrac{1}{2}×10\sqrt{2}· h=90$，
解得$h=9\sqrt{2}$,即点 E 到 AC 的距离为$9\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{8}x^2+2x+10}$；
(2) 遮阳网面积最大时点E的坐标为$\boldsymbol{(12,16)}$；
(3) 点E到AC的距离为$\boldsymbol{9\sqrt{2}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动基地规划场景命题，既考察二次函数的基础计算，也考察代数与几何结合的综合解题能力，用到的割补法求面积、二次函数求最值都是常用的解题方法，能有效锻炼学生的数形结合思维。
【难度系数】
0.65
