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10某地修建一座商场，为了减少夏季和冬季的电能消耗，计划在商场的外墙建造隔热层，其建造成本$ P $（单位：万元）与隔热层厚度$ x $（单位：cm）满足函数表达式$ P=15x $。预计该商场每年的电能消耗费用$ T $（单位：万元）与隔热层厚度$ x $（单位：cm）满足函数表达式$ T=40-\frac{(x+2)(x+5)}{5} $，其中$ 3≤ x≤8 $。设该商场的隔热层建造费用与未来5年电能消耗费用之和为$ y $（单位：万元）。
(1)求$ T $的最大值；
(2)若$ y=202 $，求该商场建造的隔热层厚度；
(3)已知该商场未来5年的相关规划费用为$ W $（单位：万元），且$ W=y+2x $，求$ W $的最小值。
(1)求$ T $的最大值；
(2)若$ y=202 $，求该商场建造的隔热层厚度；
(3)已知该商场未来5年的相关规划费用为$ W $（单位：万元），且$ W=y+2x $，求$ W $的最小值。
答案
10.解:(1)$T=40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}$
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+10)$
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{4}+10)$
$=40-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{49}{20}-2$
$=-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{809}{20}$,
$\because -\dfrac{1}{5}＜0,\therefore x＞-\dfrac{7}{2}$时,T 随 x 的增大而减小.
$\because 3≤ x≤8,\therefore$ 当$x=3$时,$T_{\max}=32$.
(2)$y=15x+5[40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}]=-x^2+8x+190$,
由$y=202$,得$-x^2+8x+190=202$,
$\therefore x^2-8x+12=0$,解得$x=2$或$x=6$.
$\because 3≤ x≤8,\therefore x=2$(舍去),
$\therefore$ 隔热层厚度为 6 cm 时,总费用达到 202 万元.
(3)$W=y+2x=-x^2+8x+190+2x=-(x-5)^2+215$,
$\therefore$ 对称轴为直线$x=5$.
$\because -1＜0,\therefore$ 离对称轴越远,W 越小.
$\because 5-3＜8-5,\therefore$ 当$x=8$时,$W_{\min}=206$,
$\therefore$ 隔热层厚度为 8 cm 时,总费用达到最小值 206 万元.
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+10)$
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{4}+10)$
$=40-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{49}{20}-2$
$=-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{809}{20}$,
$\because -\dfrac{1}{5}＜0,\therefore x＞-\dfrac{7}{2}$时,T 随 x 的增大而减小.
$\because 3≤ x≤8,\therefore$ 当$x=3$时,$T_{\max}=32$.
(2)$y=15x+5[40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}]=-x^2+8x+190$,
由$y=202$,得$-x^2+8x+190=202$,
$\therefore x^2-8x+12=0$,解得$x=2$或$x=6$.
$\because 3≤ x≤8,\therefore x=2$(舍去),
$\therefore$ 隔热层厚度为 6 cm 时,总费用达到 202 万元.
(3)$W=y+2x=-x^2+8x+190+2x=-(x-5)^2+215$,
$\therefore$ 对称轴为直线$x=5$.
$\because -1＜0,\therefore$ 离对称轴越远,W 越小.
$\because 5-3＜8-5,\therefore$ 当$x=8$时,$W_{\min}=206$,
$\therefore$ 隔热层厚度为 8 cm 时,总费用达到最小值 206 万元.
解析
【分析】
(1) 求T的最大值时，先将T的表达式整理为二次函数顶点式，根据二次项系数判断开口方向，结合自变量x的取值范围3≤x≤8，利用函数单调性确定最大值对应的x值计算即可。
(2) 总费用y是隔热层建造费用加上5年的电能消耗费用，先据此列出y关于x的函数表达式，再令y=202得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合的根即可。
(3) 先根据W的定义将其整理为二次函数顶点式，确定对称轴和开口方向，由于开口向下，在给定闭区间内离对称轴越远函数值越小，比较区间端点到对称轴的距离，找到使W最小的x值代入计算即可。
【解析】
(1) 化简T的表达式：
$T=40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}$
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+10)$
$=-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{809}{20}$
∵二次项系数$-\dfrac{1}{5}＜0$，
∴当$x＞-\dfrac{7}{2}$时，T随x的增大而减小，
又
∵$3≤x≤8$，
∴当x=3时，T取得最大值，
代入得$T_{\max}=40-\dfrac{(3+2)(3+5)}{5}=32$。
(2) 由题意得总费用$y=15x+5T$，代入T的表达式化简：
$y=15x+5×[40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}]=-x^2+8x+190$
令$y=202$，则$-x^2+8x+190=202$，
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，
∵$3≤x≤8$，
∴$x=2$舍去，即隔热层厚度为6cm。
(3) 代入y的表达式化简W：
$W=y+2x=-x^2+8x+190+2x=-(x-5)^2+215$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$，
∴在$3≤x≤8$范围内，x离对称轴越远，W的值越小，
计算得$5-3=2$，$8-5=3$，x=8离对称轴更远，
∴当x=8时，W取得最小值，$W_{\min}=-(8-5)^2+215=206$。
【答案】
(1) $T$的最大值为32万元；
(2) 隔热层厚度为6cm；
(3) $W$的最小值为206万元。
【知识点】
二次函数最值求解；一元二次方程的解法；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隔热层建造的实际场景，考查二次函数的性质与一元二次方程的应用，解题时需特别注意自变量的取值范围，求解后要检验结果是否符合实际要求，避免出现增根或最值找错的问题。
【难度系数】
0.6
(1) 求T的最大值时，先将T的表达式整理为二次函数顶点式，根据二次项系数判断开口方向，结合自变量x的取值范围3≤x≤8，利用函数单调性确定最大值对应的x值计算即可。
(2) 总费用y是隔热层建造费用加上5年的电能消耗费用，先据此列出y关于x的函数表达式，再令y=202得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合的根即可。
(3) 先根据W的定义将其整理为二次函数顶点式，确定对称轴和开口方向，由于开口向下，在给定闭区间内离对称轴越远函数值越小，比较区间端点到对称轴的距离，找到使W最小的x值代入计算即可。
【解析】
(1) 化简T的表达式：
$T=40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}$
$=40-\dfrac{1}{5}(x^2+7x+10)$
$=-\dfrac{1}{5}(x+\dfrac{7}{2})^2+\dfrac{809}{20}$
∵二次项系数$-\dfrac{1}{5}＜0$，
∴当$x＞-\dfrac{7}{2}$时，T随x的增大而减小，
又
∵$3≤x≤8$，
∴当x=3时，T取得最大值，
代入得$T_{\max}=40-\dfrac{(3+2)(3+5)}{5}=32$。
(2) 由题意得总费用$y=15x+5T$，代入T的表达式化简：
$y=15x+5×[40-\dfrac{(x+2)(x+5)}{5}]=-x^2+8x+190$
令$y=202$，则$-x^2+8x+190=202$，
整理得$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，
∵$3≤x≤8$，
∴$x=2$舍去，即隔热层厚度为6cm。
(3) 代入y的表达式化简W：
$W=y+2x=-x^2+8x+190+2x=-(x-5)^2+215$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=5$，
∴在$3≤x≤8$范围内，x离对称轴越远，W的值越小，
计算得$5-3=2$，$8-5=3$，x=8离对称轴更远，
∴当x=8时，W取得最小值，$W_{\min}=-(8-5)^2+215=206$。
【答案】
(1) $T$的最大值为32万元；
(2) 隔热层厚度为6cm；
(3) $W$的最小值为206万元。
【知识点】
二次函数最值求解；一元二次方程的解法；二次函数实际应用
【点评】
本题结合隔热层建造的实际场景，考查二次函数的性质与一元二次方程的应用，解题时需特别注意自变量的取值范围，求解后要检验结果是否符合实际要求，避免出现增根或最值找错的问题。
【难度系数】
0.6
11女生排球考试要求:垫球后,球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中,某女生在O处将球垫偏,之后又在A、B两处先后垫球,球沿抛物线$C_1→C_2→C_3$运动(假设抛物线$C_1$、$C_2$、$C_3$在同一平面内),最终正好在O处垫住,O处离地面的距离为1米.如图所示,以O为坐标原点,1米为单位长度建立平面直角坐标系,x轴平行于地面水平直线m,已知点$A(\frac{3}{2},\frac{3}{8})$,点B的横坐标为$-\frac{3}{2}$,抛物线$C_1$和$C_3$的表达式分别为$y=ax^2-2ax$和$y=2ax^2+bx(a≠0)$.
(1)求抛物线$C_1$的表达式;
(2)第一次垫球后,球在运动中离地面的最大高度是否达到要求?请说明理由;
(3)为了使第三次垫球后,球在运动中离地面的最大高度达到要求,该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米?
(1)求抛物线$C_1$的表达式;
(2)第一次垫球后,球在运动中离地面的最大高度是否达到要求?请说明理由;
(3)为了使第三次垫球后,球在运动中离地面的最大高度达到要求,该女生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米?
答案
11.解:(1)$\because C_1:y=ax^2-2ax(a≠0)$,
将$A(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{8})$代入,得$\dfrac{3}{8}=a×(\dfrac{3}{2})^2-2a×\dfrac{3}{2}$,
解得$a=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore C_1:y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$.
(2)未达到要求.理由:
由(1)得$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}$,
$\therefore C_1$的对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,\dfrac{1}{2})$.
$\because O$处距离地面 1 米，
$\therefore$ 最大高度为$\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$(米)$＜2$米,$\therefore$ 未达到要求.
(3)$C_3:y=2ax^2+bx(a≠0)$,
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{4a}$,顶点坐标为$(-\dfrac{b}{4a},-\dfrac{b^2}{8a})$,
$\because$ 最大高度达到要求,$\therefore -\dfrac{b^2}{8a}≥1$.
$\because$ 点 B 的横坐标为$-\dfrac{3}{2}$,$\therefore y_B=\dfrac{9}{2}a-\dfrac{3}{2}b$,
由(1)知$a=-\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{b^2}{4}≥1$,解得$b≥2$或$b≤-2$.
$\because x=-\dfrac{b}{4a}＜0$,$\therefore a$、$b$同号,则$b≤-2$,
$\therefore y_B≥\dfrac{9}{2}×(-\dfrac{1}{2})-\dfrac{3}{2}×(-2)=\dfrac{3}{4}$,
$\therefore$ 高度至少应为$1+\dfrac{3}{4}=1.75$米.
$\therefore$ 该女生第三次垫球处 B 离地面的高度至少为 1.75 米.
将$A(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{8})$代入,得$\dfrac{3}{8}=a×(\dfrac{3}{2})^2-2a×\dfrac{3}{2}$,
解得$a=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore C_1:y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$.
(2)未达到要求.理由:
由(1)得$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}$,
$\therefore C_1$的对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,\dfrac{1}{2})$.
$\because O$处距离地面 1 米，
$\therefore$ 最大高度为$\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$(米)$＜2$米,$\therefore$ 未达到要求.
(3)$C_3:y=2ax^2+bx(a≠0)$,
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{4a}$,顶点坐标为$(-\dfrac{b}{4a},-\dfrac{b^2}{8a})$,
$\because$ 最大高度达到要求,$\therefore -\dfrac{b^2}{8a}≥1$.
$\because$ 点 B 的横坐标为$-\dfrac{3}{2}$,$\therefore y_B=\dfrac{9}{2}a-\dfrac{3}{2}b$,
由(1)知$a=-\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{b^2}{4}≥1$,解得$b≥2$或$b≤-2$.
$\because x=-\dfrac{b}{4a}＜0$,$\therefore a$、$b$同号,则$b≤-2$,
$\therefore y_B≥\dfrac{9}{2}×(-\dfrac{1}{2})-\dfrac{3}{2}×(-2)=\dfrac{3}{4}$,
$\therefore$ 高度至少应为$1+\dfrac{3}{4}=1.75$米.
$\therefore$ 该女生第三次垫球处 B 离地面的高度至少为 1.75 米.
解析
【分析】
(1) 抛物线$C_1$的解析式仅含未知参数$a$，且已知其过点$A$，直接将点$A$坐标代入解析式，解一元一次方程求出$a$，即可得到$C_1$的表达式。
(2) 先将$C_1$的解析式化为顶点式，求出其顶点纵坐标（即球相对$O$点的最大高度），再叠加$O$点离地面的1米得到实际最大高度，和要求的2米比较即可判断是否达标。
(3) 先代入(1)中求得的$a$值到$C_3$的解析式中，根据最大高度要求列出关于$b$的不等式，再结合$C_3$的顶点在$x$轴负半轴的特征确定$b$的取值范围，最后将$B$点横坐标代入$C_3$解析式求出$B$相对$O$点的最小高度，叠加1米即可得到$B$离地面的最小高度。
【解析】
(1) 已知抛物线$C_1:y=ax^2-2ax(a≠0)$，将点$A(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{8})$代入解析式，得：
$\dfrac{3}{8}=a×(\dfrac{3}{2})^2-2a×\dfrac{3}{2}$
解得$a=-\dfrac{1}{2}$，因此$C_1$的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$。
(2) 未达到要求，理由如下：
将$C_1$的解析式化为顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}$，
可得$C_1$的顶点坐标为$(1,\dfrac{1}{2})$，即球相对$O$点的最大高度为$\dfrac{1}{2}$米。
因为$O$处距离地面1米，所以球实际的最大高度为$\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$米，$\dfrac{3}{2}＜2$，因此未达到要求。
(3) 抛物线$C_3:y=2ax^2+bx(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{4a}$，顶点纵坐标为$-\dfrac{b^2}{8a}$。
要使球离地面最大高度达到要求，则相对$O$点的最大高度至少为$2-1=1$米，即$-\dfrac{b^2}{8a}≥1$。
已知点$B$的横坐标为$-\dfrac{3}{2}$，代入$C_3$得$B$相对$O$点的高度$y_B=\dfrac{9}{2}a-\dfrac{3}{2}b$。
由(1)知$a=-\dfrac{1}{2}$，代入$-\dfrac{b^2}{8a}≥1$得$\dfrac{b^2}{4}≥1$，解得$b≥2$或$b≤-2$。
因为$C_3$的顶点在$x$轴负半轴，即$x=-\dfrac{b}{4a}＜0$，$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以$b$和$a$同号，即$b≤-2$。
将$a=-\dfrac{1}{2}$、$b≤-2$代入$y_B$的表达式：
$y_B=\dfrac{9}{2}×(-\dfrac{1}{2})-\dfrac{3}{2}b≥ -\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}×(-2)=\dfrac{3}{4}$
因此$B$离地面的高度至少为$1+\dfrac{3}{4}=1.75$米。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$
(2) 未达到要求
(3) 1.75米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题时要注意坐标系原点高度和实际地面高度的换算，同时需要结合运动轨迹的特征判断二次函数对称轴的位置，能有效考查学生数形结合能力和实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 抛物线$C_1$的解析式仅含未知参数$a$，且已知其过点$A$，直接将点$A$坐标代入解析式，解一元一次方程求出$a$，即可得到$C_1$的表达式。
(2) 先将$C_1$的解析式化为顶点式，求出其顶点纵坐标（即球相对$O$点的最大高度），再叠加$O$点离地面的1米得到实际最大高度，和要求的2米比较即可判断是否达标。
(3) 先代入(1)中求得的$a$值到$C_3$的解析式中，根据最大高度要求列出关于$b$的不等式，再结合$C_3$的顶点在$x$轴负半轴的特征确定$b$的取值范围，最后将$B$点横坐标代入$C_3$解析式求出$B$相对$O$点的最小高度，叠加1米即可得到$B$离地面的最小高度。
【解析】
(1) 已知抛物线$C_1:y=ax^2-2ax(a≠0)$，将点$A(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{8})$代入解析式，得：
$\dfrac{3}{8}=a×(\dfrac{3}{2})^2-2a×\dfrac{3}{2}$
解得$a=-\dfrac{1}{2}$，因此$C_1$的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$。
(2) 未达到要求，理由如下：
将$C_1$的解析式化为顶点式：$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+\dfrac{1}{2}$，
可得$C_1$的顶点坐标为$(1,\dfrac{1}{2})$，即球相对$O$点的最大高度为$\dfrac{1}{2}$米。
因为$O$处距离地面1米，所以球实际的最大高度为$\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$米，$\dfrac{3}{2}＜2$，因此未达到要求。
(3) 抛物线$C_3:y=2ax^2+bx(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{4a}$，顶点纵坐标为$-\dfrac{b^2}{8a}$。
要使球离地面最大高度达到要求，则相对$O$点的最大高度至少为$2-1=1$米，即$-\dfrac{b^2}{8a}≥1$。
已知点$B$的横坐标为$-\dfrac{3}{2}$，代入$C_3$得$B$相对$O$点的高度$y_B=\dfrac{9}{2}a-\dfrac{3}{2}b$。
由(1)知$a=-\dfrac{1}{2}$，代入$-\dfrac{b^2}{8a}≥1$得$\dfrac{b^2}{4}≥1$，解得$b≥2$或$b≤-2$。
因为$C_3$的顶点在$x$轴负半轴，即$x=-\dfrac{b}{4a}＜0$，$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，所以$b$和$a$同号，即$b≤-2$。
将$a=-\dfrac{1}{2}$、$b≤-2$代入$y_B$的表达式：
$y_B=\dfrac{9}{2}×(-\dfrac{1}{2})-\dfrac{3}{2}b≥ -\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}×(-2)=\dfrac{3}{4}$
因此$B$离地面的高度至少为$1+\dfrac{3}{4}=1.75$米。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x$
(2) 未达到要求
(3) 1.75米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数实际应用
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题时要注意坐标系原点高度和实际地面高度的换算，同时需要结合运动轨迹的特征判断二次函数对称轴的位置，能有效考查学生数形结合能力和实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.6
